Dersom den ukjente står i nevneren i en brøk, vil en god løsningstaktikk gjerne være å, som første steg, sørge for at den ukjente kommer bort fra nevneren. Det gjør vi ved å multiplisere med nevneren på begge sider av likhetstegnet.
Eksempel 1:
Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = 2$ med hensyn på x.
Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 2:
$\frac{\displaystyle 8(x + 2)}{\displaystyle x + 2} = 2(x + 2)$
Vi forkorter med x + 2 i brøken:
8 = 2(x + 2)
Vi multipliserer 2-tallet inn i parentesen:
8 = 2x + 4
Vi flytter 2x over til venstre side med fortegnsskifte og 8 over til høyre med fortegnsskifte:
−2x = 4 − 8
Vi regner ut høyre side:
−2x = − 4
Vi dividerer begge sider med −2:
x = 2
Setter vi prøve på svaret, får vi:
V.S.: $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2 + 2} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 4} = 2$
Dette er det samme som står på høyre side, så løsningen er riktig.
Eksempel 2:
Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3}$ med hensyn på x.
Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 2:
$\frac{\displaystyle 2(x+2)}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4(x+2)}{\displaystyle x + 3}$
Vi forkorter med x + 2 i brøken på venstre side:
$2 = \frac{\displaystyle 4(x+2)}{\displaystyle x + 3}$
Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 3:
$2(x+3) = \frac{\displaystyle 4(x+2)(x+3)}{\displaystyle x + 3}$
Vi forkorter med x + 3 i brøken på høyre side:
2(x + 3) = 4(x + 2)
Vi multipliserer 2- og 4-tallet inn i parentesene:
2x + 6 = 4x + 8
Vi flytter 4x over til venstre side med fortegnsskifte og 6 over til høyre med fortegnsskifte:
2x − 4x = 8 − 6
Vi regner ut begge sider:
−2x = 2
Vi dividerer begge sider med −2:
x = −1
Setter vi prøve på svaret, får vi:
V.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle −1 + 2} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 1} = 2$
H.S.: $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle −1 + 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 2} = 2$
Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.
I eksempel 1 så vi at nevneren på venstre side av likningen, x + 2, etter noe omregning ble en faktor på høyre side. I eksempel 2 så vi at nevneren på venstre side av likningen, x + 2, etter noe omregning ble en faktor på høyre side, og at nevneren på høyre side, x + 3, etter noe omregning ble en faktor på venstre side. Generelt, blir utregningen slik, hvis vi har en likning med to brøker:
$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}$
$\Downarrow$
$\frac{\displaystyle a \cdot b}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle c \cdot b}{\displaystyle d}$
$\Downarrow$
$a = \frac{\displaystyle c \cdot b}{\displaystyle d} $
$\Downarrow$
$a \cdot d = \frac{\displaystyle c \cdot b \cdot d}{\displaystyle d} $
$\Downarrow$
$a \cdot d = c \cdot b$
Vi ser at slutteffekten generelt er at nevneren på venstre side blir en faktor på høyre side, og vice versa. Vi går derfor gjerne ikke gjennom alle stegene i å multiplisere og forkorte, men gjør alt i én operasjon ved å kryssmultiplisere i det opprinnelige uttrykket, slik:
Å kryssmultiplisere er etablert som en metode til å løse likninger der den ukjente står i én eller begge nevnerne. Men for å forstå hvorfor denne metoden kan brukes, må vi vite at det vi egentlig gjør er å multiplisere med begge nevnerne på begge sider, og deretter forkorte. Regneoperasjonen som inngår er altså multiplikasjon med samme verdi på begge sider av likningen, som vi i artikkelen om førstegradslikninger listet opp som to av fire «lovlige operasjoner» til å løse likninger.
Eksempel 3:
Vi ser på likningene fra eksempel 1 og 2 igjen.
Vi har:
$\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = 2$
Når vi kryssmultipliserer, får vi
8 = 2(x + 2), som vi så arbeider videre med, som i eksempel 1.
Vi har:
$\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3}$
Når vi kryssmultipliserer, får vi
2(x + 3) = 4(x + 2), som vi så arbeider videre med, som i eksempel 2.
Oppgave 1:
Løs likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} + 10 = 12$ og sett prøve på svaret.
Se film der likningen løsesLøs likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2}$ med hensyn på x. Start med å kryssmultiplisere. Sett prøve på svaret.
I eksempel 1 og 2 hadde vi konstanter i tellerne og uttrykk med x i nevnerne. Da vi kryssmultipliserte, så vi at vi hadde en førstegradslikning. Hvis vi har x både i en teller og en nevner, har vi en andregradslikning.
Eksempel 4:
Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x}$ med hensyn på x.
Vi kryssmultipliserer:
4x(x + 1) = 2 · 4
Vi multipliserer inn 4x på venstre side og multipliserer på høyre side:
4x2 + 4x = 8
Vi flytter 8 over til venstre side med fortegnsskifte:
4x2 + 4x − 8 = 0
Vi løser ved hjelp av abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}} = x_{1, 2} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 −4 \cdot 4 \cdot (−8)}}{2 \cdot 4}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{144}}{8}} = {\large \frac{−4 \pm 12}{8}} = {\large \frac{−1 \pm 3}{2}}$
Så
$x_{1}= {\large \frac{−1 + 3}{2}} = 1$
$x_{2}= {\large \frac{−1 − 3}{2}} = −2$
Setter vi prøve på svaret, får vi, når x = 1:
VS.: $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1 + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$
H.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4 \cdot 1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$
Når x = −2, får vi:
VS.: $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle −2 + 1}{\displaystyle 4} = −\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$
H.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4 \cdot (−2)} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle −8} = −\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$
I begge tilfeller er venstre og høyre side like, så løsningene er riktige.
Løs likningen $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x}$ med hensyn på x. Sett prøve på svaret.
Kilder
-
- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag