Publisert av Sjefen

Ulikheter

En egenskap ved reelle tall er at de har orden. Det vil si at for to vilkårlige reelle tall, a og b, vil enten a være mindre enn b, lik b, eller større enn b. Dette skriver vi som henholdsvis a < b, a = b og a > b.

I en likning bruker vi likhetstegn for å indikere at venstre og høyre side av likningen skal være like. I en ulikhet bruker vi < eller > for å indikere at venstre side skal være henholdsvis mindre eller større enn høyre. Ønsker vi at venstre side skal være mindre eller lik høyre, bruker vi tegnet ≤. Ønsker vi at venstre side skal være større eller lik høyre, bruker vi tegnet ≥.

For å løse en ulikhet bruker vi samme regler som for å løse likninger. Med ett unntak: Hvis vi multipliserer eller dividerer begge sider av ulikheten med et negativt tall, snus ulikhetstegnet. < byttes altså med > og vice versa. ≤ byttes med ≥ og vice versa. Vi forstår hvorfor det er slik, hvis vi ser hvordan tallinjen er speilet om 0:

Punkter speilet om 0

Her har vi A1 > B1 fordi A1 = 4 og B1 = 2.

Men hvis vi multipliserer begge sider av ulikheten med −1, flyttes B1 til B2 og A1 til A2.

Da har vi A2 < B2 fordi A2 = −4 og B2 = −2.

Eksempel 1:

Vi skal løse ulikheten 17x + 10 > 30 + 27x

Flytter over 27x, skifter fortegn og trekker sammen:
−10x + 10 > 30

Flytter over 10, skifter fortegn og trekker sammen:
−10x > 20

Dividerer med −10 på begge sider og snur ulikhetstegnet:
x < −2

Oppgave 1:

Løs ulikheten 2x + 2 ≤ 3x − 1.

SkjermfilmSe film der ulikheten løses
 

Grafiske løsninger

I artikkelen om førstegradslikninger ser vi at når en likning er på formen ax + b = 0, kan vi løse den grafisk ved å finne punktet der grafen til funksjonen y = ax + b skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Tilsvarende vil en ulikhet på formen ax + b > 0 være området der grafen til y = ax + b ligger over x-aksen, og en ulikhet på formen ax + b < 0 være området der grafen til y = ax + b ligger under x-aksen.

Eksempel 2:

I eksempel 1 har vi, når vi har organisert leddene, ulikheten −10x > 20. Flytter vi 20 over på venstre side med fortegnsskifte, får vi −10x − 20 > 0. Denne ulikheten er på formen ax + b > 0, med a = −10 og b =−20. Løsningen vil derfor være det området der grafen til y = −10x − 20 ligger over x-aksen. I grafen under ser vi at det er området der x < −2, slik vi fant i eksempel 1.

Løsningsområdet til ulikheten −10x > 20

Hvis ulikhetstegnet er ≤ eller ≥, betyr det at punktet der grafen skjærer x-aksen er med i løsningen.

Kilder