I artikkelen om ordnede og uordnede utvalg beregner vi antall uordnede utvalg ved å dividere antall ordnede utvalg med antall måter utvalget kan organiseres på. Hvis vi for eksempel trekker 2 ganger fra en mengde med 3 elementer, finnes det 3 · 2 = 6 ordnede utvalg som kan organiseres på 2! = 2 måter, noe som gir ${\large \frac{6}{2}} = 3$ uordnede utvalg. Heter elementene A, B og C, kan vi få de 6 ordnede utvalgene A-B, A-C, B-A, B-C, C-A og C-B. Dette utgjør 3 uordnede utvalg fordi, når rekkefølgen på elementene ikke spiller noen rolle, er A-B samme utvalg som B-A, A-C er samme utvalg som C-A, og B-C er samme utvalg som C-B.
De 3 uordnede utvalgene blir altså mengdene {A, B}, {A, C} og {B, C}.
Dette forutsetter imidlertid at vi trekker uten tilbakelegging. Trekker vi med tilbakelegging, blir situasjonen mer sammensatt fordi vi kan trekke samme element flere ganger.
Hvis vi for eksempel trekker 2 ganger fra en mengde med 3 elementer, finnes det 32 = 9 mulige ordnede utvalg. Heter elementene A, B og C, kan vi få de 9 ordnede utvalgene A-A, A-B, A-C, B-A, B-B, B-C, C-A, C-B og C-C. Her ser vi at mens utvalgene med to forskjellige elementer kan organiseres på 2 måter, kan utvalgene med to like elementer, altså A-A, B-B og C-C, bare organiseres på 1 måte.
Totalt får vi altså 6 mulige uordnede utvalg, som består av mengdene {A, A}, {A, B}, {A, C}, {B, B}, {B, C} og {C, C}.
Mange lærebøker tar overhodet ikke for seg beregning av antall uordnede utvalg med tilbakelegging, og vi skal heller ikke gå i detaljer, men vi skal i hvert fall presentere en formel. Hvis vi trekker k ganger fra en mengde på n elementer med tilbakelegging, vil antallet uordnede utvalg bli ${\large \binom{n + k – 1}{k}}$.
$\fbox{Antall uordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$ ved trekning med tilbakelegging: ${\large \binom{n + k – 1}{k}}$}$
Eksempel 1:
Vi trekker k = 2 ganger fra en mengde med n = 3 elementer, med tilbakelegging. Vi får da
${\large \binom{n + k – 1}{k}} = {\large \binom{3 + 2 – 1}{2}} = {\large \binom{4}{2}} = {\large \frac{4!}{2!(4 – 2)!}} = {\large \frac{24}{2 \cdot 2}} = 6$
mulige uordnede utvalg, slik vi så over, der vi trakk 2 ganger fra mengden {A, B, C}.
Begrepet tilbakelegging skal vi imidlertid ikke alltid ta bokstavelig. Ofte er bare situasjonen at vi kan velge fra en mengde som ikke endrer seg.
Eksempel 2:
Vi skal kjøpe 4 frukter, og kan velge mellom eple, pære og appelsin. Hvor mange forskjellige kombinasjoner er da mulige?
Dette er et uordnet utvalg på k = 4 fra en mengde på totalt n = 3. Så vi får:
${\large \binom{n + k – 1}{k}} = {\large \binom{3 + 4 – 1}{4}} = {\large \binom{6}{4}} = {\large \frac{6!}{4!(6 – 4)!}} = {\large \frac{720}{24 \cdot 2}} = 15$
Vi kan kontroller utregningen ved å sette opp alle mulighetene. Vi kaller eple E, pære P, og appelsin A:
-
-
-
- EEEE. 4 epler.
- EEEP. 3 epler og 1 pære.
- EEEA. 3 epler og 1 appelsin.
- EEPP. 2 epler og 2 pærer.
- EEPA. 2 epler, 1 pære og 1 appelsin.
- EEAA. 2 epler og 2 appelsiner.
- EPPP. 1 eple og 3 pærer.
- EPPA. 1 eple, 2 pærer og 1 appelsin.
- EPAA. 1 eple. 1 pære og 2 appelsiner.
- EAAA. 1 eple og 3 appelsiner.
- PPPP. 4 pærer.
- PPPA. 3 pærer og 1 appelsin.
- PPAA. 2 pærer og 2 appelsiner.
- PAAA. 1 pære og 3 appelsiner.
- AAAA. 4 appelsiner.
-
-
En iskremkiosk har is med 10 forskjellige smaker, og du kjøper en kjeks med 3 iskremkuler. Hvor mange smakskombinasjoner kan du få hvis du kan velge flere kuler av samme type? Hvor mange smakskombinasjoner kan du få hvis du bare velger forskjellige typer?