I artikkelen om permutasjoner og artikkelen om ordnede og uordnede utvalg ser vi på hvor mange kombinasjoner vi kan danne av enhetlige mengder, det vil si mengder som bare inneholder én type ting, for eksempel lottokuler eller personer. Inneholder mengdene forskjellige typer ting, må vi utvide logikken litt. Vi illustrerer med noen eksempler:
Eksempel 1:
Fra en idrettsgruppe som består av 11 gutter og 8 jenter skal det velges 4 representanter, og vi vil finne ut hvor mange måter representantene kan kombineres på når vi krever at det skal velges 2 jenter og 2 gutter.
Her er vi egentlig ute etter to delmengder, én der 2 gutter velges blant 11, og én der 2 jenter velges blant 8.
2 gutter kan velges blant 11 på ${\large \binom{11}{2}} = {\large \frac{11!}{2!(11 − 2)!}} = 55$ måter.
2 jenter kan velges blant 8 på ${\large \binom{8}{2}} = {\large \frac{8!}{2!(8 − 2)!}} = 28$ måter.
Alle disse variantene kan kombineres med hverandre, så 2 jenter og 2 gutter kan velges på 55 · 28 = 1540 måter.
Vi beregner altså antall elementer i hver av delmengdene og multipliserer dem etterpå.
Vi dropper ofte å føre mellomregningene, og skriver bare utregningen i eksempel 1 som ${\large \binom{11}{2}} \cdot {\large \binom{8}{2}} = 55 \cdot 28 = 1540$.
Eksempel 2:
Fra idrettsgruppa i eksempel 1, som består av 11 gutter og 8 jenter, skal det velges 2 representanter, og vi vil finne ut hvor mange kombinasjoner av representanter det finnes med henholdsvis:
-
-
- 2 gutter og ingen jenter.
- Ingen gutter og 2 jenter.
- 1 av hvert kjønn.
- 2 gutter og ingen jenter.
-
Vi får:
-
-
- 2 gutter og ingen jenter: ${\large \binom{11}{2}} \cdot {\large \binom{8}{0}} = 55 \cdot 1 = 55$.
Her ser vi at vi egentlig ikke trenger å ta med ${\large \binom{8}{0}}$ fordi dette uttrykket blir lik 1. Vi kan tenke på det som at «ingen jenter» bare kan bare velges på 1 måte. Vi trenger sant å si heller ikke tenke på at vi trekker fra en blandet mengde, fordi vi bare trekker gutter. Imidlertid kan det være lurt å stille opp hele regnestykket slik det er gjort, fordi det tydeliggjør metoden, og vi slipper å lage spesialtilfeller når vi skal velge 0.
- Ingen gutter og 2 jenter: ${\large \binom{11}{0}} \cdot {\large \binom{8}{2}} = 1 \cdot 28 = 28$.
Her får vi også en faktor som er lik 1, av samme grunn som når vi bare trekker gutter.
- 1 av hvert kjønn: ${\large \binom{11}{1}} \cdot {\large \binom{8}{1}} = 11 \cdot 8 = 88$.
- 2 gutter og ingen jenter: ${\large \binom{11}{2}} \cdot {\large \binom{8}{0}} = 55 \cdot 1 = 55$.
-
Her kunne vi nøyd oss med å stille opp 11 · 8, fordi vi blant 11 gutter kan velge 11 forskjellige, og blant 8 jenter kan velge 8 forskjellige. Men vi stiller opp hele regnestykket slik det er gjort, fordi det tydeliggjør metoden, og vi slipper å lage spesialtilfeller når vi skal velge 1.
Ta utgangspunkt i gruppa i eksempel 1 og 2, med 11 gutter og 8 jenter, og beregn hvor mange kombinasjoner det finnes med
- 3 gutter og 3 jenter
- 1 gutt og 3 jenter
- Ingen gutter og 4 jenter
Last ned regneark der du kan regne ut antall mulige elevutvalg
Eksempel 3:
En bridgehånd består av 13 kort. Vi vil finne ut hvor mange bridgehender som inneholder nøyaktig åtte ruter.
Det er ikke så tydelig som i eksempel 1 og 2, men også her skal vi velge to delmengder fra to mengder. Den ene mengden består av alle kort som er ruter, totalt 13 stykker. Den andre mengden består av alle kort som ikke er ruter, totalt 52 − 13 = 39 stykker. Fra mengden med ruter skal vi så velge 8 kort. Siden en bridgehånd består av totalt 13 kort, blir det da 13 − 8 = 5 kort som skal velges blant kortene som ikke er ruter.
Totalt gir det ${\large \binom{13}{8}} \cdot {\large \binom{39}{5}} = 1287 \cdot 575 \, 757= 740 \, 999 \, 259$ mulige hender med nøyaktig åtte ruter.
Beregn hvor mange korthender med 5 kort det finnes som
- inneholder nøyaktig 2 spar.
- bare inneholder spar.
- inneholder spar konge.
Prinsippet kan utvides til et vilkårlig antall mengder.
Eksempel 4:
En bedrift har fire avdelinger, der det arbeider henholdsvis 7, 11, 4 og 13 personer. Så skal vi regne ut hvor mange utvalg på 8 personer det finnes med to representanter fra hver avdeling.
Dette blir ${\large \binom{7}{2}} \cdot {\large \binom{11}{2}} \cdot {\large \binom{4}{2}} \cdot {\large \binom{13}{2}} = 21 \cdot 55 \cdot 6 \cdot 78 = 540\,540$.
Se filmen «Blandede mengder»Kilder
-
- Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
- Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
- Birkeland, P.A., Breiteig, B., Venheim, R. (2012). Matematikk for lærere 2. Universitetsforlaget