Utvalg og delmengder

Delmengder

I sannsynlighet-artikkelen om mengder blir vi kjent med begrepet mengder, og ser hvordan vi kan illustrere mengder ved hjelp av Venn-diagrammer. Vi lærer også om delmengder, der mengder inngår i mengder.

Nå skal vi finne ut hvor mange delmengder det går an å lage i en mengde. Venn-diagrammene under viser en mengde med tre elementer, nemlig tallene 1, 2 og 3, og hvordan disse tallene kan organiseres i delmengder.

Vi ser at vi kan lage 3 delmengder med ett tall i hver, og 3 med to tall i hver. Vi krever ikke at delmengdene skal være ekte, så vi har også 1 delmengde som inneholder alle tallene. Siden mengden med 0 elementer, ∅, også er en delmengde, blir det totalt 3 + 3 + 1 + 1 = 8 mulige delmengder.

Det er lett å se for seg at en mengde med to elementer vil kunne inneholde 4 delmengder, nemlig 2 med ett element i hver, 1 med to elementer, og ∅. En mengde med ett element vil kunne inneholde 2 delmengder, nemlig 1 med ett element, og ∅. En mengde med 0 elementer vil bare kunne inneholde ∅.

I alle tilfeller blir antall delmengder lik 2ⁿ, der n er antall elementer. 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8. Grunnen til at det er slik, er at det for hvert element finnes to muligheter: Elementet kan være med i en delmengde eller ikke. Har vi en mengde med m delmengder og introduserer et nytt element, vil vi kunne lage m nye delmengder som inkluderer det nye elementet, og får doblet antall mulige delmengder.

$\fbox{En mengde med $n$ elementer kan inneholde $2^n$ delmengder}$

Oppgave 1:

En mengde, A, inneholder elementene a, b og c: A = {a, b, c}. List opp de mulige delmengdene som kan lages i denne mengden. Stemmer det totale antallet delmengder med formelen for antall delmengder?

Se løsningsforslag

Delmengder er egentlig uordnede utvalg av elementer i en mengde, slik vi studerer i artikkelen om ordnede og uordnede utvalg. For eksempel er hver mulig vinnerrekke i Lotto en delmengde med 7 tall i en mengde på totalt 34.

Eksempel 2:

Vi har en mengde med 4 elementer, og bruker kombinasjonsformelen til å beregne hvor mange uordnede utvalg som kan lages med henholdsvis 0, 1, 2, 3 og 4 elementer:

0 elementer: ${\large \binom{4}{0}} = {\large \frac{4!}{0!(4 – 0)!}} = {\large \frac{24}{1 \cdot 24}} = 1$

1 element: ${\large \binom{4}{1}} = {\large \frac{4!}{1!(4 – 1)!}} = {\large \frac{24}{1 \cdot 6}} = 4$

2 elementer: ${\large \binom{4}{2}} = {\large \frac{4!}{2!(4 – 2)!}} = {\large \frac{24}{2 \cdot 2}} = 6$

3 elementer: ${\large \binom{4}{3}} = {\large \frac{4!}{3!(4 – 3)!}} = {\large \frac{24}{6 \cdot 1}} = 4$

4 elementer: ${\large \binom{4}{4}} = {\large \frac{4!}{4!(4 – 4)!}} = {\large \frac{24}{24 \cdot 1}} = 1$

Totalt blir dette 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 mulige delmengder. Dette stemmer med formelen for antall mulige delmengder, som sier at en mengde med 4 elementer har 2⁴ = 16 mulige delmengder.

Oppgave 2:

Vi har en mengde med 3 elementer. Bruk kombinasjonsformelen til å beregne hvor mange uordnede utvalg som kan lages med henholdsvis 0, 1, 2 og 3 elementer. Sjekk om det totale antallet stemmer med formelen for antall mulige delmengder.

Se løsningsforslag

Se filmen «Delmengder»
 

Kilder

• • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
  • Birkeland, P.A., Breiteig, B., Venheim, R. (2012). Matematikk for lærere 2. Universitetsforlaget