Det visuelle er viktig for menneskers forståelse, en må gjerne visualisere ting for å forstå dem. Å tegne en skisse kan for eksempel ofte være god hjelp for få grep om et problem.
I et visuelt bevis er visuell tankegang viktig, selv om beviset ikke nødvendigvis er basert utelukkende på det visuelle.
Eksempel 1:
Vi skal bevise visuelt at summen av to oddetall er et partall.
Vi illustrerer oddetall som en gruppe ruter der det er 1 rute som ikke er i par, og vi ser at når vi føyer sammen to slike grupper, havner alle rutene i par.
Eksempel 2:
Vi skal bevise visuelt at produktet av to oddetall er et oddetall.
Et oddetall er et tall på formen 2n + 1, der n er et helt tall. Vi illustrerer et oddetall som et rutenett med et odde antall ruter, for eksempel 9, som i figuren under.
Her har vi med blå streker markert at alle rutene unntatt 1 kan organiseres i par, altså at 9 = 2 · 4 + 1.
Her har vi med blå streker igjen markert at alle rutene unntatt 1 kan organiseres i par, altså at 7 = 2 · 3 + 1.
Produktet av disse tallene kan vi illustrere som vist under.
Som vi ser, inngår alle rutene unntatt 1 i par, og vi kan derfor konkludere med at produktet også er et oddetall.
Her har vi brukt 9 · 7 som eksempler, men det er lett å innse at prinsippet vil være det samme for alle oddetall.
Kaller vi det vertikale oddetallet 2n + 1 og det horisontale 2m + 1, ser vi i figuren under at vi har 2n · 2m = 4nm gule ruter, 2n blå ruter, 2m grønne ruter og 1 rød rute.
Altså er (2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1.
Det gir en illustrasjon av regelen for å multiplisere to parentesuttrykk med to ledd.
I eksempel 2 brukte vi forskjellige oddetall i horisontal og vertikal retning, 9 og 7. Dersom vi skal bevise noe som gjelder for alle kombinasjoner av to tall, kan det være at vi trekker en slutning som ikke er generell hvis vi velger to like tall.
Eksempel 3:
Det følgende er et feilaktig visuelt bevis for at produktet av to partall er et kvadrattall.
Et partall er et tall på formen 2n, der n er et helt tall. Vi illustrerer et partall som et rutenett med et par antall ruter, for eksempel 6, som i figuren under.
Her har vi med blå streker markert at alle rutene kan organiseres i par, altså at 6 = 2 · 3.
Så illustrerer vi det samme partallet som et vertikalt rutenett, som i figuren under.
Produktet av disse tallene kan vi illustrere som vist under.
Som vi ser, er formen kvadratisk, og vi slutter derfor at rutenettet representerer et kvadrattall.
Generelt er imidlertid ikke dette riktig. For eksempel er 4 · 6 = 24 ikke et kvadrattall. Problemet med «beviset» er at vi har brukt samme tall både horisontalt og vertikalt, og egentlig bare bevist det opplagte, at (2n)2 er et kvadrattall.
Lag et visuelt bevis for første kvadratsetning, altså at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Hint: Tegn et kvadrat av ruter med sidelengde a + b.
Eksempel 4:
Vi skal bevise Pytagoras′ setning.
Pytagoras′ setning sier at i en rettvinklet trekant vil summen av kvadratene på katetene være lik kvadratet på hypotenusen.
Vi tar utgangspunkt i en rettvinklet trekant med kateter a og b, og hypotenus c:
Ifølge Pytagoras har vi i denne trekanten at a2 + b2 = c2.
For å bevise at a2 + b2 = c2, lager vi et kvadrat med sidelengder a + b. Sidelengden er altså lik summen av lengdene til katene i trekanten:
Så legger vi fire kopier av trekanten inn i kvadratet, slik at hypotenusene vender innover:
Vi ser at det blå, altså den delen av kvadratet som ikke er dekket, er et nytt kvadrat med sidekant c, altså med areal c2.
Så flytter vi rundt på trekantene, og legger dem parvis i motstående hjørner:
Nå ser vi at det blå, altså den delen av kvadratet som ikke er dekket, består av to nye kvadrater med sidekanter henholdsvis a og b, altså med arealer a2 og b2.
Siden vi ikke har endret på noen arealer, bare flyttet rundt på trekantene, må de blå områdene være like store i begge figurene. Det vil si at areal a2 pluss areal b2 er det samme som areal c2, altså at a2 + b2 = c2, som var det vi skulle vise.
Kilder
-
- Hinna, K. R. C., Rinvold, R. A., Gustavsen, T. S. (2011). QED 5-10. Høyskoleforlaget.
- Hovtun, G. (2020). Mer matematikk, takk. Universitetsforlaget.