Sjefen – Side 19 – nkhansen.com

2. august 202316. desember 2024

Likninger med ukjent i eksponent

Under menypunktet «Likninger og ulikheter» ser vi på likninger som kan skrives på formen P = 0, der P er et polynom, for eksempel , for eksempel 2x − 4 = 0 og 3x² + 18x + 15 = 0. Slike likninger kalles algebraiske, eller polynomiske. Likninger som ikke er algebraiske, er transcendente.

Et eksempel på en transcendent likning er en likning med den ukjente i eksponenten, for eksempel 3^x = 81.

For å løse slike likninger, benytter vi oss av logaritmer. I artikkelen om logaritmer ser vi at å ta logaritmen til en potens er det samme som å multiplisere eksponenten med logaritmen til grunntallet: ln u^r= r ln u. Den regelen kan vi benytte til å hente den ukjente ned fra eksponenten, fordi å ta logaritmen på begge sider av likhetstegnet i en likning er en tillatt operasjon, på samme måte som å bruke de fire regneartene. Det spiller ingen rolle hvilket grunntall logaritmen har, vi bruker den naturlige logaritmen, ln, som er vanlig tilgjengelig på kalkulatorer og i dataprogrammer.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen 3^x = 81.

Vi tar først logaritmen på begge sider av likhetstegnet: ln 3^x = ln 81.

Vi bruker regelen ln u^r= r ln u til å skrive om venstre side:
x · ln 3 = ln 81

Vi dividerer begge sider med ln 3:
$x = \frac{\displaystyle \ln 81}{\displaystyle \ln 3 }$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x = 4

Setter vi prøve på svaret, får vi

V.S.: 3^x = 3⁴ = 81.

Dette er det samme som høyre side, så svaret er riktig.

Oppgave 1:

Løs likningen 5^x = 15625. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Når vi beregner logaritmen til et sammensatt uttrykk, må vi huske at logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmene, og at logaritmen til en kvotient er lik differansen av logaritmene.

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 7^x = 3 · 5^x

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
ln 7^x = ln(3 · 5^x)

Vi bruker regelen ln u · v = ln u + ln v til å skrive om høyre side:
ln 7^x = ln 3 + ln 5^x

Vi bruker regelen ln u^r= r ln u til å hente ned eksponentene:
x · ln 7 = ln 3 + x · ln 5

Vi flytter leddet x · ln 5 over til venstre side med fortegnsskifte:
x · ln 7 − x · ln 5 = ln 3

Vi setter x utenfor parentes:
x(ln 7 − ln 5) = ln 3

Vi dividerer begge sider med ln 7 − ln 5:
$x = \frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln 7 − \ln 5}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x ≈ 3,26509046

Setter vi prøve på svaret, får vi

V.S.: 7^x ≈ 7^3,26509046 ≈ 574,541691

H.S.: 3 · 5^x ≈ 3 · 5^3,26509046 ≈ 574,541690

Bortsett fra et lite avvik som skyldes avrundingsfeil, er høyre og venstre side like, så løsningen er riktig.

Oppgave 2

Løs likningen 2 · 4^x = 5^x. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

En alternativ måte å løse likningen i eksempel 2 på er å starte med å dividere begge sider med 5^x, slik det er vist i eksempel 3.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningen 7^x = 3 · 5^x

Vi dividerer begge sider av likningen med 5^x:
$\frac{\displaystyle 7^x}{\displaystyle 5^x} = 3$

Vi benytter at å dividere to potenser med samme eksponent er det samme som å dividere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten, slik det beskrives i artikkelen om potensregning:
$\Big(\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}\Big)^x = 3$

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
$\ln \Big(\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}\Big)^x = \ln 3$

Vi bruker regelen ln u^r= r ln u til å hente ned eksponenten:
$x \ln \Big(\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}\Big) = \ln 3$

Vi dividerer begge sider med $\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 5}$:
$x = \frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln \Big(\frac{7}{5}\Big)}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x ≈ 3,26509046

Som er det samme som vi fikk i eksempel 3.

Siden logaritmen til en kvotient er lik differansen av logaritmene, er egentlig $\frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln \Big(\frac{7}{5}\Big)}$, som vi fikk i dette eksemplet, nøyaktig det samme som $\frac{\displaystyle \ln 3}{\displaystyle \ln 7 − \ln 5}$, som vi fikk i eksempel 2.

Vi må også huske at vi ikke kan dele opp logaritmen til en sum eller differanse. ln(u + v) ≠ ln u + ln v og ln(u − v) ≠ ln u − ln v., slik det beskrives i artikkelen om logaritmer.

Eksempel 4:

Vi skal løse likningen 12^x + 3 = 125.

Dette vil da være feil metode:

ln(12^x + 3) = ln 125
⇓
x · ln 12 + ln 3 = ln 125

For her har vi regnet som om logaritmen til en sum er lik summen av logaritmene.

I stedet må vi flytte 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
12^x = 125 − 3

Så vi får likningen
12^x = 122

Vi tar logaritmen på begge sider, og benytter regelen ln u^r= r ln u til å hente ned eksponentene:
x ln 12 = ln 122

Vi dividerer begge sider med ln 12 og regner ut:
$x = \frac{\displaystyle \ln 122}{\displaystyle \ln 12} \approx 1{,}93328029$

Kilder

- Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

13. august 20238. mars 2025

Ikke-lineære ulikheter

I artikkelen om ulikheter ser vi hvordan vi løser lineære ulikheter, altså ulikheter der høyeste potens av den ukjente er 1, for eksempel 17x + 10 > 30 + 27x. Løsningen til en slik ulikhet vil være på en form der den ukjente er mindre eller større enn en gitt verdi, for eksempel x < 2 eller x > 3. Løsningen utgjør altså ett enkelt uendelig stort område på tallinjen som ligger til venstre eller høyre for et gitt punkt.

Hvis en ulikhet ikke er lineær, det vil si at høyeste potens av den ukjente er større enn 1, vil løsningene kunne være mer sammensatte. Figuren under viser for eksempel grafen til y = x² − 4, som skjærer x-aksen i x = −2 og x = 2. Vi skjønner at løsningen til ulikheten x² − 4 < 0 da vil være området der grafen til y = x² − 4 ligger under x-aksen, det vil si når x er mellom −2 og 2, og løsningen til ulikheten x² − 4 > 0 vil være områdene der grafen til y = x² − 4 ligger over x-aksen, det vil si når x er mindre enn −2 eller større enn 2. Løsningene til ulikhetene x² − 4 ≤ 0 og x² − 4 ≥ 0 vil inkludere punktene −2 og 2 i løsningene.

Grafen til x^2 - 4

For å løse en ikke-lineær ulikhet starter vi med å faktorisere polynomet på venstre side av ulikhetstegnet, slik det beskrives i artikkelen om å faktorisere polynomer.

Eksempel 1:

Vi skal løse ulikheten x² − 4 < 0.

Vi starter med å faktorisere polynomet x² − 4. Det gjør vi enklest ved å bruke konjugatsetningen baklengs, og vi får (x + 2)(x − 2).

Ulikheten kan vi altså skrive som (x + 2)(x − 2) < 0.

Så må vi finne ut hvilke verdier av x som gjør at (x + 2)(x − 2) < 0, altså hvilke verdier som gjør at (x + 2)(x − 2) blir et negativt tall.

Vi vet at produktet av to positive tall er et positivt tall, at produktet av to negative tall er et positivt tall, og at produktet av ett positivt tall og ett negativt tall er et negativt tall. Uttrykket (x + 2)(x − 2) vil derfor være negativt når én av faktorene (x + 2) eller (x − 2) er negativ, men ikke begge samtidig.

At faktoren (x + 2) er negativ, betyr at x + 2 < 0, altså at x < −2.

At faktoren (x − 2) er negativ, betyr at x − 2 < 0, altså at x < 2.

For å få oversikt over fortegnsskiftene i (x + 2)(x − 2), kan det være nyttig å tegne opp faktorene i et fortegnsskjema, slik som vist under.

Fortegnsskjema for (x + 2)(x − 2)

I fortegnsskjemaet tegner vi opp tallinjer for faktorene, der vi bruker stiplet linje for negative verdier og heltrukken linje for positive verdier. Så tegner vi også opp en tallinje for produktet av faktorene, som er stiplet når én av, men ikke begge tallinjene, er stiplet, slik at produktet er negativt.

Vi ser at linja til (x + 2)(x − 2) er stiplet når −2 < x < 2. Løsningen til ulikheten x² − 4 < 0 er altså −2 < x < 2. Dette stemmer med det vi kan leser ut av grafen til y = x² − 4, vist lengre opp.

Hvis vi har mer enn to faktorer i et fortegnsskjema, benytter vi at produktet av alle faktorene er negativt hvis et odde antall faktorer er negative, positivt ellers.

Fortegnsskjema kan vi tegne for hånd, eller vi kan bruke digitale verktøy. Fortegnsskjemaet i eksempel 1 er tegnet ved hjelp av linjestykker i GeoGebra, stiplede linjer for negative verdier og heltrukne linjer for positive verdier. I tillegg er det lagt inn forklarende tekst.

Last ned den tilhørende GeoGebra-fila

Tormod Lunestad har laget et fortegnslinjeprogram for Sinus, Cappelen Damm, som kan brukes fritt. Sigbjørn Hals har laget en veiledning for programmet. En ulempe med dette programmet ser imidlertid ut til å være at det ikke er mulig å lagre arbeidsfilene.

Eksempel 2:

Vi skal løse ulikheten −2x² − 12x > 10.

Vi bruker metoden med å finne nullpunkter, slik det beskrives i artikkelen om å faktorisere polynomer.

Vi flytter først 10 over på venstre side med fortegnsskifte:

−2x² − 12x − 10 > 0.

Så finner vi nullpunktene til polynomet på venstre side ved å bruke abc-formelen:

$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}} = {\large \frac{−(−12)\pm \sqrt{(−12)^2 −4 \cdot (−2) \cdot (−10)}}{2 \cdot (−2)}} = {\large \frac{12\pm \sqrt{64}}{−4}} = {\large \frac{12\pm 8}{−4}} = −3 \pm 2$

Som gir x₁ = −1 og x₂ = −5.

Vi benytter så at ax² + bx + c kan skrives som a(x − x₁)(x − x₂). Så −2x² − 12x − 10 = −2(x − (−1)(x − (−5)) = −2(x + 1)(x + 5).

Vi tegner videre opp fortegnsskjema. (x + 1) < 0 når x < −1, (x + 5) < 0 når x < −5, og så må vi ikke glemme at vi også har en faktor −2, som alltid er negativ. Skjemaet kan se slik ut:

Fortegnsskjema for −2(x + 1)(x + 5)

Vi ser at produktet er negativt når vi har tre negative faktorer og når vi har én negativ faktor, og positivt når vi har to negative faktorer. Siden vi i denne ulikheten skal finne ut når verdien til −2x² − 12x − 10 er større enn 0, vil svaret være det området der produktet er positivt. Så svaret er −5 < x < −1.

Et plott av grafen til y = −2x² − 12x − 10 viser at dette er riktig:

Grafen til y = −2x^2 − 12x − 10

Oppgave 1:

Løs ulikheten 2x² > −10x − 12.

Se løsningsforslag

Dersom en ulikhet er av høyere grad enn 2, vil vi ha samme utfordringer med å løse den som med likninger av høyere grad enn 2. De spesialtilfellene vi diskuterer i artikkelen om likninger av høyere grad, vil vi imidlertid kunne benytte oss av også når det gjelder å løse ulikheter.

Eksempel 3:

Vi skal løse ulikheten −2x³ + 10x² − 12x < 0.

Vi setter x utenfor parentes, og får x(−2x² + 10x − 12) < 0.

Vi finner nullpunktene til polynomet inni parentesen ved å bruke abc-formelen. Vi tar ikke med utregningen, men dette blir x₁ = 3 og x₂ = 2.

Vi benytter at ax² + bx + c kan skrives som a(x − x₁)(x − x₂), så −2x² − 12x − 10 kan skrives som −2(x − 3)(x − 2). Hele uttrykket til venstre for ulikhetstegnet kan da skrives som −2x(x − 3)(x − 2).

Vi tegner fortegnskjema:

Fortegnsskjema for −2x(x -3)(x -2)

Vi ser at −2x(x − 3)(x − 2) < 0 når
0 < x < 2 og x > 3.

Så løsningen til ulikheten −2x³ + 10x² − 12x < 0 er
0 < x < 2 og x > 3.

Et plott av grafen til y = −2x³ + 10x² − 12x viser at dette er riktig:

Grafen til y = −2x^3 + 10x^2 − 12x

Oppgave 2:

Løs ulikheten –3x³ – 6x² + 9x ≤ 0.

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag

30. april 201723. desember 2024

Likninger av høyere grad

I artikkelen om førstegradslikninger, artikkelen om andregradslikninger og artikkelen om abc-formelen tar vi for oss metoder for å løse likninger av første og andre grad.

Likninger av første grad løser vi ved å samle ledd som inneholder den ukjente, på venstre side av likhetstegnet, og ledd som ikke inneholder den ukjente, på høyre side. Deretter trekker vi sammen, og dividerer eller multipliserer med samme verdi på begge sider, slik at den ukjente står alene igjen på venstre side. Andregradslikninger løser vi enklest ved å samle alle ledd på venstre side og bruke abc-formelen. Å løse likninger av høyere grad krever mer innfløkte metoder, og er ikke noe vi skal gå nærmere inn på, med et par unntak:

I artikkelen om å faktorisere polynomer ser vi hvordan vi i noen spesialtilfeller kan finne nullpunktene til polynomer av 3. grad eller høyere. Disse metodene kan vi bruke på samme måte til å løse likninger av 3. grad eller høyere.

Sette x utenfor parentes

Dersom vi har en 3. gradslikning som mangler konstantleddet, kan vi sette x utenfor parentes.

Eksempel 1:

Vi skal løse tredjegradslikningen 2x³ − 10x² + 12x = 0.

Vi setter x utenfor parentes, og får x(2x² − 10x + 12) = 0.

Uttrykket på venstre side blir 0 når x = 0, eller når uttrykket inni parentesen er 0.

x = 0 er altså en løsning til likningen.

For å finne ut når uttrykket inni parentesen er 0, løser vi likningen 2x² − 10x + 12 = 0 ved hjelp av abc-formelen. Vi får da at x₁ = 3 og x₂ = 2.

Løsningene til likningen 2x³ − 10x² + 12x = 0 er altså x₁ = 3, x₂ = 2, x₃ = 0.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de tre tilfellene:

V.S. når x = 3: 2x³ − 10x² + 12x = 2 · 3³ − 10 · 3² + 12 · 3 = 54 − 90 + 36 = 0.

V.S. når x = 2: 2x³ − 10x² + 12x = 2 · 2³ − 10 · 2² + 12 · 2 = 16 − 40 + 24 = 0.

V.S. når x = 0: 2x³ − 10x² + 12x = 2 · 0³ − 10 · 0² + 12 · 0 = 0.

Vi ser at alle tre x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Har vi en fjerdegradslikning som ikke inneholder ledd med lavere grad enn x², kan vi sette x² utenfor parentes. x = 0 vil da være en løsning til likningen. Inni parentesen vil vi ha et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen. Disse nullpunktene vil være de andre to løsningene til likningen.

Oppgave 1:

Løs likningen x⁴ + x³ − 6x² = 0 og sett prøve på svaret.

Hint: I oppgave 3 i artikkelen om å faktorisere polynomer skriver vi x⁴ + x³ − 6x² som x²(x² + x − 6), og finner at nullpunktene til uttrykket inni parentesen var x₁ = 2 og x₂ = −3.

Se løsningsforslag

Generelt, hvis vi har en likning av grad n som ikke inneholder ledd med lavere grad enn xⁿ⁻², kan vi sette xⁿ⁻² utenfor parentes og stå igjen med et andregradspolynom inni parentesen.

Erstatte kvadratet av x

Hvis vi har en fjerdegradslikning som ikke har tredjegradsledd, kan vi erstatte x² med en variabel i første potens. Vi får da en andregradslikning vi kan løse.

Eksempel 2:

Vi skal løse fjerdegradslikningen x⁴ − 13x² + 36 = 0.

x⁴ kan skrives som (x²)², så vi kan skrive likningen som (x²)² − 13x² + 36 = 0.

Vi erstatter så x² med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Likningen blir da s² − 13s + 36 = 0.

Dette er en andregradslikning vi kan løse ved hjelp av abc-formelen. Vi får da at s₁ = 9 og s₂ = 4.

Løsningen til likningen s² − 5s + 4 = 0 er altså s₁ = 9 og s₂ = 4.

Siden vi har at s = x², vet vi nå at x² = 9 og x² = 4 er løsningene til likningen x⁴ − 13x² + 36 = 0.

For å finne x trekker vi ut rota på begge sider i uttrykkene med x²:

$x^2 = 9 \Rightarrow \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{9} \Rightarrow x = \pm 3$

$x^2 = 4 \Rightarrow \sqrt{x^4} = \pm \sqrt{4} \Rightarrow x = \pm 2$

Løsningene til likningen x⁴ − 13x² + 36 = 0 er altså x₁ = 3, x₂ = −3, x₃ = 2, x₄ = −2.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de fire tilfellene:

V.S. når x = 3: x⁴ − 13x² + 36 = 3⁴ − 13 · 3² + 36 = 81 − 117 + 36 = 0.

V.S. når x = −3: x⁴ − 13x² + 36 = (−3)⁴ − 13 · (−3)² + 36 = 81 − 117 + 36 = 0.

V.S. når x = 2: x⁴ − 13x² + 36 = 2⁴ − 13 · 2² + 36 = 16 − 52 + 36 = 0.

V.S. når x = −3: x⁴ − 13x² + 36 = (−2)⁴ − 13 · (−2)² + 36 = 16 − 52 + 36 = 0.

Vi ser at alle fire x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Oppgave 2:

Løs likningen x⁴ − 10x² + 9 = 0 og sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Oppgave 3:

Løs likningen x⁴ – 5x² + 4 = 0.

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Dividere med kjente løsninger

En metode til å løse tredjegradslikninger har vi hvis vi allerede kjenner én av løsningene. For hvis x₁ er en løsning til likningen ax³ + bx² + cx + d = 0, kan likningen skrives som (x − x₁)(fx² + gx + h) = 0. Da står vi igjen med en andregradslikning som vi kan løse. Hva koeffisientene f, g og h blir, finner vi ut ved polynomdivisjon, slik det beskrives i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 3:

Vi skal finne alle løsningene til tredjegradslikningen 3x³ − 21x + 18 = 0, der vi vet at x = 2 er en løsning.

Vi utfører polynomdivisjonen (3x³ − 21x + 18) : (x − 2) og får 3x² + 6x − 9.

Det betyr at 3x³ − 21x + 18 = 0 ⇒ (x − 2)(3x² + 6x − 9) = 0.

Løser vi andregradslikningen i dette uttrykket, får vi x₁ = −3 og x₂ = 1.

Så løsningene til tredjegradslikningen er x₁ = −3, x₂ = 1, x₃ = 2.

Vi kan løse en fjerdegradslikning hvis vi kjenner to løsninger, x₁ og x₂, ved å dividere fjerdegradspolynomet på (x − x₁) og (x − x₂). Tilsvarende for en femtegradslikning hvis vi kjenner tre løsninger, og så videre.

Oppgave 4:

Løs fjerdegradslikningen −x⁴ + x³ + 11x² − 9x −18 = 0 når du vet at to av likningens løsninger er x₁ = −3 og x₂ = 2.

Skjermfilm Se film der løsningen vises

En likning av n-te grad har den generelle formen a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ = 0.

Generelt har en likning av n-te grad n løsninger. En førstegradslikning har én løsning, en andregradslikning to, en tredjegradslikning tre, og så videre. I noen tilfeller kan to eller flere løsninger falle sammen, og i noen tilfeller vil noen av løsningene være komplekse tall. En likning av odde grad vil imidlertid alltid ha minst én løsning som er et reelt tall.

Oppgave 5:

Bildet under viser grafene til tre vilkårlige polynomer av odde grad. Den grønne tilhører et polynom av 3. grad, den røde et polynom av 5. grad, og den blå et polynom av 7. grad. Studer grafene og forsøk å finne et argument for at alle likninger av odde grad vil ha minst én løsning som er et reelt tall.

Hint: Skjæring med x-aksen.

Grafene til polynomer av odde grad

Se løsningsforslag

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag

16. juli 202311. september 2023

Relasjoner

En relasjon angir et forhold mellom to eller flere elementer. Eksempler er «>», «<» og «=». For eksempel betyr a > b at a er større enn b.

En relasjon, R, er

Refleksiv hvis a R a.

Symmetrisk hvis a R b medfører b R a.

Transitiv hvis a R b og b R c medfører a R c.

Eksempel 1:

«=» er en relasjon som er:

Refleksiv. a = a. Et element er likt seg selv.

Symmetrisk. Hvis a = b, så er b = a. Hvis det første elementet er likt det andre, er det andre likt det første.

Transitiv. Hvis a = b og b = c, så er a = c. Hvis det første elementet er likt det andre, og det andre er likt det tredje, er det første likt det tredje.

En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kalles en ekvivalensrelasjon.

Oppgave 1:

Avgjør om relasjonen «<» er henholdsvis refleksiv, symmetrisk og transitiv.

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
- Store norske leksikon

31. mai 201723. desember 2024

Logaritmer

I artikkelen om potensregning ser vi at vi at å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene: a^x · a^y = a^x ^{+ y}. I stedet for å utføre en multiplikasjon utfører vi altså en addisjon.

Eksempel 1:

10⁴ · 10³ = 10⁴⁺³ = 10⁷

La oss så si at vi har en funksjon som henter ut eksponenten i en potens med 10 som grunntall. Vi vil kalle den log. For eksempel er log(10⁴) = 4. Så har vi en funksjon som legger inn eksponenten i en potens med 10 som grunntall, vi vil kalle den antilog. For eksempel er antilog(4) = 10⁴. I eksempel 2 under bruker vi disse funksjonene til å gjøre utregningene i eksempel 1.

Eksempel 2:

log(10⁴) = 4

log(10³) = 3

4 + 3 = 7

antilog(7) = 10⁷

Funksjonen log er en logaritme som henter ut eksponenten i en potens med 10 som grunntall. Funksjonen antilog er en antilogaritme som gjør det motsatte av logaritmen, legger inn eksponenten i en potens med 10 som grunntall.

Eksempel 2 var veldig enkelt og gjennomsiktig, og vi kunne lett ha gjort beregningen 10⁴ · 10³ direkte ved å addere eksponentene, som i eksempel 1. Men funksjonene log og antilog virker også selv om vi ikke har oppgitt eksponentene eksplisitt, for eksempel er log(250) ≈ 2,39794001 fordi 10^2,39794001 ≈ 250.

Eksempel 3:

Vi skal regne ut 176 · 322 ved hjelp av logaritmer.

Vi bruker log til å hente ut eksponentene:

log(176) ≈ 2,24551267, fordi 10^2,24551267 ≈ 176

log(322) ≈ 2,50785587, fordi 10^2,50785587 ≈ 322

Vi summerer logaritmene:

2,24551267 + 2,50785587 = 4,75336854

Vi bruker antilog til å legge inn summen som eksponent:

antilog(4,75336854) = 10^4,75336854 ≈ 56672,0001

Bortsett fra avrundingsfeil er dette riktig, for vi har

176 · 322 = 56672

Logaritmebegrepet ble introdusert i 1614 og hadde stor praktisk nytte. I en tid da alle beregninger ble gjort for hånd, var det en stor forenkling å kunne erstatte multiplikasjoner med addisjoner. Logaritmer gjorde det også mulig å gjøre eksponentiering om til multiplikasjon, som igjen kunne gjøres om til addisjon. Det ble utarbeidet store tabeller over logaritmer og antilogaritmer, og utregninger som i eksempel 3 ble gjort ved hjelp av slike tabeller.

I en tid med kalkulatorer og datamaskiner har logaritmer ikke lenger betydning som verktøy for å forenkle utregninger, men det er allikevel et sentralt matematisk konsept vi må kjenne til.

Briggske logaritmer

Logaritmer kan baseres på forskjellige grunntall, for eksempel 10, slik vi har gjort så langt. Logaritmer med 10 som grunntall kalles briggske, oppkalt etter matematikeren Henry Briggs.

Det er vanlig å bruke ordet log for å angi briggske logaritmer, men vi sløyfer gjerne parentesene rundt tallet vi beregner logaritmen til. Vi skriver for eksempel bare log 250 i stedet for log(250). Det brukes ikke noe eget ord for antilogaritme, for å angi den briggske antilogaritmen til x, skriver vi 10^x.

Bortsett fra de aller enkleste utgavene kan kalkulatorer regne ut briggske logaritmer. I Excel og GeoGebra kan vi bruke funksjonen log til dette. I Excel må vi imidlertid sette parenteser rundt tallet vi skal beregne logaritmen til. I GeoGebra blir det surr noen ganger hvis vi utelater parenteser, så vi bruker konsekvent parenteser når vi beregner logaritmer i GeoGebra også.

Eksempel 4:

Vi skal beregne den briggske logaritmen til 32, og den briggske antilogaritmen til 2,2 på kalkulator, i Excel og i GeoGebra. Hvordan knappene på en kalkulator ser ut, kan variere fra modell til modell, på min Casio fx-82ES PLUS heter knappen for å beregne briggske logaritmer log, og knapppen for å beregne briggske antilogaritmer heter 10^■.

For å beregne log 32 på min kalkulator trykker jeg på tastene log 3 2 ) =. Kalkulatoren svarer 1.505149978. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =log(32) i ei celle. I GeoGebra skriver vi log(32) i inntastingsfeltet. Hvis vi vil se flere desimaler, endrer vi dette under «Innstillinger» – «Avrunding».

For å beregne den briggske antilogaritmen til 2,2 på min kalkulator trykker jeg på tastene 10^■ 2 . 2 =. Kalkulatoren svarer 158.4893192. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =10^2,2 i ei celle. I GeoGebra, skriver vi 10^2.2 i inntastingsfeltet.

Oppgave 1:

Beregn den briggske logaritmen til 0,2 og den briggske antilogaritmen til 2 på kalkulator, og med Excel eller GeoGebra. Husk at punktum, ikke komma, er desimalskilletegn i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Den briggske logaritmen til et tall, x, er altså det tallet vi må opphøye 10 i for å få x.

Vi har for eksempel at:

log 1000 = 3, fordi 10³ = 1000

log 100 = 2, fordi 10² = 100

log 10 = 1, fordi 10¹ = 10

log 1 = 0, fordi 10⁰ = 1

log 0,1 = −1, fordi 10⁻¹ = 1/10¹ = 0,1

log 0,01 = −2, fordi 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0,01

Den briggske logaritmen til et tall, x, er

Større enn 1 hvis x > 10.

1 hvis x = 10.

Mellom 0 og 1 hvis 1 < x < 10.

0 hvis x = 1.

Et negativt tall hvis 0 < x < 1.

Ikke definert hvis x = 0.

Et komplekst tall hvis x < 0.
Kalkulatorer og dataprogrammer som ikke håndterer komplekse tall, gir en feilmelding hvis vi prøver å beregne logaritmen til et negativt tall.

Naturlige logaritmer

Briggske logaritmer baserer seg på grunntall 10, men vi kan basere logaritmer på et hvilket som helst grunntall. Et vanlig grunntall å bruke er det såkalte Euler-tallet, e, som er et irrasjonalt tall der de første sifrene er 2,71828. Logaritmer basert på e kalles naturlige logaritmer, og betegnes vanligvis med ln. Den naturlige antilogaritmen til x betegner vi med e^x.

Bortsett fra de aller enkleste utgavene kan kalkulatorer regne ut naturlige logaritmer. I Excel og GeoGebra kan vi bruke funksjonen ln til dette. For å regne ut den naturlige antilogaritmen til x, kan vi bruke funksjonen eksp i Excel og exp i GeoGebra.

Eksempel 5:

Vi skal beregne den naturlige logaritmen til 32, og den naturlige antilogaritmen til 2,2 på kalkulator, i Excel og GeoGebra. Hvordan knappene på kalkulator ser ut, kan variere fra modell til modell, på min Casio fx-82ES PLUS heter knappen for å beregne naturlige logaritmer ln, og for å beregne naturlige antilogaritmer e^■.

For å beregne ln 32 på min kalkulator, trykker jeg på tastene ln 3 2 ) =. Kalkulatoren svarer 3.465735903. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =ln(32) i ei celle. I GeoGebra skriver vi ln(32) i inntastingsfeltet.

For å beregne den naturlige antilogaritmen til 2,2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene e^■ 2 . 2 =. Kalkulatoren svarer 9.025013499. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =eksp(2,2) i ei celle. I GeoGebra skriver vi exp(2.2) i inntastingsfeltet.

Oppgave 2:

Beregn den naturlige logaritmen til 0,2 og den naturlige antilogaritmen til 2 på kalkulator, og med Excel eller GeoGebra.

Se løsningsforslag

Den naturlige logaritmen til et tall, x, er altså tallet vi må opphøye e i for å få x.

Logaritmer med forskjellig grunntall

Vi angir grunntallet til en logaritme med senket skrift bak log. For eksempel er log₂ 64 logaritmen til 64 med 2 som grunntall. Hvis vi ikke angir noe grunntall, og bare skriver log, er det underforstått at grunntallet er 10. Hvis grunntallet er e, skriver vi ln i stedet for log_e.

Logaritmen med grunntall a til et tall, x, er

Større enn 1 hvis x > a.

1 hvis x = a.

Mellom 0 og 1 hvis 1 < x < a.

0 hvis x = 1.

Et negativt tall hvis 0 < x < 1.

Ikke definert hvis x = 0.

Et komplekst tall hvis x < 0.

Oppgave 3:

Under er det listet opp fire uttrykk med logaritmer, og vist fire punkter på ei tallinje.

1. 1. 1. log 5
    2. ln 5
    3. log 1
    4. ln 0,5

Punkter som representerer logaritmer

Forklar, uten å regne ut, hvilke punkter som hører sammen med hvilket uttrykk. Bruk så kalkulator, Excel eller GeoGebra til å sjekke om du har rett.

Se løsningsforslag

I Excel og GeoGebra kan vi beregne logaritmer basert på et hvilket som helst grunntall ved å ta med grunntallet når vi bruker log. =log(x, a) og log(a, x) gir logaritmen til x basert på grunntall a i henholdsvis Excel og GeoGebra. For eksempel gir =log(64; 2) logaritmen til 64 med grunntall 2 i Excel og log(2, 64) det samme i GeoGebra. Legg merke til at rekkefølgen på a og x er forskjellig i de to verktøyene.

Har vi ikke verktøy som Excel eller GeoGebra tilgjengelig, kan vi imidlertid beregne logaritmer med hvilke som helst grunntall så lenge vi har et verktøy som kan beregne ln, for eksempel en kalkulator.

For alle grunntall, a, har vi nemlig følgende sammenheng:

$\fbox{$\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$}$

Eksempel 6:

Vi skal beregne log₂ 64 ved å bruke funksjonen ln i Excel og GeoGebra.

Ifølge formelen over har vi at $\log_{\large 2} 64 = \frac{\displaystyle \ln 64}{\displaystyle \ln 2}$. Vi skriver derfor =ln(64) / ln(2) i Excel og ln(64) / ln(2) i inntastingsfeltet i GeoGebra. Vi får svaret 6. Det er riktig, for 2⁶ = 64. Den samme utregningen kan vi altså gjøre ved å skrive =log(64;2) i Excel og log(2, 64) i GeoGebra.

Oppgave 4:

Beregn log₃ 81 ved å bruke funksjonen ln i Excel eller GeoGebra, og kontroller svaret ved å bruke log med grunntall 3.

Se løsningsforslag

Regneregler for logaritmer

I det følgende bruker vi ln som eksempel på logaritme, men reglene er gyldige for logaritmer med alle grunntall.

For alle logaritmer har vi følgende sammenhenger:

$\fbox{$\ln u \cdot v = \ln u+ \ln v$}$
Å ta logaritmen til et produkt er det samme som å addere logaritmen til hver av faktorene.
$\fbox{$\ln \frac {\displaystyle u}{\displaystyle v} = \ln u − \ln v$}$
Å ta logaritmen til en kvotient er det samme som å subtrahere logaritmen til dividend og divisor.
$\fbox{$\ln u^{\large r} = r \cdot \ln u$}$
Å ta logaritmen til en potens er det samme som å multiplisere eksponenten med logaritmen til grunntallet.

Med logaritmer gjøres altså multiplikasjon og divisjon om til addisjon og subtraksjon, og eksponentiering gjøres om til multiplikasjon.

Litt flere regneregler:

$\fbox{$\ln \frac {\displaystyle 1}{\displaystyle u} = − \ln u$}$
Å ta logaritmen til inversen til et tall er det samme som å ta logaritmen til tallet og skifte fortegn.
(Dette er egentlig et spesialtilfelle av regel 2 med u = 1)
$\fbox{$e^{\large \ln u} = u$}$
Eksponentiering og logaritme opphever hverandre.
$\fbox{$\ln e^{\large u} = u$}$
Logaritme og eksponentiering opphever hverandre.

Vi kan ikke dele opp beregningen av logaritmen til en sum eller differanse. Generelt er ln(u + v) ≠ ln u + ln v og ln(u − v) ≠ ln u − ln v.

Logaritmiske skalaer

På aksene i koordinatsystemene våre er vi vant til å bruke lineære skalaer, det vil si at for hver enhet vi beveger oss langs en av aksene, endres x– eller y-verdien med et fast tall. Et eksempel er vist under, der x-verdien endres med 1 for hver strek vi beveger oss langs x-aksen, og y-verdien endres med 3 for hver strek vi beveger oss langs y-aksen.

Koordinatsystem med lineær skala langs begge aksene

Hvis vi skal plotte punktene A = (1, 3), B = (2, 5) og C = (6, 1), er det ingen problemer med å gjøre det i koordinatsystemet over. Skal vi plotte A = (1, 3000), B = (2, 5000) og C = (6, 1000), gir det heller ingen problemer, vi endrer bare skalaen på y-aksen til å være for eksempel 1000 per strek. Alle punktene er nemlig av samme størrelsesorden

Men hvis vi har punkter som A = (1, 3), B = (2, 5000) og C = (3, 1000000) får vi et problem. y-verdien til disse punktene er nemlig ikke i samme størrelsesorden. Er skalaen tilpasset punktet A, havner B og C langt utenfor skjermen. Tilpasser vi skalaen til C, blir A og B liggende klemt inntil x-aksen:

Illustrasjon av problem med data av forskjellig størrelsesorden i et lineært koordinatsystem

Løsningen er å endre skalaen slik at vi ikke adderer et tall for hver enhet på y-aksen, men multipliserer med et tall.

Vi inspiserer noen logaritmer igjen: Vi har at log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, etc. For hver gang vi multipliserer et tall med 10, øker den briggske logaritmen med 1. Generelt har vi at hver gang vi multipliserer et tall med a, øker logaritmen med grunntall a med 1.

Og det er jo nettopp et slikt system vi trenger på y-aksen når vi skal plotte elementer av ulik størrelsesorden. Vi bruker da en logaritmisk skala, ikke en lineær. Det spiller ingen rolle hvilken logaritme vi velger. Bildet under viser punktene A, B og C i et koordinatsystem med logaritmisk skala basert på grunntall 10 på y-aksen.

Data av forskjellig størrelsesorden i et koordinatsystem med en logaritmisk akse

I eksemplet over har vi brukt lineær skala på x-aksen og logaritmisk skala på y-aksen, men ved behov kan vi ha logaritmisk skala på begge aksene, eller bare x-aksen.

Et praktisk eksempel på forskjellig størrelsesorden er lydeffekt. Lista under viser lydeffekt i W fra forskjellige lydkilder:

Høreterskel: 0,000000000001
Hvisking: 0,000000001
Oppvaskmaskin: 0,0001
Symfoniorkester: 1
Propellfly: 100
Jetfly: 1000
Saturnrakett: 100 000

Det vil ikke la seg gjøre å fremstille dette fornuftig på en lineær skala. Men på en logaritmisk skala går det fint. Og det er nettopp det vi gjør i praksis. Vi måler ikke lyd i lineære watt, men i logaritmiske desibel, db. En økning i lydstyrke på 3 db tilsvarer en dobling av effekten.

Oppgave 5:

Bildet under viser 9 punkter med verdi fra 1 til 100 på en logaritmisk skala. A har verdien 1, E har verdien 10 og I har verdien 100. Anslå verdien til de andre punktene.

Punkter fordelt langs en logaritmisk akse

Se løsningsforslag

Kilder

- Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

3. mai 20179. desember 2024

Summasjonstegn

La oss si at vi skal summere kvadratet av heltallene fra 1 til 5. Da kan vi skrive summen slik:

1² + 2² + 3² + 4²+ 5²

Men skal vi summere mange tall, for eksempel kvadratet av heltallene fra 1 til 1000, blir det både omstendelig og uoversiktlig å skrive alle tallene. Da kan vi i stedet skrive de første to-tre tallene for å vise mønsteret, så skrive tre prikker, og deretter skrive det siste tallet vi skal summere.

Eksempel 1:

Vi skal summere kvadratet av heltallene fra 1 til 1000. Det kan vi skrive slik:

1² + 2² + 3² + … + 1000²

Symbolet med de tre prikkene kalles ellipse, og angir at noe er utelatt. Ellipse bruker vi også i språklige sammenhenger.

Hvis vi skal summere et uendelig antall tall, bruker vi ellipse uten noe siste tall, for eksempel 1² + 2² + 3² + …

Summasjonstegnet sigma

En annen måte å angi en sum på er å bruke summasjonstegn, noe som er både enkelt og oversiktlig. Som summasjonstegn bruker vi den greske bokstaven Σ, stor sigma. I eksempel 2 ser vi hvordan vi kan angi det samme som i eksempel 1 ved hjelp av summasjonstegn.

Eksempel 2:

Summen av kvadratet av heltallene fra 1 til 1000 kan vi angi slik:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{1000} n^2$

Variabelen n kalles en summasjonsindeks eller summasjonsvariabel.

Summasjonsindeks

Når vi angir en sum ved hjelp av Σ, må vi ha en summasjonsindeks, som i eksempel 2. Startverdien til indeksen angir vi under Σ, sluttverdien over. Bak Σ har vi så et algebraisk uttrykk som involverer indeksen, i eksempel 2 er det n². Indeksen vil gå i skritt på 1 fra og med startverdien til og med sluttverdien, og hver verdi vi bli satt inn i det algebraiske uttrykket og summert.

Det er en konvensjon at det bare er sammen med startverdien vi angir navnet på indeksen, vi utelater det ved sluttverdien. Som vi ser i eksempel 2, skriver vi bare 1000, ikke n = 1000, over Σ.

I GeoGebra kan vi beregne summer ved hjelp av kommandoen Sum. Vi angir da det algebraiske uttrykket, navnet på summasjonsindeksen, og indeksens start- og sluttverdi. For å beregne summen i eksempel 2, for eksempel, skriver vi Sum(n^2, n, 1, 4) i inntastningsfeltet. Her angir vi at vi skal summere n² for alle n fra og med 1 til og med 4. GeoGebra svarer med 30 i algebrafeltet.

Oppgave 1:

Beregn summen som angis med uttrykket $\displaystyle \sum_{n = 1}^{3} 2^n$.

Kontroller utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Startverdi til summasjonsindeks

Startverdien til summasjonsindeksen trenger ikke være 1. I eksempel 3 summerer vi for eksempel fra og med n = 5 til og med n = 8.

Eksempel 3:

Vi skriver summen $\sqrt 5 + \sqrt 6 + \sqrt 7 + \sqrt 8$ ved hjelp av summasjonstegn som

$\displaystyle \sum_{n = 5}^8 \sqrt n$

Oppgave 2:

Skriv summen ${\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{5}} + \cdots + {\large \frac{1}{100}}$ ved hjelp av summasjonstegn.

Se løsningsforslag

Dersom vi ønsker å bruke tall med en annen avstand enn 1, kan vi bruke produkter av summasjonsindeksen.

Eksempel 4:

Vi skal skrive 2 + 4 + 6 + … + 100 ved hjelp av summasjonstegn. Her er avstanden mellom tallene 2, så det algebraiske uttrykket blir 2n.

$\displaystyle \sum_{n =1}^{50} 2n$

Når n = 1, blir 2n = 2, når n = 2, blir 2n = 4, og så videre opp til n = 50 som gir 2n = 100.

Navn på summasjonsindeks

Navnet på summasjonsindeksen spiller ingen rolle, vi må bare passe på at det er overensstemmelse mellom det som angis sammen med startverdien, og det som brukes i det algebraiske uttrykket. Andre vanlig navn på summasjonsindekser er m, i og j.

Eksempel 5:

Hvis vi velger i som summasjonsindeks, blir uttrykket fra eksempel 2 slik:

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{1000} i^2$

For å beregne summen i GeoGebra skriver vi sum(i^2, i, 1, 1000) i inntastningsfeltet. GeoGebra svarer med 333 833 500 i algebrafeltet.

Det er bare summasjonsindeksen som blir gitt verdier, andre variabler påvirkes ikke.

Eksempel 6:

I begge uttrykkene under er det algebraiske uttrykket mⁿ, men i det første er summasjonsindeksen n, i det andre er summasjonsindeksen m.

$\displaystyle \sum_{n = 1}^3 m^n $ betyr m¹ + m² + m³

$\displaystyle \sum_{m = 1}^3 m^n$ betyr 1ⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ

Indeks uten sluttverdi

Vi kan angi at vi summerer uendelig mange tall ved å sette symbolet for «uendelig», ∞, over summasjonstegnet.

Eksempel 7:

$\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n}$ betyr at n blir 1, 2, 3, …

Summen blir følgelig ${\large \frac{1}{2^1}} + {\large \frac{1}{2^2}} + {\large \frac{1}{2^3}} + \dots$

Alternerende fortegn

For å få alternerende fortegn, det vil si at vi adderer annet hvert tall og subtraherer annet hvert tall, kan vi benytte faktoren (−1)ⁿ, som vil være 1 når n er partall, og −1 når n er oddetall. Vil vi ha 1 når n er oddetall, og −1 når n er partall, kan vi benytte faktoren (−1)⁽ⁿ^-1).

Eksempel 8:

−1 + 2 − 3 + 4 kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (−1)^n n$

1 − 2 + 3 − 4 kan skrives som

$\displaystyle \sum_{n =1}^4 (−1)^{(n−1)} n$

Oppgave 3:

Skriv ut tallene som er angitt med summasjonstegn under:

1. 1. 1. $\displaystyle \sum_{n = 1}^5 n$
    2. $\displaystyle \sum_{n = 0}^4 n + 1$
    3. $\displaystyle \sum_{i = 1}^5 \frac{i}{i + 1}$

Skjermfilm Se film der løsningsforslaget vises

Kilder

- Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
- Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.

3. mai 201716. desember 2024

Rekker

Hva er rekker?

Ei rekke består av summen av leddene i en følge. Det er fort å gå surr i hva som er rekker og hva som er følger, men kort sagt er rekker de med plusstegn. De uten plusstegn er følger. Ei rekke kan inneholde et endelig eller uendelig antall ledd.

Eksempel 1:

Ei tallrekke: 1 + 2 + 3 + …

Eksempel 2:

Ei tallrekke: ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$

Når det gjelder formler for summen av de n første leddene i ei rekke, skal vi begrense oss til å se på eksplisitte formler for aritmetiske og geometriske rekker.

Aritmetiske rekker

Ei aritmetisk rekke er summen av leddene i en aritmetisk følge. I en aritmetisk følge er altså hvert ledd lik det forrige pluss en konstant, slik det beskrives i artikkelen om følger. Vi ser at rekka i eksempel 1 er aritmetisk.

For alle aritmetiske rekker kan vi angi summen av de n første leddene eksplisitt med formelen:

$\fbox{Aritmetisk rekke: $S_n = \frac{\displaystyle n(a_1 + a_n)}{\displaystyle 2}$}$

Eksempel 3:

Summen av de 5 første leddene i den aritmetiske rekka 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … er

$S_5 = \frac{\displaystyle5(3 + 11)}{\displaystyle 2} = 35$.

Hvis ikke ledd nummer n er listet opp, må vi finne det ved hjelp av formelen beskrevet i artikkelen om følger: a_n = a₁ + (n − 1)k, der k er konstanten vi adderer for å komme fra ett ledd til neste.

Eksempel 4:

Vi skal finne summen av de 20 første leddene i den aritmetiske rekka 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + …

Her er k = 2, så vi får at a₂₀ = 3 + (20 − 1)2 = 41.

Og vi får

$S_{20} = \frac{\displaystyle20(3 + 41)}{\displaystyle 2} = 440$.

Geometriske rekker

Ei geometrisk rekke er summen av leddene i en geometrisk følge. I en geometrisk følge er altså hvert ledd lik det forrige multiplisert med en konstant, slik det beskrives i artikkelen om følger. Vi ser at rekka i eksempel 2 er geometrisk.

For alle geometriske rekker kan vi, når k er konstanten i den tilhørende følgen, angi summen av de n første leddene eksplisitt med formelen

$\fbox{Geometrisk rekke: $S_n = \frac{\displaystyle k^n − 1}{\displaystyle k − 1} \cdot a_1$}$

Eksempel 5:

I rekka ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$ er konstanten i den tilhørende følgen $k = {\large \frac{1}{2}}$.

Summen av de 5 første leddene blir da

$S_5 = {\large \frac{\Big(\frac{1}{2}\Big)^5 − 1}{\frac{1}{2} − 1}} \cdot {\large \frac{1}{2}} = 1 − \Big({\large \frac{1}{2}}\Big)^5 = {\large \frac{31}{32}} = 0{,}96875$.

Konvergente og divergente rekker

Dersom summen av leddene i ei uendelig rekke kommer nærmere og nærmere en fast verdi jo lenger ut vi går, er rekka konvergent. I motsatt fall er den divergent.

Ei aritmetisk rekke vil alltid være divergent fordi hvert nytt ledd som tas med vil øke tallverdien til summen. Ei geometrisk rekke vil være konvergent hvis absoluttverdien til konstanten vi multipliserer med i den tilhørende følgen, |k|, er mindre enn 1. Og rekka, altså summen av uendelig mange ledd, vil konvergere mot

$\fbox{Konvergent geometrisk rekke: $S = \frac{\displaystyle a_1}{\displaystyle 1 − k}$}$

Eksempel 6:

Den geometriske rekka ${\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots$ er konvergent fordi $|k| = {\large \frac{1}{2}} < 1$.

Og summen blir $S = {\large \frac{\frac{1}{2}}{1 − \frac{1}{2}}} = 1$.

Delsummen $S_n = {\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{8}} + \dots + {\large \frac{1}{2^n}}$ kommer altså nærmere og nærmere 1 jo høyere n blir, slik det er illustrert under:

Summen av rekka 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... illustrert med en sirkel

Eksempel 7:

Den geometriske rekka $1 − {\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{9}} − {\large \frac{1}{27}} + \dots$ er konvergent fordi $|k| = |−{\large \frac{1}{3}}| = {\large \frac{1}{3}} < 1$.

Og summen blir $S = {\large \frac{1}{1 − (− {\Large \frac{1}{3})}}} = {\large \frac{3}{4}} = 0{,}75$.

Eksempel 8:

Den geometriske rekka $1 + {\large \frac{4}{3}} + {\large \frac{16}{9}} + \dots$ er divergent fordi $|k| = |{\large \frac{4}{3}}| > 1$.

Vi kan altså ikke beregne noen sum for hele rekka, men vi kan beregne summer av et vilkårlig antall ledd ved hjelp av formelen $S_n = \frac{\displaystyle k^n − 1}{\displaystyle k − 1} \cdot a_1$. For eksempel

$S_3 = {\large \frac{\Big(\frac{4}{3}\Big)^3 − 1}{\frac{4}{3} − 1}} \cdot 1 \approx 4{,}11$.

For rekker som ikke er geometriske, kan det være mer komplisert å avgjøre om de er konvergente eller ikke. Det må selvfølgelig være et krav at leddene nærmer seg null når vi går utover, men dette kravet i seg selv er ikke nok. I artikkelen om følger, eksempel 4, sier vi at følgen $1, {\large \frac{1}{2}}, {\large \frac{1}{3}}, {\large \frac{1}{4}}, \dots$ er konvergent fordi leddene stadig kommer nærmere 0, men den tilsvarende rekka $1 + {\large \frac{1}{2}} + {\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + \dots$ er allikevel divergent. Denne rekka har for øvrig et eget navn, den harmoniske rekka, et navn hentet fra musikkens verden.

Kilder

- Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
- Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.

3. mai 20178. desember 2024

Følger

Hva er en følge?

En følge er en mengde objekter som er ordnet, det vil si at de har en bestemt rekkefølge. I eksemplene i denne artikkelen er disse objektene tall, men en følge kan også bestå av andre objekter, for eksempel algebraiske symboler.

Eksempel 1:

En tallfølge: 1, 2, 3, …

Eksempel 2:

En tallfølge: ${\large \frac{1}{2}}, {\large\frac{1}{4}}, {\large\frac{1}{8}}, \dots$

En følge kan inneholde et endelig eller uendelig antall ledd. Det er vanlig å bruke bokstaven a som navn på leddene i en følge, sammen med et suffiks som forteller hvilket nummer i følgen leddet er.

I eksempel 1 har vi at a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, og så videre.

I eksempel 2 har vi at $a_1 = {\large \frac{1}{2}}, a_2 = {\large \frac{1}{4}}, a_3 = {\large \frac{1}{8}}$, og så videre.

Eksplisitt formel for følger

Å angi verdiene til leddene i en følge uten å ramse dem opp, kan gjøres ved å angi en formel for det generelle elementet a_n. Det kan gjøres på to måter, eksplisitt og rekursivt. Eksplisitt forteller vi direkte hvilken verdi et ledd har.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere eksplisitt med formelen a_n = n.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere eksplisitt med formelen $a_n = {\large \frac{1}{2^{\Large n}}}$.

Rekursiv formel for følger

Rekursivt forteller vi hvilken verdi et ledd har ved å henvise til ett eller flere av de foregående leddene. Vi må da også angi én eller flere startverdier.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere rekursivt ved å si at a₁ = 1 og a_n_{+ 1} = a_n + 1, fordi første ledd er 1, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd pluss 1.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere rekursivt ved å si at $a_1 = \large \frac{1}{2}$ og $a_{n+1} = \large \frac{a_n}{2}$, fordi første ledd er $\large \frac{1}{2}$, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd dividert med 2.

Oppgave 1:

Skriv de fem første leddene i følgene gitt ved

a_n = (−1)ⁿ · 2ⁿ
a₁ = −2 og a_n+1 = −2a_n

Skjermfilm Se film der løsningsforslaget vises

Aritmetiske og geometriske følger

To spesielle former for følger er aritmetiske følger og geometriske følger. I en aritmetisk følge er hvert ledd lik det forrige pluss en konstant, i en geometrisk følge er hvert ledd lik det forrige multiplisert med en konstant. Eksempel 1 er en aritmetisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige pluss konstanten 1, og eksempel 2 er en geometrisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige multiplisert med konstanten ${\large \frac{1}{2}}$.

Oppgave 2:

Avgjør om følgene under er aritmetiske eller geometriske, og angi i så fall en rekursiv formel for dem.

0, −2, −4, −6, −8, …
1, −2, 4, −8, 16, …
2, 3, 5, 7, 11, …

Skjermfilm Se film der løsningsforslaget vises

Å finne en eksplisitt formel for en aritmetisk eller geometrisk følge er ikke vanskelig. I en aritmetisk følge har vi at hvert ledd er lik det forrige pluss en konstant k. Vi har at

a₂ = a₁ + k

a₃ = a₂ + k = (a₁ + k) + k = a₁ + 2k

a₄ = a₃ + k = (a₁ + 2k) + k = a₁ + 3k

Slik kan vi holde på opp til element nummer n, og vi får at

$\fbox{Aritmetisk følge: $a_n = a_1 + (n − 1)k$}$

Tilsvarende får vi for en geometrisk følge at

$\fbox{Geometrisk følge: $a_n = a_1 \cdot k^{n − 1}$}$

Oppgave 3:

Finn en eksplisitt formel for følgene

4, 1, −2, −5, −8, …
3, −6, 12, −24, 48, …

Skjermfilm Se film der løsningsforslaget vises

Konvergente og divergente følger

En følge kan ha et begrenset antall ledd, eller den kan ha uendelig mange ledd.

Dersom verdiene i en uendelig lang følge kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, er følgen konvergent. I motsatt fall er den divergent.

Eksempel 3:

Følgen 1, 2, 3, … er divergent fordi leddene ikke nærmer seg noen bestemt verdi jo lenger ut vi går.

Eksempel 4:

Følgen $1, {\large \frac{1}{2}}, {\large \frac{1}{3}}, {\large \frac{1}{4}}, \dots$ er konvergent fordi leddene stadig kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, i dette tilfellet 0.

Fibonaccis følge

Følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … kalles Fibonaccis følge. Tallene i følgen kalles gjerne fibonaccitall. Fibonaccis følge angis lettest med en rekursiv formel:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_1 = 1, \; a_2 = 1, \; a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$}$

De to første leddene er altså lik 1, deretter er hvert ledd lik summen av de to foregående.

Oppgave 4:

Bruk regneark til å

finne de 30 første tallene i Fibonaccis følge.
Finne kvotienten mellom etterfølgende tall i følgen, altså $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ for $n = 1 \dots 29$.

Skjermfilm Se film der løsningsforslaget vises

Det gylne snitt

Jo lenger ut i Fibonaccis følge vi går, jo mer nærmer kvotienten $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ seg en verdi som kalles det gylne snitt:

$\fbox{Det gylne snitt: $\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}$}$

Det gylne snitt er et mål for hvordan vi deler et linjestykke med lengde a + b slik at ${\large \frac{a + b}{a}} = {\large \frac{a}{b}}$. Dette er illustrert i bildet under, der et linjestykke er delt i det gylne snitt. Hele linjestykket forholder seg til den blå delen slik den blå delen forholder seg til den røde delen.

Linjestykke som illustrerer det gylne snitt.

Fibonacci kom fram til følgen som et uttrykk for hvordan et kaninpar formerer seg. Både fibonaccitall og det gylne snitt opptrer i en mengde forskjellige sammenhenger i naturen.

I begynnelsen av avsnittet anga vi en rekursiv formel for Fibonaccis følge. Det er ikke lett å finne en eksplisitt formel, men ved hjelp av lineær algebra har en funnet fram til følgende:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_n = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt 5}\Big[{\Big(\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n − {\Big(\frac{\displaystyle 1 − \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n \Big]$}$

Det virker kanskje underlig at denne formelen med tre forekomster av det irrasjonale tallet $\sqrt 5$ resulterer i fibonaccitall, som alle er naturlige, men den gjør det. Bare prøv i et regneark. Vi legger også merke til at det gylne snitt inngår som en del av formelen.

Spesielle egenskaper

Andre interessante egenskaper ved Fibonaccis følge er

To fibonaccitall som følger etter hverandre er innbyrdes primiske.
Største felles faktor for to fibonaccitall er igjen et fibonaccitall.
Alle naturlige tall kan skrives som en sum av forskjellige fibonaccitall.

Kilder

- Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
- Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
- Brodahl, C. Interaktive animasjoner.

29. april 201723. desember 2024

Faktorisere polynomer

Med å faktorisere polynomer mener vi å dele et polynom opp i faktorer av polynomer av lavere grad,

Andregradspolynomer

Bruke konjugatsetningen baklengs

Dersom et andregradspolynom er på formen $x^2 − k$, kan vi enkelt faktorisere det ved å bruke konjugatsetningen baklengs, og skrive polynomet som $(x + \sqrt{k})(x − \sqrt{k})$.

Eksempel 1:

Vi skal faktorisere x² − 9.

Vi bruker konjugatsetningen baklengs, og får at
$x^2 − 9 = (x + \sqrt{9})(x − \sqrt{9}) = (x + 3)(x − 3)$.

Dersom k < 0, vil faktorene bli to kompleks konjugerte tall.

Eksempel 2:

Vi skal faktorisere x² + 9.

Dette polynomet kan skrives som x² − (−9).

$\sqrt{−9}$ kan skrives som $\sqrt{9} \cdot \sqrt{−1}$. Siden $\sqrt{−1} = i$, blir dette 3i.

Ved å bruke konjugatsetningen baklengs, får vi derfor at
$x^2 + 9 = x^2 − (−9) = (x + \sqrt{−9})(x − \sqrt{−9}) = (x + 3i)(x − 3i)$.

Bruke kvadratsetningene baklengs

Enkelte andregradspolynomer kan faktoriseres ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning baklengs, for eksempel er x² + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) og x² − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3).

Oppgave 1:

Faktoriser polynomet (4x² − 8x + 4)(x² − 4) ved å bruke henholdsvis 2. kvadratsetning og konjugatsetningen baklengs.

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Mens det er kjapt å identifisere polynomer som kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen baklengs, kan det være mer arbeidsomt å identifisere dem som kan faktoriseres ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning. Så det kan i stedet være like greit å bruke den generelle metoden med nullpunkter, som er beskrevet i neste avsnitt.

Bruke nullpunkter

Det generelle andregradspolynomet er på formen ax² + bx + c. For å finne nullpunktene må vi finne de verdiene av x som gjør at ax² + bx + c = 0. Dette vet vi at vi kan gjøre ved hjelp av abc-formelen, $x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}}$.

Når vi har funnet x₁ og x₂, kan vi faktorisere polynomet ax² + bx + c, som a(x − x₁)(x − x₂).

Eksempel 3:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet 2x² − 10x + 12.

Vi bruker abc-formelen til å finne polynomets nullpunkter:

$x_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}} = {\large \frac{10 \pm \sqrt{4}}{4}} = {\large \frac{10 \pm 2}{4}} = {\large \frac{5 \pm 1}{2}}$

Så

$x_1= {\large \frac{5+1}{2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

$x_2= {\large \frac{5-1}{2}} = {\large \frac{4}{2}}= 2$

Koeffisienten a er 2, så vi får at

2x² − 10x + 12 = 2(x − 3)(x − 2).

Vi kan lett kontrollere svaret ved å multiplisere ut parentesuttrykket:

2(x − 3)(x − 2) = 2(x² − 2x − 3x + 6) = 2(x² − 5x + 6) = 2x² − 10x + 12. Som er det vi startet med.

I GeoGebra kan vi faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen Faktoriser i CAS. For å faktorisere polynomet i eksempel 3, for eksempel, skriver vi Faktoriser(2x^2 − 10x + 12) i CAS. GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2), som er det samme som vi fant i eksempel 3.

Eksempel 4:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet −x² + 6x − 9.

Vi bruker abc−formelen til å løse likningen −x² + 6x − 9 = 0 og derved finne polynomets nullpunkter.

$x_{1, 2} = {\large \frac{−6\pm \sqrt{6^2 −4 \cdot (−1) \cdot (−9)}}{2 \cdot (−1)}} = {\large \frac{−6 \pm \sqrt{0}}{−2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

Her er både x₁ = 3 og x₂ = 3.

Koeffisienten a er −1, så vi får at

−x² + 6x − 9 = −(x − 3)(x − 3).

Som vi kan skrive som −(x − 3)².

Vi kan kontroller svaret i GeoGebra ved å skrive Faktoriser(−x^2 + 6x – 9) i CAS. GeoGebra svarer med −(x − 3)².

Oppgave 2:

Faktoriser polynomet 2x² + 12x + 10 når du vet at x₁ = −1 og x₂ = −5 er polynomets nullpunkter.

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Polynomer av høyere grad

I artikkelen om abc-formelen ser vi at en andregradslikning kan ha to forskjellige, to sammenfallende, eller ingen løsninger. Det tilsvarende andregradspolynomet har da to forskjellige, to like eller ingen nullpunkter.

Generelt har et polynom av grad n inntil n nullpunkter. Disse kan vi bruke til å faktorisere polynomet, for hvis x_n er et nullpunkt, vil (x − x_n) være en faktor. (Strengt tatt har et polynom av grad n nøyaktig n nullpunkter, men noen av disse kan være sammenfallende eller være komplekse tall.)

Kaller vi polynomet p(x), vil grafen til y = p(x) skjære x-aksen i nullpunktene. Dette er illustrert under, der p(x) er fire forskjellige fjerdegradspolynomer.

Fjerdegradspolynomer
p(x) = x⁴ − 4x² + 2 Fire forskjellige nullpunkter	p(x) = x⁴ − 4x²To forskjellige, og to sammenfallende nullpunkter
p(x) = x⁴ − 4x² − 1 To forskjellige nullpunkter	p(x) = x⁴ − 4x² + 5 Ingen nullpunkter

Å finne nullpunktene til polynomer av høyere grad enn 2 er imidlertid ikke liketil, og ikke noe vi skal beskjeftige oss med, med noen få unntak:

Sette x utenfor parentes

Dersom et tredjegradspolynom mangler konstantleddet, kan vi faktorisere det ved å bruke den distributive lov baklengs, og sette x utenfor parentes.

Eksempel 5:

Vi skal faktorisere tredjegradspolynomet 2x³ − 10x² + 12x.

Vi setter x utenfor parentes: 2x³ − 10x² + 12x = x(2x² − 10x + 12).

Inni parentesen har vi nå et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen. Her er polynomet det samme som i eksempel 3, så vi vet at nullpunktene er x₁ = 3 og x₂ = 2, og at polynomet faktoriseres som 2(x − 3)(x − 2).

Vi har altså at 2x³ − 10x² + 12x = x(2x² − 10x + 12) = x(2(x − 3)(x − 2)) = 2x(x − 3)(x − 2).

Det tredje nullpunktet får vi når x utenfor parentesen er 0, x₃ = 0.

Skriver vi Faktoriser(2x^3 – 10x^2 + 12x) i CAS, svarer GeoGebra med 2x(x − 3)(x − 2).

Vi kan ikke bruke metoden i eksempel 5 hvis tredjegradspolynomet har et konstantledd, som for eksempel 2x³ − 10x² + 12x + 1, fordi vi da har et ledd som ikke inneholder x, så vi kan ikke sette x utenfor parentes.

Har vi et fjerdegradspolynom som ikke inneholder ledd med lavere grad enn x², kan vi sette x² utenfor parentes. Inni parentesen vil vi da ha et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen.

Oppgave 3:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x⁴ + x³ − 6x². Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Generelt, hvis vi har et polynom av grad n som ikke inneholder ledd med lavere grad enn n−2, kan vi sette xⁿ⁻² utenfor parentes og stå igjen med et andregradspolynom inni parentesen.

Erstatte kvadratet av x

Hvis vi har et fjerdegradspolynom som ikke har tredjegradsledd, kan vi erstatte x² med en variabel i første potens. Vi får da et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til.

Eksempel 6:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x⁴ − 13x² + 36.

x⁴ kan skrives som (x²)², så vi kan skrive polynomet som (x²)² − 13x² + 36.

Vi erstatter så x² med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Polynomet blir da s² − 13s + 36.

Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:

$s_{1, 2} = {\large \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 -4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{13 \pm 5}{2}}$

Så vi får

$s_{1} = {\large \frac{13 + 5}{2}} = {\large \frac{18}{2}} = 9$

$s_{2} = {\large \frac{13 − 5}{2}} = {\large \frac{8}{2}} = 4$

Koeffisienten a er 1, så det betyr at s² − 13s + 36 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 4).

Siden vi har at s = x², er dette det samme som (x² − 9)(x² − 4).

Så må vi faktorisere andregradspolynomene x² − 9 og x² − 4. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke konjugatsetningen baklengs:

x² − 9 = (x + 3)(x − 3) og

x² − 4 = (x + 2)(x − 2)

Så vi har at x⁴ − 13x² + 36 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 2)(x − 2)

Skriver vi Faktoriser(x^4 – 13x^2 + 36) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.

Oppgave 4:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x⁴ − 10x² + 9. Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Bruke polynomdivisjon

For polynomer av en hvilken som helst grad vil det være slik at hvis x_n er et nullpunkt, vil (x − x_n) være en faktor i polynomet.

Det betyr at vi hvis vi vet at x_n er et nullpunkt i et polynom, kan vi redusere graden til polynom med 1 ved å dividere polynomet med (x − x_n), slik det beskrives i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 7:

Vi skal faktorisere polynomet −x³ + 4x² − x − 6, og vet at x_n = 2 er ett av polynomets nullpunkter. Da vet vi at −x³ + 4x² − x − 6 kan skrives som (?)(x − 2), der ? er et eller annet polynom av 2. grad. Dette ukjente polynomet kan vi finne ved polynomdivisjon. I eksempel 1 i artikkelen om polynomdivisjon gjør vi denne utregningen, og finner ut at

(−x³ + 4x² − x − 6) : (x − 2) = −x² + 2x + 3.

Så −x³ + 4x² − x − 6 = (−x² + 2x + 3)(x − 2).

Så gjenstår det å faktorisere andregradspolynomet −x² + 2x + 3. Dette polynomets nullpunkter finner vi ved å løse likningen −x² + 2x + 3 = 0.
Vi tar ikke med utregningene her, men svaret er x₁ = −1, x₂ = 3. Det betyr at −x² + 2x + 3 = −(x + 1)(x − 3). Legg merke til minus-tegnet foran parentesene, det kommer av at a i andregradspolynomet er −1.

Nå har vi altså kommet fram til at −x³ + 4x² − x − 6 = −(x + 1)(x − 3)(x − 2), og polynomet er faktorisert så langt det går.

Oppgave 5:

Faktoriser polynomet −x⁴ + x³ + 11x² − 9x − 18 når du vet at x₁ = −3 og x₂ = 2 er nullpunkter i polynomet.

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Kilder

- Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

29. april 20177. desember 2024

Polynomdivisjon

Divisjon av flersifrede tall

På barneskolen lærer vi å utføre divisjon av tall med flere sifre.

Et eksempel er vist under. Her skal 372 deles på 31.

Divisjon av tall, trinn 1

Da spør vi hva vi får når vi dividerer sifferet lengst til venstre i dividenden med sifferet lengst til venstre i divisor. Jo, 3 : 3 = 1. Så multipliserer vi divisor med ett-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi 1 · 31 = 31. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

Divisjon av tall, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende sifrene fra dividenden, og vi har fått en ny dividend.

Divisjon av tall, trinn 3

Så spør vi igjen hva vi får når vi dividerer sifferet lengst til venstre i dividenden med sifferet lengst til venstre i divisor. Jo, 6 : 3 = 2. Vi multipliserer divisor med to-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi 2 · 31 = 62. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

Divisjon av tall, trinn 4

Her står vi igjen med 0, noe som betyr at 372 : 31 = 12. Hvis vi står igjen med noe annet enn 0 til slutt, går ikke divisjonen opp, og vi får en rest.

Divisjon av polynomer

Etter samme mønster som for divisjon av tall kan vi også dividere polynomer. Metoden forutsetter at polynomet er ordnet etter synkende potenser.

Eksempel 1:

Vi skal bruke polynomdivisjon til å beregne (−x³ + 4x² − x − 6) : (x − 2):

Divisjon av polynomer, trinn 1

Når vi dividerer første ledd i dividenden med første ledd i divisor, får vi −x³ : x = −x². Vi multipliserer så divisor med −x² og får −x² · (x − 2) = −x³ + 2x². Så stiller vi resultatet under dividenden og subtraherer.

Divisjon av polynomer, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende leddene fra dividenden, og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 3

Så dividerer vi igjen første ledd i dividenden med første ledd i divisor, og får 2x² : x = 2x. Vi multipliserer så divisor med 2x og får 2x · (x − 2) = 2x² − 4x. Så stiller vi resultatet under dividenden, subtraherer, flytter de resterende leddene ned, og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 4

Så gjentar vi operasjonen enda en gang. 3x : x = 3. Vi multipliserer divisor med 3 og får 3x − 6. Setter under dividenden og subtraherer. Resultatet blir 0. Divisjonen går altså opp.

Divisjon av polynomer, trinn 5

Oppgave 1:

Utfør polynomdivisjonen (x³ − 1) : ( x − 1).

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Divisjon med rest

Det er naturligvis ikke alltid en divisjon går opp. Da får vi en rest. (x⁴ + 3x² − 4) : (x² + 2x) blir for eksempel
x² − 2x + 7 med rest −14x − 4. Det vil si at

$\frac{\displaystyle x^4 + 3x^2 − 4}{\displaystyle x^2 + 2x} = x^2 − 2x + 7 \; − \; \frac{\displaystyle 14x + 4}{\displaystyle x^2 + 2x}$

Oppgave 2:

Utfør polynomdivisjonen nevnt over, altså (x⁴ + 3x² − 4) : (x² + 2x).

Skjermfilm Se film der løsningen vises

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag