Forfatter: Sjefen

Publisert

Hva er polynomer?

Et polynom er et uttrykk med en sum av ledd, der hvert ledd består av en konstant multiplisert med en variabel opphøyd i et ikke−negativt heltall. Konstantene kaller vi koeffisienter. Den høyeste eksponenten angir graden til polynomet. Vi sorterer leddene fra venstre mot høyre etter synkende eksponenter.

Variabelen kalles ofte x, men det kan finnes tilfeller der vi velger andre variabelnavn.

Eksempel 1:

7x2 − 9x + 4 er et polynom som består av en sum av tre ledd. Selv om vi egentlig subtraherer leddet 9x, kan vi tenke på uttrykket som en sum av ledd der en av koeffisientene er negativ: 7x2 + (−9x) + 4.

Polynomet er av andre grad fordi den høyeste eksponenten er 2. Koeffisienten til andregradsleddet er 7, koeffisienten til førstegradsleddet er −9, og vi har et konstantledd som er 4.

I artikkelen om potensregning ser vi at å opphøye i 1 ikke har noen effekt, og at alle tall opphøyd i 0 blir 1. Tar vi med eksponentene 1 og 0 i polynomet i eksempel 1, blir det 7x2 − 9x1 + 4x0. Vi ser at alle leddene består av en koeffisient multiplisert med en potens av en variabel, der eksponenten er et ikke−negativt heltall, i henhold til definisjonen av et polynom. Men det er ikke vanlig å skrive eksponenten som er 1, den er underforstått. Det er heller ikke vanlig å ta med x0, vi skriver bare den tilhørende koeffisienten, og kaller leddet et konstantledd.

Det er bare eksponentene som må være ikke-negative heltall, koeffisientene kan være alle typer tall. På dette nettstedet arbeider vi imidlertid bare med polynomer der koeffisientene er hele tall.

Et førstegradspolynom skriver vi generelt på formen ax + b, der a og b er vilkårlige tall, og x er en variabel, for eksempel 2x + 3 eller −5x + 4.

Et andregradspolynom skriver vi generelt på formen ax2 + bx + c, der a, b og c er vilkårlige tall, og x er en variabel, for eksempel 7x2 − 9x + 4 som i eksempel 1.

Vi kan lage polynomer av høyere grad ved å legge til et tredjegradsledd, x3, et fjerdegradsledd, x4, og så videre. Hvert ledd multipliserer vi med en koeffisient. I førstegradspolynomet brukte vi a og b som navn på koeffisientene, i andregradspolynomet brukte vi a, b og c. I et tredjegradspolynom kan vi legge til en koeffisient, d, og få uttrykket ax3 + bx2 + cx + d. Slik kan vi fortsette, men tar vi med mange nok ledd, vil vi slippe opp for bokstaver. Vi kaller derfor i stedet koeffisientene i et polynom av grad n for a0, a1 og så videre opp til an. Det generelle uttrykket for et polynom av grad n blir da

anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0

Eksempel 2:

x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 er et fjerdegradspolynom. Koeffisientene er henholdsvis a4 = 1, a3 = 6, a2 = 7, a1 = −5 og a0 = −1.

Bortsett fra koeffisienten til leddet av høyeste grad, an, kan hvilken som helst av koeffisientene i et polynom være 0.

Eksempel 3:

−2x5 + 3x er et femtegradspolynom. Koeffisientene er henholdsvis a5 = −2, a4 = 0, a3 = 0, a2 = 0, a1 = 3 og a0 = 0.

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
Publisert

Likninger med ukjent under brøkstrek

Dersom den ukjente står i nevneren i en brøk, vil en god løsningstaktikk gjerne være å, som første steg, sørge for at den ukjente kommer bort fra nevneren. Det gjør vi ved å multiplisere med nevneren på begge sider av likhetstegnet.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = 2$.

Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 2:
$\frac{\displaystyle 8(x + 2)}{\displaystyle x + 2} = 2(x + 2)$

Vi forkorter med x + 2 i brøken:
8 = 2(x + 2)

Vi multipliserer 2-tallet inn i parentesen:
8 = 2x + 4

Vi flytter 2x over til venstre side med fortegnsskifte og 8 over til høyre med fortegnsskifte:
−2x = 4 − 8

Vi regner ut høyre side:
−2x = − 4

Vi dividerer begge sider med −2:
x = 2

Setter vi prøve på svaret, får vi:

V.S.: $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2 + 2} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 4} = 2$

Dette er det samme som står på høyre side, så løsningen er riktig.

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3}$.

Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 2:
$\frac{\displaystyle 2(x+2)}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4(x+2)}{\displaystyle x + 3}$

Vi forkorter med x + 2 i brøken på venstre side:
$2 = \frac{\displaystyle 4(x+2)}{\displaystyle x + 3}$

Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 3:
$2(x+3) = \frac{\displaystyle 4(x+2)(x+3)}{\displaystyle x + 3}$

Vi forkorter med x + 3 i brøken på høyre side:
2(x + 3) = 4(x + 2)

Vi multipliserer 2- og 4-tallet inn i parentesene:
2x + 6 = 4x + 8

Vi flytter 4x over til venstre side med fortegnsskifte og 6 over til høyre med fortegnsskifte:
2x − 4x = 8 − 6

Vi regner ut begge sider:
−2x = 2

Vi dividerer begge sider med −2:
x = −1

Setter vi prøve på svaret, får vi:

V.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle −1 + 2} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 1} = 2$

H.S.: $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle −1 + 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 2} = 2$

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

I eksempel 1 så vi at nevneren på venstre side av likningen, x + 2, etter noe omregning ble en faktor på høyre side. I eksempel 2 så vi det samme, i tillegg til at nevneren på høyre side, x + 3, etter noe omregning ble en faktor på venstre side. Generelt, blir utregningen slik, hvis vi har en likning med to brøker:

$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}$

$\Downarrow$

$\frac{\displaystyle a \cdot b}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle c \cdot b}{\displaystyle d}$

$\Downarrow$

$a = \frac{\displaystyle c \cdot b}{\displaystyle d} $

$\Downarrow$

$a \cdot d = \frac{\displaystyle c \cdot b \cdot d}{\displaystyle d} $

$\Downarrow$

$a \cdot d = c \cdot b$

Vi ser at slutteffekten generelt er at nevneren på venstre side blir en faktor på høyre side, og vice versa. Vi går derfor gjerne ikke gjennom alle stegene med å multiplisere og forkorte, men gjør alt i én operasjon ved å kryssmultiplisere i det opprinnelige uttrykket, slik:

Illustrasjon av kryssmultiplisering

Å kryssmultiplisere er etablert som en metode til å løse likninger der den ukjente står i én eller begge nevnerne. Men for å forstå hvorfor denne metoden kan brukes, må vi vite at det vi egentlig gjør er å multiplisere med begge nevnerne på begge sider, og deretter forkorte. Regneoperasjonen som inngår er altså multiplikasjon med samme verdi på begge sider av likningen, som vi i artikkelen om førstegradslikninger lister opp som to av fire «lovlige operasjoner» til å løse likninger.

Eksempel 3:

Vi ser på likningene fra eksempel 1 og 2 igjen.

Vi har:
$\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = 2$

Når vi kryssmultipliserer, får vi
8 = 2(x + 2), som vi så arbeider videre med, som i eksempel 1.

Vi har:
$\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3}$

Når vi kryssmultipliserer, får vi
2(x + 3) = 4(x + 2), som vi så arbeider videre med, som i eksempel 2.

Oppgave 1:

Løs likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} + 10 = 12$ og sett prøve på svaret.

SkjermfilmSe film der likningen løses

Oppgave 2:

Løs likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2}$. Start med å kryssmultiplisere. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

I eksempel 1 og 2 hadde vi konstanter i tellerne og førstegradsuttrykk i nevnerne. Da vi kryssmultipliserte, fikk vi en førstegradslikning. Hvis vi har førstegradsuttrykk både i den ene telleren og den andre nevneren, får vi en andregradslikning når vi kryssmultipliserer.

Eksempel 4:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x}$.

Vi kryssmultipliserer:
4x(x + 1) = 2 · 4

Vi multipliserer inn 4x i parentesen på venstre side og multipliserer på høyre side:
4x2 + 4x = 8

Vi flytter 8 over til venstre side med fortegnsskifte:
4x2 + 4x − 8 = 0

Vi løser ved hjelp av abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}} = x_{1, 2} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 −4 \cdot 4 \cdot (−8)}}{2 \cdot 4}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{144}}{8}} = {\large \frac{−4 \pm 12}{8}} = {\large \frac{−1 \pm 3}{2}}$

Så
$x_{1}= {\large \frac{−1 + 3}{2}} = 1$

$x_{2}= {\large \frac{−1 − 3}{2}} = −2$

Setter vi prøve på svaret, får vi, når x = 1:

VS.: $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1 + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

H.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4 \cdot 1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

Når x = −2, får vi:

VS.: $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle −2 + 1}{\displaystyle 4} = −\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$

H.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4 \cdot (−2)} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle −8} = −\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$

I begge tilfeller er venstre og høyre side like, så løsningene er riktige.

Oppgave 3:

Løs likningen $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x}$. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
Publisert

abc-formelen

Utlede abc-formelen

I artikkelen om andregradslikninger lærer vi å løse andregradslikninger ved hjelp av kvadratkomplettering. Hvis vi bruker kvadratkomplettering på den generelle andregradslikningen ax2 + bx + c = 0, får vi løsninger som er gyldige for alle koeffisienter a, b og c. Vi finner med andre ord en formel for å løse andregradslikninger, og behøver ikke bruke kvadratkomplettering hver gang. Selve utregningen vises i løsningsforslaget til oppgave 1, formelen er:

$\fbox{$x = \frac{\displaystyle −b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{\displaystyle 2a}$}$

Den kalles populært «abc-formelen».

Oppgave 1:

Bruk metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen ax2 + bx + c = 0.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Utregningen i oppgave 1 viser hvor nyttig generelle algebraiske manipulasjoner kan være. Vi hadde en nokså tungvint metode for å løse andregradslikninger, så brukte vi denne metoden på den generelle andregradslikningen ax2 + bx + c = 0, og vips hadde vi en formel for å løse alle mulige andregradslikninger. Utregningen var kanskje omstendelig, men belønningen for arbeidet var fantastisk.

Vi skal nå se på et eksempel på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1:

I eksempel 5 i artikkelen om andregradslikninger løser vi likningen 3x2 + 18x = −15 ved hjelp av kvadratkomplettering, og finner at x1 = −1 og x2 = −5. Når skal vi løse den samme likningen ved hjelp av abc-formelen.

Vi har:
$3x^2 + 18x = −15$

Flytter −15 over til venstre side med fortegnsskifte:
$3x^2 + 18x + 15 = 0$

Her er koeffisientene a = 3, b = 18 og c = 15. Setter dette inn i abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm \sqrt{18^2 −4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}}$

Regner ut:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm \sqrt{144}}{6}}$

Trekker ut rota:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm 12}{6}}$

Forkorter brøken med 6:
$x_{1, 2} = −3 \pm 2$

Vi har altså:
$x_1 = −3 + 2 = −1$

$x_2 = −3 − 2 = −5$

som er det samme som vi fant da vi løste med kvadratkomplettering.

Å bruke abc-formelen er enklere enn kvadratkomplettering, men gir ingen innsikt i problemets natur. Å lære kvadratkomplettering er derfor et viktig steg på veien til å lære å løse andregradslikninger.

Oppgave 2:

Bruk abc-formelen til å løse likningen 2x2 = −10x − 12. Sjekk at du får samme svar som ved kvadratkomplettering i oppgave 4 i artikkelen om andregradslikninger .

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Diskriminant

Når en likning er på formen ax2 + bx + c = 0, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen y = ax2 + bx + c. Løsningen til likningen er da x-verdiene der grafen skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Bildet under viser grafene til

y = x2 + 2x − 3. Blå graf, skjærer x-aksen i −3 og 1.

y = x2 + 4x + 4. Grønn graf, tangerer x-aksen i −2.

y = x2 + 2x + 5. Rød graf, skjærer ikke x-aksen.

 

Andrekradskurver som skjærer, tangerer og ikke skjærer x-aksen

Dette er de tre mulighetene vi har:

    • Den blå grafens skjæringspunkter med x-aksen representerer løsningene til andregradslikningen x2 + 2x − 3 = 0. Setter vi koeffisientene inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot (−3) }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{16}}{2}} = {\large \frac{−2 \pm 4}{2}} = −1 \pm 2$

      Som gir skjæringspunktene x1 = 1, x2 = −3. Vi ser at det er uttrykket under rottegnet som bestemmer hvor mye de to løsningene skiller seg fra hverandre.
       

    • Den grønne grafens tangeringspunkt med x-aksen representerer løsningen til andregradslikningen x2 + 4x + 4 = 0. Setter vi koeffisientene inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 −4 \cdot 1 \cdot 4 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{0}}{2}} = {\large \frac{−4}{2}} = −2$

      I dette tilfellet blir uttrykket under rottegnet lik 0, slik at de to løsningene ikke skiller seg fra hverandre.

      I artikkelen om andregradslikninger sier vi at hvis en andregradslikning har et kvadrat på venstre side og 0 på høyre side av likhetstegnet, har den bare 1 løsning. Vi ser at det er tilfellet her, for likningen kan skrives som (x + 2)2 = 0. På denne formen er det også lett å se at det er x = −2 som gjør at uttrykket på venstre side blir 0.
       

    • Den røde grafen har ingen skjæringspunkter med x-aksen. Setter vi koeffisientene til den tilhørende andregradslikningen, x2 + 2x + 5 = 0, inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}}$
       
      Vi får et negativt tall under rottegnet, og siden vi ikke kan trekke ut rota av et negativt tall, har likningen ingen løsning.

​Uttrykket under rottegnet i abc-formelen kalles andregradslikningens diskriminant, og avgjør hvordan likningens løsninger er. Vi har:

Diskriminant > 0: 2 løsninger som skiller seg fra hverandre med en verdi lik 2 ganger diskriminanten.

Diskriminant = 0: 1 løsning. Mer presist sagt faller de 2 løsningene sammen i dette tilfellet.

Diskriminant < 0: Ingen løsning.

Komplekse løsninger

Når vi sier at en andregradslikning ikke har løsning, mener vi at den ikke har løsninger blant de reelle tallene. Utvider vi tallsystemet til også å omfatte komplekse tall, vil alle andregradslikninger ha løsninger. Vi erstatter da $\sqrt{−1}$ med den imaginære enheten i.

Vi så over at da vi brukte abc-formelen på andregradslikningen, x2 + 2x + 5 = 0, fikk vi
$x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}}$

Her har vi altså et rota av et negativt tall, $\sqrt{−16}$, som vi ikke kan beregne hvis vi holder oss til reelle tall. Vi kan imidlertid skrive dette uttrykket som $\sqrt{16 \cdot −1} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{−1} = 4 \cdot \sqrt{−1}$, som siden $\sqrt{−1} = i$, kan skrives som $4i$.

Så vi får
$x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}} = {\large \frac{−2 \pm 4i}{2}} = −1 \pm 2i$

$x_{1} = −1 + 2i$

$x_{1} = −1 − 2i$

I abc-formelen dannes den imaginære delen av det negative uttrykket under rottegnet. Den imaginære delen vil derfor ha positivt fortegn i den ene løsningen og negativt fortegn i den andre løsningen, men tallverdiene vil være de samme. Den reelle delen er lik i begge løsningene. Det betyr at de to komplekse løsningene alltid er konjugerte.

Oppgave 3:

Bruk abc-formelen til å løse likningen x2 − 2x + 2 = 0.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Gulliksen T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Andregradslikninger

I artikkelen om førstegradslikninger ser vi at førstegradslikninger er algebraiske likninger (polynomlikninger) der den høyeste potensen av den ukjente er 1. Andregradslikninger er algebraiske likninger der den høyeste potensen av den ukjente er 2, for eksempel likningen 3x2 + 6x = − 9. Andregradslikninger kalles også gjerne kvadratiske likninger.

Løse andregradslikninger

Som når vi løser førstegradslikninger, starter vi med å organisere likningen slik at ledd med x havner på venstre side av likhetstegnet, og ledd uten x på høyre, med uttrykkene forenklet så langt som mulig.

Eksempel 1:

Vi skal organisere leddene i andregradslikningen 3x2 + 2 = 2x2 + 6.

Flytter 2x2 over til venstre side med fortegnsskifte og trekker sammen:
x2 + 2 = 6

Flytter 2 over til høyre side med fortegnsskifte og trekker sammen:
x2 = 4

I eksempel 1 har vi isolert uttrykket med x på venstre side. Men i motsetning til i førstegradslikninger, har vi nå x i andre potens. For å finne ut hva x er, må vi trekke ut kvadratrota av begge sider av likningen. Dette er en lovlig operasjon når vi løser likninger, men vi må huske at både $\sqrt a$ og $−\sqrt a$ gir $a$ når vi kvadrerer, så vi må regne ut både en positiv og en negativ rot, noe vi angir med et pluss/minus-tegn, ±.

Eksempel 2:

Vi skal finne løsningen til likningen fra eksempel 1.

Vi har:
$x^2 = 4$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{x^2}=\pm\sqrt4$

Trekker ut røttene:
$x = \pm 2$

Alternativt skriver vi dette som
$x_1 = 2, \, x_2 = −2$

Setter prøve på svaret, og regner først ut venstre side når x = 2:

V.S.: x2 = 22 = 4.

Når x = −2, får vi:

V.S.: x2 = (−2)2 = 4.

H.S.: 4.

I begge tilfeller er V.S. det samme som H.S., så begge løsningene er riktige.

Vi ser at likningen i eksempel 2 har to løsninger. Det finnes også tilfeller der en andregradslikning bare har én løsning, for eksempel x2 = 0, som bare har løsningen x = 0. Og det finnes tilfeller der en andregradslikning ikke har løsninger, for eksempel x2 = −4. Vi skal se nærmere på dette senere.

Oppgave 1:

Løs likningen x2 − 7 = 1.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Likninger med førstegradsledd

Likningen i eksempel 1 og 2 inneholdt bare et andregradsledd, x2, og en konstant, −4. Men en andregradslikning kan også inneholde et førstegradsledd. For eksempel likningen x2 + 4x = −4, som i tillegg til andregradsleddet, x2, og konstantleddet, −4, inneholder førstegradsleddet 4x.

En slik likning kan vi ikke løse ved å trekke ut kvadratrota på begge sider av likhetstegnet, fordi vi har et førstegradsledd i tillegg til andregradsleddet på venstre side. En løsning kan da være å samle alle leddene på venstre side, og bruke en kvadratsetning baklengs, som vist i eksempel 3.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningen $x^2 + 4x = −4$.

Flytter −4 over til venstre med fortegnsskifte:
$x^2 + 4x + 4 = 0$

Bruker første kvadratsetning baklengs ved å skrive $x^2 + 4x + 4 = 0$ som $ (x + 2)^2$:
$ (x + 2)^2 = 0$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 2)^2} = \pm \sqrt{0}$

Trekker ut røttene:
$x + 2 = 0$

Flytter 2 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = −2$

Setter prøve på svaret:

V.S.: x2 + 4x = (−2)2 + 4(−2) = 4 − 8 = −4

H.S.: −4

V.S. det samme som H.S., så løsningen er riktig.

I eksempel 3 ser vi at andregradslikningen bare hadde 1 løsning. Slik er det alltid når vi har et kvadrat på venstre side og 0 på høyre side av likhetstegnet.

Oppgave 2:

Løs likningen x2 + 6x = −9.

Hint: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Se løsningsforslag

Kvadratkomplettering

De fleste andregradsuttrykk kan imidlertid ikke omskrives ved hjelp av en kvadratsetning baklengs. Det finnes for eksempel ikke noe uttrykk som ved hjelp av en kvadratsetning gir x2 + 6x + 5.

Generelt, hvis x er en variabel og k er en konstant, blir (x + k)2 til x2 + 2kx + k2 når vi regner det ut ved hjelp av første kvadratsetning. Vi ser at konstantleddet er k2, og koeffisienten i førstegradsleddet er 2k. Konstantleddet er altså lik halve koeffisienten i førstegradsleddet kvadrert (opphøyd i andre), $({\large \frac{1}{2}} \cdot 2k)^2 = k^2$.

Hvis konstantleddet i et andregradsuttrykk ikke er lik halve koeffisienten i førstegradsleddet kvadrert, kan det ikke skrives om ved hjelp av en kvadratsetning baklengs.

Imidlertid kan vi alltid omforme en andregradslikning slik at vi får et uttrykk på venstre side av likhetstegnet der dette kravet er oppfylt.

Eksempel 4:

Vi skal løse likningen $x^2 + 6x = −5$.

For at vi skal kunne skrive om uttrykket på venstre side ved hjelp av en kvadratsetning baklengs, må vi altså ha et konstantledd som er lik halve koeffisienten til førstegradsleddet kvadrert. Førstegradsleddet her er 6x, så koeffisienten er 6. Halvparten av dette er 3, som kvadrert blir 9. Så vi må addere 9 til uttrykket x2 + 6x. I en likning kan vi legge til samme verdi på begge sider av likhetstegnet, så vi kan skrive likningen som:
$x^2 + 6x + 9 = −5 + 9$

Så regner vi ut høyresiden og får:
$x^2 + 6x + 9 = 4$

Nå kan vi skrive om fra formen x2 + 2kx + k2 til (x + k)2. Her er k2 = 9, så k = 3, og vi får:
$(x+3)^2 = 4$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 3)^2} = \pm \sqrt{4}$

Trekker ut røttene:
$x + 3 = \pm 2$

Flytter 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = \pm 2 − 3$

Det vil si at løsningene er

$ x_1 = 2 − 3 = −1$

$x_2 = −2 − 3 = −5$

Setter prøve på svaret, og regner først ut venstre side når x = −1:

V.S.: x2 + 6x = (−1)2 + 6(−1) = 1 − 6 = −5.

Når x = −5, får vi:

V.S.: x2 = x2 + 6x = (−5)2 + 6(−5) = 25 − 30 = −5.

H.S.: −5.

I begge tilfeller er V.S. det samme som H.S., så begge løsningene er riktige.

Metoden i eksempel 4 kalles kvadratkomplettering, eller fullstendige kvadraters metode. Vi tar altså utgangspunkt i koeffisienten til førstegradsleddet, halverer og kvadrerer den, og legger den til på begge sider av likhetstegnet.

Huskeregel: Halvere, kvadrere, addere.

Illustrasjon av regelen "halvere, kvadrere, addere"

Oppgave 3:

Løs likningen x2 + 2x = 3 ved å bruke metoden med kvadratkomplettering.

Se løsningsforslag

​Hvis andregradsleddet har en annen koeffisient enn 1, dividerer vi den bort først.

Eksempel 5:

Vi skal løse likningen 3x2 + 18x = −15

Her er det en koeffisient som er 3 foran andregradsleddet. Vi benytter da regelen om at vi kan dividere med samme tall på begge sider av en likning, dividerer med 3, og får x2 + 6x = −5, som har samme løsning. Denne likningen løste vi i eksempel 4 og fikk at x1 = −1, x2 = −5.

I alle eksemplene vi har sett på, har koeffisienter og løsninger vært hele tall. Det er bare for å gjøre utregningene oversiktlige. I praksis vil vi i de fleste tilfeller arbeide med likninger der koeffisienter og løsninger ikke er hele tall.

Oppgave 4:

Bruk metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen 2x2 = − 10x − 12.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Gulliksen T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Ulikheter

En egenskap ved reelle tall er at de har orden. Det vil si at for to vilkårlige reelle tall, a og b, vil enten a være mindre enn b, lik b, eller større enn b. Dette skriver vi som henholdsvis a < b, a = b og a > b.

I en likning bruker vi likhetstegn for å indikere at venstre og høyre side av likningen skal være like. I en ulikhet bruker vi < eller > for å indikere at venstre side skal være henholdsvis mindre eller større enn høyre. Ønsker vi at venstre side skal være mindre eller lik høyre, bruker vi tegnet ≤. Ønsker vi at venstre side skal være større eller lik høyre, bruker vi tegnet ≥.

For å løse en ulikhet bruker vi samme regler som for å løse likninger. Med ett unntak: Hvis vi multipliserer eller dividerer begge sider av ulikheten med et negativt tall, snus ulikhetstegnet. < byttes altså med > og vice versa. ≤ byttes med ≥ og vice versa. Vi forstår hvorfor det er slik, hvis vi ser hvordan tallinjen er speilet om 0:

Punkter speilet om 0

Her har vi A1 > B1 fordi A1 = 4 og B1 = 2.

Men hvis vi multipliserer begge sider av ulikheten med −1, flyttes B1 til B2 og A1 til A2.

Da har vi A2 < B2 fordi A2 = −4 og B2 = −2.

Eksempel 1:

Vi skal løse ulikheten 17x + 10 > 30 + 27x

Flytter over 27x, skifter fortegn og trekker sammen:
−10x + 10 > 30

Flytter over 10, skifter fortegn og trekker sammen:
−10x > 20

Dividerer med −10 på begge sider og snur ulikhetstegnet:
x < −2

Oppgave 1:

Løs ulikheten 2x + 2 ≤ 3x − 1.

SkjermfilmSe film der ulikheten løses
 

Grafiske løsninger

I artikkelen om førstegradslikninger ser vi at når en likning er på formen ax + b = 0, kan vi løse den grafisk ved å finne punktet der grafen til funksjonen y = ax + b skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Tilsvarende vil en ulikhet på formen ax + b > 0 være området der grafen til y = ax + b ligger over x-aksen, og en ulikhet på formen ax + b < 0 være området der grafen til y = ax + b ligger under x-aksen.

Eksempel 2:

I eksempel 1 har vi, når vi har organisert leddene, ulikheten −10x > 20. Flytter vi 20 over på venstre side med fortegnsskifte, får vi −10x − 20 > 0. Denne ulikheten er på formen ax + b > 0, med a = −10 og b =−20. Løsningen vil derfor være det området der grafen til y = −10x − 20 ligger over x-aksen. I grafen under ser vi at det er området der x < −2, slik vi fant i eksempel 1.

Løsningsområdet til ulikheten −10x > 20

Hvis ulikhetstegnet er ≤ eller ≥, betyr det at punktet der grafen skjærer x-aksen er med i løsningen.

Kilder

 

Publisert

Førstegradslikninger

En algebraisk likning (polynomlikning) der den høyeste potensen av den ukjente er 1, kalles en førstegradslikning. For eksempel er 3x − 2 = x + 2 en førstegradlikning. Vi vet at x kan skrives som x1, så x er i første potens, selv om vi sløyfer å skrive 1-tallet.

En førstegradslikning kalles ofte også en lineær likning.

Løse førstegradslikninger

Vi kan tenke på en førstegradslikning som en skålvekt, der venstre skål inneholder det som står til venstre for likhetstegnet, og høyre skål inneholder det som står til høyre for likhetstegnet:

Skålvekt som illustrerer balanse i likning

Skålvekta er i balanse, og vår jobb er å få elementene organisert slik at den ukjente ligger alene på venstre skål, og vekta fremdeles er i balanse.

Vekta forblir i balanse selv om vi

    • adderer eller subtraherer samme verdi på begge sider.
    • multipliserer eller dividerer med samme verdi på begge sider. (Vi må da passe på å ikke dividere med 0.)

De fire grunnleggende regneoperasjonene nevnt over, er alt vi trenger for å løse en førstegradslikning.

Hvilke regneoperasjoner vi skal gjøre, og i hvilken rekkefølge, når en likning skal løses, vil variere, og det kan ikke gis noen entydig oppskrift. Vi må imidlertid arbeide med å isolere den ukjente som mål. Planløs taktikk fører gjerne til unødvendige og kompliserende regneoperasjoner.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Subtraherer x på begge sider av likhetstegnet:
3x − x − 2 = x − x + 2

Trekker sammen leddene med x:
2x − 2 = 2

Adderer 2 på begge sider av likhetstegnet:
2x − 2 + 2 = 2 + 2

Regner sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet:
x = 2

Vi skal nå være litt mer generelle og tenke oss at vi har vilkårlige tall på begge sider av likhetstegnet: x + b = c. Så ønsker vi å stå igjen med bare x på venstre side. Da adderer vi –b på begge sider: x + b – b = c – b. På venstre side blir b – b null, så vi står igjen med x = c – b. Sammenlikner vi med det vi startet med, ser vi at b-en har flyttet seg over til høyre side og skiftet fortegn. I praksis går vi derfor ikke gjennom den omstendelige prosedyren med å addere eller subtrahere på begge sider, vi flytter bare over og skifter fortegn. Dette er den såkalte «flytte-bytte»-regelen. Regelen er praktisk i bruk, men illustrerer ikke at det vi faktisk gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Fra nå av kommer vi til å bruke «flytte-bytte»-regelen for enkelhets skyld, men husk at det vi egentlig gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Utregningen i eksempel 1 vil vi gjøre så kortfattet som i eksempel 2:

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter −2 over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider:
x = 2

Oppgave 1:

Under vises løsningen av en likning i fire trinn. Angi for hvert trinn hvilke regneregler som brukes. Det kan være det brukes flere regler i hvert trinn.

$\begin{align} 3(2x + 3) &= 12 + 3x \\
\; \\
6x + 9 &= 12 + 3x \\
\; \\
6x &= 3 + 3x \\
\; \\
3x &= 3 \\
\; \\
x &= 1 \end{align}$

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Sette prøve på svar

Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Det gjør vi ved å sette svaret vårt inn som verdi for den ukjente på både venstre og høyre side av den opprinnelige likningen, og kontrollere at vi får samme svar på begge sider.

Eksempel 3:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2, funnet at x = 2, og skal sette prøve på svaret. Vi får

V.S.: 3x − 2 = 3 · 2 − 2 = 4

H.S.: x + 2 = 2 + 2 = 4

Begge sider er lik 4, så løsningen er riktig.

I eksempel 3 ser vi at vi regner ut venstre og høyre side hver for seg. Her står V.S. for «venstre side» og H.S. for «høyre side». Alternativt kan vi regne ut venstre og høyre side parallelt med en vertikal strek imellom. Det vi imidlertid ikke gjør, er å føre prøven med likhetstegn mellom sidene, for vi vet ikke om de er like, det er det vi skal kontrollere.

Eksempel 4:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2 feil, funnet at x = 3, og skal sette prøve på svaret:

3x − 2 = x + 2
3 · 3 − 2 = 3 + 2
7 = 5

I eksempel 4 ser vi at vi ender opp med å si at 7 er lik 5. Å sette likhetstegn mellom noe vi ikke vet er likt, kalles misbruk av likhetstegnet, og er noe vi skal unngå.

Oppgave 2:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 og sett prøve på svaret.

SkjermfilmSe film der likningen løses
 

Grafiske løsninger

Generelt har førstegradslikninger formen ax + b = 0, der a og b er vilkårlige tall, for eksempel 3x + 2 = 0. Hvis vi har en førstegradslikning som ikke har denne formen, kan vi omforme den ved å flytte alle leddene til venstre side og forenkle så langt som mulig.

Eksempel 5:

Vi skal skrive likningen fra eksempel 1 på formen ax + b = 0.

Vi har:
3x − 2 = x + 2

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter 2 over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 4 = 0

Likningen er nå på formen ax + b = 0, med a = 2 og b = −4.

Når en likning er på formen ax + b = 0, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen y = ax + b. Løsningen til likningen er da den verdien x har der grafen skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Grafen til en førstegradsfunksjon er en rett linje, og vi kan tegne den for hånd ved å beregne to punkter på grafen og så trekke en rett linje gjennom punktene ved hjelp av en linjal. Det spiller ingen rolle hvilke punkter vi velger, men vi får en mer presis graf hvis vi legger punktene et stykke fra hverandre. Og å velge x = 0 som ett av punktene gir jo en enkel utregning. Det vi ikke gjør, er å velge mer enn to punkter, det gir en dårligere graf. Vi ser av og til studenter som velger mange punkter for å tegne grafen til en førstegradsfunksjon, og på grunn av unøyaktighet ender de opp med noe som ser ut som en slange som bukter seg mellom punktene.

I eksempel 5 har vi likningen 2x − 4 = 0, den tilhørende førstegradsfunksjonen blir y = 2x − 4. For å finne to punkter på grafen til denne kan vi for eksempel først velge x = 0, da får vi y = 2x − 4 = 2 · 0 − 4 = − 4. Velger vi så x = 4, får vi y = 2x − 4 = 2 · 4 − 4 = 4. Vi har da punktene (0, −4) og (4, 4), og kan tegne en rett linje gjennom dem. Vi vil se at grafen skjærer x-aksen i (2, 0). Løsningen til likningen 3x − 2 = x + 2 er altså x = 2, noe som stemmer med det vi fant ved regning i eksempel 1 og 2.

Vi kan også tegne grafen og finne skjæringspunktet med x-aksen i GeoGebra, slik det er vist under. Her har vi første skrevet 2x − 4 i inntastingsfeltet, og GeoGebra har tegnet opp grafen og kalt den tilhørende funksjonen f. Så har vi skrevet Skjæring(f, xAkse) for å finne punktet der grafen til f skjærer x-aksen. GeoGebra har kalt punktet A, markert det i grafikkfeltet, og angitt koordinatene i algebrafeltet.

Grafen til y = 2x - 4

Vi ser at skjæringspunktet med x-aksen er (2, 0). I dette tilfellet er skjæringspunktet et helt tall, men det kan være at skjæringspunktet ser ut til å være et helt tall, men egentlig ikke er det. I bildet under kan det for eksempel se ut som skjæringen er i x = 2, mens det egentlig er i x = 2,05. For å få den eksakte verdien bruker vi derfor funksjonen Skjæring i GeoGebra.

Skjæringspunkt som ikke er heltall

 

Oppgave 3:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 grafisk.

SkjermfilmSe film der likningen løses grafisk
 

Likninger med algebraiske symboler

Så langt har vi arbeidet med likninger der den ukjente har vært x, og de andre elementene tall. Men det er ikke noe i veien for at vi kan ha flere algebraiske symboler i en likning. Når vi skal løse en slik likning, må det være klargjort hvilket symbol som representerer den ukjente vi skal løse med hensyn på.

Eksempel 6:

Vi skal løse likningen 2u − v = 4u + v − 2 med hensyn på u. Målet er da å isolere u på venstre side av likhetstegnet.

Flytter 4u over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u − v = v − 2

Flytter −v over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u = −2v − 2

Dividerer med −2 på begge sider:
u = −v + 1

Vi har nå løst likningen med hensyn på u, for u er isolert på venstre side av likhetstegnet, og uttrykket på høyre side er forenklet så langt det går.

Vil vi sette prøve på svaret, erstatter vi u med løsningen −v + 1 på begge sider av likhetstegnet:

V.S.: 2u − v = 2(−v + 1) − v = −2v + 2 − v = −3v + 2

H.S.: 4u + v − 2 = 4(−v + 1) + v − 2 = −4v + 4 + v − 2 = −3v + 2

Begge sider er lik −3v + 2, så løsningen er riktig.

Oppgave 4:

Løs likningen fra eksempel 6, 2u − v = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Kilder

Publisert

Hva er likninger?

En likning er matematiske uttrykk forbundet med likhetstegn. Et eksempel på en likning er x + 2 = 3. Denne likningen inneholder en variabel, symbolisert med bokstaven x. Å løse denne likningen vil si å finne verdien av x som gjør at vi får 3 når vi adderer 2 til x. Det er lett å se at denne verdien må være 1, men i mer kompliserte tilfeller vil vi ofte ikke kunne se svaret direkte. Det er derfor behov for systematiske metoder for å løse likninger.

Likninger kan inneholde et vilkårlig antall variable, for eksempel inneholder likningen x + y = 4 to variable, symbolisert med x og y. For å kunne finne entydige løsninger for alle variable, kreves det vanligvis et likningssett med like mange likninger som ukjente.

Vi bruker ofte x som symbol for den ukjente hvis vi har en likning med 1 ukjent, x og y hvis vi har en likning med 2 ukjente, og x, y og z hvis vi har en likning med 3 ukjente. Men det er ikke noe krav. I likninger der den ukjente representerer tid, er det vanlig å bruke t som symbol.

Likninger kan også inneholde potenser av variable, for eksempel x2 − 1 = 3. Potensen angir likningens grad, i dette tilfellet 2, vi har en andregradslikning. Dette nettstedet inneholder en egen artikkel om å løse andregradslikninger.

I eksemplene vi har sett, består likningene av polynomer. Slike likninger kalles algebraiske. Likninger som ikke er algebraiske, er transcendente.

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
    • Store norske leksikon
Publisert

Komplekse tall

Hva er komplekse tall?

Et komplekst tall er en utvidelse av tallsystemet som vi får bruk for hvis vi ønsker at andregradslikningen x2 = a skal ha en løsning for alle a. Dette får vi ikke til med reelle tall hvis a er negativ, fordi det ikke finnes noen reelle tall som gir et negativt resultat når det multipliseres med seg selv.

For å danne komplekse tall, introduserer vi den imaginære enheten, i, slik at i2 = −1. Da vil likningen x2 = a ha en løsning også når a er et negativt tall. For eksempel vil x2 = −9 ha løsningene x = 3i og x = −3i, fordi 3i · 3i = 9i2 = 9(−1) = −9 og (−3i) · (−3i) = 9i2 = 9(−1) = −9.

For å angi et vilkårlig komplekst tall brukes gjerne bokstaven z.

Som for reelle tall utføres multiplikasjon og divisjon før addisjon og subtraksjon hvis ikke noe annet er angitt med parenteser.

Som for reelle tall gjelder også den kommutative lov, assosiative lov og distributive lov for addisjon og multiplikasjon. Det vil si at for to vilkårlige komplekse tall, z1 og z2, vil

$\fbox{$z_1 + z_2 = z_2 + z_1$}$

$\fbox{$z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$}$

$\fbox{$(z_1 + z_2 ) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$}$

$\fbox{$(z_1 \cdot z_2 ) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$}$

$\fbox{$z_1( z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3)$}$

Komplekse tall består av en reell del og en imaginær del, og kan skrives på formen a + bi, der a og b er reelle tall, og i er den imaginære enheten. For eksempel er 3 + 5i, 2 − 4i og −2 + i komplekse tall. Et reelt tall kan vi tenke på som et komplekst tall der den imaginære delen er 0.

Komplekse tall skiller seg fra reelle ved at de ikke har orden. Det gir altså ikke mening å si at z1 < z2 eller z1 > z2. Sammenligner vi to komplekse tall, kan det godt være at det ene har størst reell del, mens det andre har størst imaginær del. For eksempel 3 + 2i og 2 + 3i. Vi kan ikke si at det ene er større enn det andre.

Konjugert

Til et komplekst tall hører en konjugert. Den konjugerte har samme reelle del, og den imaginære delen har samme tallverdi, men omvendt fortegn. For eksempel er den konjugerte til 3 + 5i lik 3 − 5i, den konjugerte til 2 − 4i lik 2 + 4i og den konjugerte til −2 + i lik −2 − i. Den konjugerte til et vilkårlig komplekst tall, z, skrives som z.

Grafisk framstilling

De reelle tallene framstiller vi vanligvis ved å tegne dem på ei tallinje. Til komplekse tall kan vi bruke et kartesisk koordinatsystem, der den reelle delen angis langs x-aksen, og den imaginære delen langs y-aksen. Dette kalles gjerne det komplekse planet.

Komplekst tall vis i kartesisk koordinatsystem

Bildet under viser tallene z1 = 3 + 5i, z2 = 2 − 4i og z3 = −2 + i, samt deres konjugerte, z1, z2 og z3 i det komplekse planet. Vi ser at de konjugerte ligger symmetrisk om den reelle aksen.

Komplekse tall og deres konjugerte vist i et kartesisk koordinatsystem

Absoluttverdi

Vi vet at reelle tall har en absoluttverdi (modulus), som består av tallet uten fortegn. Dette kan vi tenke på som et mål på hvor langt tallet ligger fra 0 på tallinja. Hos komplekse tall angir absoluttverdien på samme måte hvor langt tallet ligger fra origo (0+0i) i det komplekse planet. Absoluttverdien skrives på samme måte som for reelle tall med to loddrette streker: |z| og beregnes ved hjelp av Pytagoras. For et komplekst tall, $z = a + bi$, er $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Eksempel 1:

$|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2}= \sqrt{25} = 5$.

Absoluttverdien er altså et reelt tall, og det gir derfor mening å si at et komplekst tall har større absoluttverdi enn et annet. For eksempel at |z1| > |z2|.

Oppgave 1:

Beregn |1+i|.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Regneregler

Addere og subtrahere

Skal vi addere eller subtrahere to komplekse tall, adderer eller subtraherer vi de reelle og imaginære delene hver for seg:

$\fbox{Addisjonsregel: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$}$

$\fbox{Subtraksjonsregel: $(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i$}$

Eksempel 2:

(5 + 3i) + (2 + 4i) = (5 + 2) + (3 + 4)i = 7 + 7i

Eksempel 3:

(5 + 3i) − (2 + 4i) = (5 − 2) + (3 − 4)i = 3 − i

Eksempel 4:

(2 − i) + (−3 − 2i) = (2 + (−3)) + (−1 + (−2))i = −1 − 3i

Eksempel 5:

(2 − i) − (−3 − 2i) = (2 − (−3)) + (−1 − (−2))i = 5 + i

Oppgave 2:

Gitt z1 = 1 + i og z2 = 3 − 2i. Beregn z1 + z2 og z1 − z2.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Multiplisere

For å multiplisere to komplekse tall, bruker vi den vanlige regelen for å multiplisere parenteser:

(a + bi) · (c + di) =
(a · c) + (a · di) + (bi · c) + (bi · di) =
(a · c) + (a · di) + (bi · c) − (b · d) =
(a · c − b · d) + (a · d + b · c)i

I utregningen benyttet vi først at i · i = −1, deretter ordnet vi leddene med den reelle og imaginære delen hver for seg.

Vi har altså

$\fbox{Produktregel: $(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i$}$

Eksempel 6:

(5 + 3i)(2 + 4i) = (5 · 2 − 3 · 4) + (5 · 4 + 3 · 2)i = −2 + 26i

Eksempel 7:

(2 − i)(−3 − 2i) = (2(−3) − (−1)(−2)) + (2(−2) + (−1)(−3))i = −8 − i

Oppgave 3:

Gitt z1 = 1 + i og z2 = 3 − 2i. Beregn z1 · z2

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Dersom vi multipliserer et komplekst tall med tallets konjugerte, får vi et spesialtilfelle, der a erstatter c og −b erstatter d. Produktregelen, her illustrert med rødt for den ene faktoren, blått for den andre, og brunt for kombinasjoner av de to, gir:

(a + bi) · (a + −bi) = (a · a − b(−b)) + (a(−b) + ba)i = (a2 + b2) + (0)i = a2 + b2

Altså:

$\fbox{Produktregel for konjugerte: $z \overline z = a^2 + b^2$}$

Vi har tidligere sett at $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, det betyr at

$\fbox{$z \overline z = |z|^2$}$

Eksempel 8:

$(3 + 4i)(3 − 4i) = 3^2 + 4^2 = 25$. Det betyr at $|3+4i| = \sqrt{25} = 5$, som stemmer med det vi regnet ut i eksempel 1.

Oppgave 4:

Gitt z = 1 + i. Beregn z · z

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Dividere

For å dividere to komplekse tall, skriver vi uttrykket som en brøk, og utvider brøken med nevnerens konjugerte.

$(a + bi) : (c + di) = \frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} = \frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} \cdot \frac{\displaystyle c − di}{\displaystyle c − di} = \frac{\displaystyle (a + bi)(c − di)}{\displaystyle c^2 + d^2}$

I nevneren benyttet vi her produktregelen for konjugerte, og fikk at (c + di)(c − di) = c2 + d2.

Altså:

$\fbox{Kvotientregel: $\frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} = \frac{\displaystyle (a + bi)(c − di)}{\displaystyle c^2 + d^2}$}$

Eksempel 9:

$\frac{\displaystyle 2 + 3i}{\displaystyle 4 + 2i} = \frac{\displaystyle (2 + 3i)(4 − 2i)}{\displaystyle 4^2 + 2^2} = \frac{\displaystyle (2 \cdot 4 − 3(−2)) + (2(−2) + 3 \cdot 4)i}{\displaystyle 20} = \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 10} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}i$.

Her brukte vi først kvotientregelen, deretter produktregelen på de to faktorene i telleren.

Eksempel 10:

$\frac{\displaystyle 2 + i}{\displaystyle 2i} = \frac{\displaystyle (2 + i)(0 − 2i)}{\displaystyle 0^2 + 2^2} = \frac{\displaystyle (2 \cdot 0 − 1(−2)) + (2(−2) + 1 \cdot 0)i}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} − i$.

Oppgave 5:

Gitt z1 = 1 + i og z2 = 3 − 2i. Beregn z1 : z2

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Stewart, I. & Tall, D. (1993). Complex Analysis. Cambridge University Press
    • Fraleigh, F & Beauregard R.A. (1990). Linear Algebra. Addison-Wesley
Publisert

Forskjellige typer tall

Naturlige tall

De første tallene vi blir kjent med, er vanligvis de positive heltallene, altså 1, 2, 3 og så videre. Disse tallene er lette å representere i form av konkreter, altså virkelige gjenstander. Vi kan for eksempel ha 1 eple, 2 epler, 3 epler og så videre.

Epler som representerer naturlige tall

Disse tallene heter også naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall angis med symbolet $\mathbb N$.

Tar vi også med tallet 0 i mengden, kan vi presisere det ved å bruke symbolet $\mathbb N_0$. Tallet 0 kan konkretiseres ved å tenke på det som «ingenting», for eksempel «ingen epler».

$\mathbb N$ og $\mathbb N_0$ inneholder uendelig mange tall, men sies allikevel å være tellbare.

Hele tall

Adderer vi to naturlige tall, får vi et nytt naturlig tall. For eksempel er 3 + 2 = 5 og 6 + 8 = 14. Men når vi subtraherer to naturlige tall, kan vi risikere å ende opp med noe som ikke er et naturlig tall. For eksempel gir 4 − 7 tallet −3, som ikke er naturlig. For å håndtere dette supplerer vi de naturlige tallene med negative heltall, altså −1, −2, −3 og så videre. Et negativt heltall er altså et naturlig tall med et minustegn foran. Subtraherer vi to naturlige tall, får vi enten et nytt naturlig tall, tallet 0, eller et negativt tall. For eksempel er 6 − 4 = 2, 3 − 3 = 0 og 4 − 7 = −3.

Negative tall er ikke så lette å konkretisere som naturlige tall, vi kan jo ikke ha −3 epler for eksempel. Men et hjelpemiddel kan være et termometer, der vi representerer varmegrader med positive tall og kuldegrader med negative tall.

Termometer som represnterer positive og negative tall

Mengden av naturlige tall, naturlige tall med minus foran og 0, kalles hele tall og angis med symbolet $\mathbb Z$. $\mathbb Z$ inneholder uendelig mange tall, og er tellbar. Underlig nok er det like mange tall i $\mathbb Z$ som i $\mathbb N$. Dette forklarer vi med at hvert element i $\mathbb Z$ kan pares med et element i $\mathbb N$.

Rasjonale tall

Adderer eller subtraherer vi hele tall, får vi alltid et nytt helt tall. Det samme gjelder hvis vi multipliserer to hele tall. Men dividerer vi to hele tall, kan vi få noe som ikke er et helt tall, for eksempel gir 9 : 5 tallet 1,8, som er et desimaltall. I stedet for å angi tallet som desimaltall, kan vi velge å angi det som en brøk, altså dividend og divisor over hverandre med en vannrett strek mellom, for eksempel ${\large \frac{9}{5}}$.

En brøk kan representere et negativt tall, for eksempel $−{\large \frac{1}{2}} = −0,5$ eller $−{\large \frac{4}{2}} = −2$, og en brøk kan representere et positivt tall, for eksempel ${\large \frac{1}{2}} = 0,5$ eller ${\large \frac{4}{2}} = 2$.

Når vi skriver en brøk som desimaltall, kan tallet få et endelig antall sifre, for eksempel ${\large \frac{1}{4}} = 0{,}25$, eller et uendelig antall sifre, for eksempel ${\large \frac{1}{3}} = 0{,}33333\dots\;$ Men hvis brøken gir et uendelig antall sifre, vil sifrene alltid inneholde et mønster som gjentar seg. I ${\large \frac{1}{3}} = 0{,}33333\dots$ repeteres sifferet 3 i det uendelige, i ${\large \frac{1}{7}} = 0{,}14285714285714 \dots$ repeteres siffersekvensen 142857 i det uendelige. For å angi at sifre gjentar seg, setter vi en strek over dem, for eksempel 0,3 og 0,142857.

Mengden av brøker med hele tall i teller og nevner kalles rasjonale tall, og symboliseres med $\mathbb Q$. $\mathbb Q$ Inneholder uendelig mange tall og er tellbar. Det er like mange tall i $\mathbb Q$ som i $\mathbb N$, fordi hvert element i $\mathbb Q$ kan pares med et element i $\mathbb N$.

Irrasjonale tall

Tenker vi oss tallene på ei tallinje, kan vi pakke så tett vi bare vil med heltallsbrøker.

Tallinje med brøker som ligger tett

For et hvilket som helst punkt kan vi finne en heltallsbrøk som er så nærme punktet vi bare vil. Men det betyr ikke at vi alltid kan nå helt fram til selve punktet. Dette gjelder for eksempel tallet π ≈ 3,14159265. Vi kan komme så nærme π vi bare vil, ${\large \frac{31}{10}}$ er nærmere enn 3, ${\large \frac{314}{100}}$ er enda litt nærmere, ${\large \frac{3141}{1000}}$ er enda litt nærmere igjen, og så videre. Men nøyaktig π får vi aldri. Det samme gjelder uendelig mange andre tall, for eksempel $\sqrt 2$. Tall som ikke kan skrives som en heltallsbrøk kalles irrasjonale tall. Sifrene i et irrasjonalt tall vil ikke ha noe mønster som gjentar seg.

Reelle tall

De rasjonale og irrasjonale tallene danner til sammen reelle tall. Mengden av reelle tall symboliseres med $\mathbb R$.

Vi kan altså pakke tallinja uendelig tett med rasjonale tall, men allikevel smette uendelig mange irrasjonale tall inn mellom dem. Det betyr at vi ikke kan pare elementene i $\mathbb R$ med elementene i $\mathbb N$, slik vi kan med $\mathbb Z$ og $\mathbb Q$. $\mathbb R$ er en mengde som ikke er tellbar.

Komplekse tall

Når tallinja er full, skulle vi tro at det ikke var bruk for flere tall. Men la oss si at vi ønsker at andregradslikningen x2 = a skal ha en løsning for alle a. Når a er et positivt tall, går det greit, for eksempel gir x2 = 4 løsningene x = 2 og x = −2, fordi 2 · 2 = 4 og −2 · (−2) = 4. Men hvis a er et negativt tall, finnes det ingen reelle tall som passer i likningen. Det finnes verken positive eller negative tall vi kan multiplisere med seg selv og få et negativt resultat. Vi introduserer derfor enda en type tall som vi kaller komplekse tall. Mengden av komplekse tall symboliseres med $\mathbb C$, og er ikke tellbar.

For å danne komplekse tall introduserer vi den imaginære enheten i, slik at i2 = −1. Da vil likningen x2 = a ha en løsning også når a er et negativt tall. For eksempel vil x2 = −4 ha løsningene x = 2i og x = −2i, fordi 2i · 2i = 4i2= 4 · (−1) = −4 og (−2i) · (−2i) = 4i2 = 4 · (−1) = −4.

Komplekse tall består gjerne av både en reell og en imaginær del, og kan skrives på formen a + bi, der a og b er reelle tall. For eksempel 2 + 3i og 7 − 8i.

For å kunne representere de komplekse tallene grafisk, gir vi tallinja en ny dimensjon, med en horisontal akse som representerer tallenes imaginære del. Vi får da det vi kaller det komplekse planet.

Komplekse tall vist i et kartesisk koordinatsystem

Komplekse tall har ingen orden, slik reelle tall har. Det gir altså ikke mening å si at ett komplekst tall er større enn et annet.

Sammenheng mellom typer av tall

Et naturlig tall er et spesialtilfelle av hele tall. (Positivt fortegn). Et helt tall er et spesialtilfelle av rasjonale tall. (1 i nevneren). Et rasjonalt tall er et spesialtilfelle av reelle tall. (Brøk av heltall). Et reelt tall er et spesialtilfelle av komplekse tall. (Imaginær del lik 0). I mengdenotasjon skrives dette slik:

$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$.

Sammenhengen kan også illustreres med et Venn-diagram:

Sammenhengen mellom forskjellige typer tall vist i Venn-diagram

 

Oppgave 1:

Avgjør om følgende tall er naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, reelle tall eller komplekse tall:

−3,     ${\large \frac{2}{5}}$,     8,     3,     ​i,     ​1,412,     ​$−{\large \frac{2}{5}}$,     ​2 + 4i.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Oppgave 2:

Lag en skisse der du plasserer følgende tall i det komplekse planet:

1,      i,      −2,      1 + 3i,      2 − i.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
    • Selvik B. K. & Tveite K. (2000) Tallære. Caspar forlag
Publisert

Brøkregning

Addere og subtrahere brøk

Å addere brøker med samme nevner er enkelt. Vi adderer tellerne og beholder nevneren.

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b}$}$

Eksempel 1:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 1 + 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$

Dette er illustrert under, med $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$ som gul og $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}$ som rød:

En femdel pluss to femdeler som pizzadiagram

 

Når vi skal addere tall med forskjellige nevnere, er det fort å tro at vi skal legge sammen tellerne og nevnerne hver for seg. Men generelt er

$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} \ne \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b + d}$

Eksempel 2:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \ne \frac{\displaystyle 1 + 1}{\displaystyle 2 + 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$

Vi kan ikke legge sammen brøker som har forskjellige nevnere direkte, i stedet må vi utvide en eller begge brøkene slik at de får samme nevner, en fellesnevner.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Her utvidet vi først brøken ${\large \frac{1}{2}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{4}}$ ved å multiplisere med 2 i teller og nevner.

Eksempel 3 er enkelt, for nevneren i den ene brøken går opp i den andre, 2 går opp i 4, og 4 blir fellesnevner. Men har vi to nevnere som ikke går opp i hverandre, for eksempel ${\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{6}}$, må vi finne en fellesnevner begge de to nevnerne går opp i. 4 = 2 · 2 og 6 = 2 · 3. Så minste felles multiplum av 4 og 6 er 2 · 2 · 3 = 12. Vi utvider ${\large \frac{1}{4}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{3}{12}}$ og ${\large \frac{1}{6}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{12}}$. Og regnestykket blir:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Dette kan illustreres slik:

Addisjon med fellesnevner illustrert som pizzastykker

Dette kan virke tungvint, og det er strengt tatt ikke nødvendig å finne minste felles multiplum. En fellesnevner får vi enkelt ved å multiplisere de to nevnerne:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bd} + \frac{\displaystyle bc}{\displaystyle bd} = \frac{\displaystyle ad + bc}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 4:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 6 + 4 \cdot 1}{\displaystyle 4 \cdot 6} = \frac{\displaystyle 6 + 4}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Ulempen er at vi kan få unødvendig høye tall underveis.

Oppgave 1:

Utfør addisjonen under både ved å finne minste felles multiplum og ved å multiplisere nevnerne direkte. Forkort svaret mest mulig:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 24}$

SkjermfilmSe film der utregningene vises
 

Samme prinsipp brukes hvis brøkene inneholder algebraiske uttrykk. Imidlertid kan vi ofte ende opp med noe som er mer komplisert og sammensatt enn det vi startet med. Av og til er vi derfor like godt tjent med å la brøkene stå hver for seg.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} + \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle y^2z^2 + xz}{\displaystyle xy^2}$

Ved addisjon av blanda tall kan vi regne ut heltallene for seg og brøkene for seg.

Eksempel 6:

$2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + 3 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 2 + 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 5 \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Vi kan også gjøre heltallene om til brøk ved hjelp av fellesnevner, men utregningene blir gjerne unødvendig innviklede.

Subtraksjon av brøk gjøres på samme måte som addisjon, bare at vi subtraherer tellerne i stedet for å addere dem.

Eksempel 7:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} − \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} − \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$

Multiplisere brøk

Mens addisjon av brøk kan være litt innviklet ved at vi må finne en fellesnevner, er multiplikasjon av brøk liketil. Vi multipliserer bare teller med teller og nevner med nevner:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 8:

$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 4}{\displaystyle 2 \cdot 7} = \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 14} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Eksempel 9:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle z^3}{\displaystyle xy^2}$

Å multiplisere et helt tall med en brøk er også enkelt. Vi multipliserer tallet med telleren og lar nevneren stå.

$\fbox{$a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$}$

Eksempel 10:

$3 \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Dette er egentlig samme regel som multiplikasjonsregelen over, for vi kan alltid skrive et tall som en brøk med 1 i nevneren.

Altså: $a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle 1} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle 1d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$

Oppgave 2:

Regn ut og forkort mest mulig:

$−\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Multiplikasjon av blanda tall er mer komplisert fordi vi har en eller flere addisjoner inne i regnestykket.

Eksempel 11:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

betyr egentlig

$3 \cdot (2 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})$

Ved å multiplisere 3-tallet inn i parentesen, får vi

$3 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 6 + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

En annen metode er å inkludere heltallet i brøken.

Eksempel 12:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 3 \cdot \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

Ved matematikk på høyere nivå er det ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter ned en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

Dividere brøk

Divisjon av brøk betyr at det som står under brøkstreken selv er en brøk, vi har altså en brudden brøk.

Eksempel 13:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\;}{\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}$

Generelt:

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}}$

Uttrykket ser forferdelig komplisert ut, men i virkeligheten er divisjon av brøk veldig enkelt. Vi utvider brøken ved å multiplisere med nevnerens invers, ${\large \frac{d}{c}}$, i teller og nevner. Da blir nevneren i hovedbrøken 1, og vi står igjen med telleren multiplisert med nevnerens invers.

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}} = \frac{\;\frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bc}\;}{\displaystyle 1^\phantom 1} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$ 

Å dividere med en brøk er altså det samme som å multiplisere med den inverse (omvendte) brøken:

$\fbox{$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$}$

Eksempel 14:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

Eksempel 15:

$\frac{\;\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1}\;}{\frac{\displaystyle z^\phantom 1}{\displaystyle y^2}} = \frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle y^2}{\displaystyle z^\phantom 1} = \frac{\displaystyle y^2z}{\displaystyle x^\phantom 1}$

Oppgave 3:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Oppgave 4:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle x^3y}{\displaystyle z^2}\;}{\frac{\displaystyle x^2y^4}{\displaystyle z}}$

SkjermfilmSe film der utregningen vises
 

Siden et tall alltid kan betraktes som en brøk med nevner 1, fungerer samme metode også hvis vi har et helt tall over eller under brøkstreken.

Eksempel 16:

$\frac{\;\displaystyle 2\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = 2 \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$

Eksempel 17:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}$

Kilder

    • Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget