Forfatter: Sjefen

Likninger av høyere grad

Oppgave 1:

Vi skal løse likningen x⁴ + x³ − 6x² = 0 og sette prøve på svaret.

I oppgave 3 i artikkelen om å faktorisere polynomer skrev vi x⁴ + x³ − 6x² som x²(x² + x − 6). Vi kan derfor skrive likningen x⁴ + x³ − 6x² = 0 som x²(x² + x − 6) = 0.

Uttrykket på venstre side blir 0 når x = 0, eller når uttrykket inni parentesen er 0.

x = 0 er altså en løsning til likningen. (Siden det står x² foran parentesen, utgjør dette egentlig to sammenfallende løsninger.)

I samme oppgave fant vi at uttrykket inni parentesen er 0 når x₁ = 2 eller x₂ = −3.

Løsningene til likningen blir altså x₁ = 2, x₂ = −3, x₃ = 0.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de tre tilfellene:

V.S. når x = 2: x⁴ + x³ − 6x² = 2⁴ + 2³ − 6 · 2² = 16 + 8 − 24 = 0.

V.S. når x = −3: x⁴ + x³ − 6x² = (−3)⁴ + (−3)³ − 6 · (−3)² = 81 − 27 − 54 = 0

V.S. når x = 0: x⁴ + x³ − 6x² = 0⁴ + 0³ − 6 · 0² = 0.

Vi ser at alle tre x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal løse likningen x⁴ − 10x² + 9 = 0 og sette prøve på svaret.

Vi erstatter x² med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Likningen blir da s² − 10s + 9 = 0.

Bruker vi abc-formelen, ser vi at løsningen til likningen s² − 10s + 9 = 0 er s₁ = 9 og s₂ = 1.

Det betyr at $x_{1, 2} = \pm \sqrt 9 = \pm 3$ og $x_{3, 4} = \pm \sqrt 1 = \pm 1$.

Løsningene er altså x₁ = 3, x₂ = −3, x₃ = 1, x₄ = −1.

Setter vi prøve på svaret, får vi i de fire tilfellene:

V.S. når x = 3: x⁴ − 10x² + 9 = 3⁴ − 10 · 3² + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.

V.S. når x = −3: x⁴ − 10x² + 9 = (−3)⁴ − 10 · (−3)² + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.

V.S. når x = 1: x⁴ − 10x² + 9 = 1⁴ − 10 · 1² + 9 = 1 − 10 + 9 = 0.

V.S. når x = −: x⁴ − 10x² + 9 = (−1)⁴ − 10 · (−1)² + 9 = 81 − 90 + 9 = 0.

Vi ser at alle fire x gir 0 som svar, og derfor er løsning til likningen.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Basert på bildet under, som viser grafene til tre vilkårlige polynomer av odde grad, skal vi forsøk å finne et argument for at alle likninger av odde grad vil ha minst én løsning som er et reelt tall.

Alle de tre grafene skjærer x-aksen, det vil si at de tre polynomene har et nullpunkt, og de tre tilhørende likningene følgelig en løsning blant de reelle tallene.

En odde potens av x vil gå mot uendelig når x går mot uendelig, og gå mot minus uendelig når x går mot minus uendelig. Grafene til ethvert polynom av odde grad vil derfor skjære x-aksen et eller annet sted. Dette skjæringspunktet vil være et nullpunkt i polynomet og følgelig en løsning til den tilhørende likningen.

Tilbake til oppgaven

Ikke-lineære ulikheter

Oppgave 1:

Vi skal løse ulikheten 2x² > −10x − 12.

Vi flytter −10x − 12 over på venstre side med fortegnsskifte:
2x² + 10x + 12 > 0

Vi finner nullpunktene til polynomet på venstre side:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a}} = {\large \frac{−10\pm \sqrt{10^2 −4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}} = {\large \frac{−10\pm \sqrt{4}}{4}} = {\large \frac{−10\pm 2}{4}} = {\large \frac{−5\pm 1}{2}}$

Som gir x₁ = −2 og x₂ = −3.

Vi benytter så at ax² + bx + c kan skrives som a(x − x₁)(x − x₂). Så 2x² + 10x + 12 = 2(x − (−2)(x − (−3)) = 2(x + 2)(x + 3).

(x + 2) < 0 når x < −2, og (x + 3) < 0 når x < −3.

Fortegnsskjemaet kan se slik ut:

Her har vi også tatt med faktoren 2, men den er alltid positiv, så den kunne godt vært sløyfet.

Vi ser at linja til 2(x + 2)(x + 3) er heltrukken når x < −3 og x > −2. Løsningen til ulikheten 2x² + 10x + 12 > 0 er altså x < −3 og x > −2.

Tilbake til oppgaven

Likninger med ukjent i eksponent

Oppgave 1:

Vi skal løse likningen 5^x = 15625 og sette prøve på svaret.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
ln 5^x = ln 15625.

Vi bruker regelen ln u^r= r ln u til å skrive om venstre side:
x · ln 5 = ln 15625

Vi dividerer begge sider med ln 5:
$x = \frac{\displaystyle −\ln 2}{\displaystyle \ln 4 − \ln 5}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x = 6

Setter vi prøve på svaret, får vi

V.S.: 5^x = 5⁶ = 15625.

Dette er det samme som høyre side, så svaret er riktig.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal løse likningen 2 · 4^x = 5^x og sette prøve på svaret.

Vi tar logaritmen på begge sider av likhetstegnet:
 ln(2 · 4^x)= ln 5^x

Vi bruker regelen ln u · v = ln u + ln v til å skrive om venstre side:
 ln 2 + ln 4^x = ln 5^x

Vi bruker regelen ln u^r= r ln u til å hente ned eksponentene:
ln 2 + x · ln 4 = x · ln 5

Vi flytter leddet x · ln 5 over til venstre side med fortegnsskifte og leddet ln 2 over til høyre side med fortegnsskifte:
x · ln 4 − x · ln 5 = −ln 2

Vi setter x utenfor parentes:
x(ln 4 − x · ln 5) = −ln 2

Vi dividerer begge sider med ln 4 − ln 5:
$x = \frac{\displaystyle −\ln 2}{\displaystyle \ln 4 − \ln 5}$

Vi regner ut logaritmeuttrykket på kalkulator eller med funksjonen ln i Excel eller GeoGebra:
x ≈ 3,10628372

Setter vi prøve på svaret, får vi 

V.S.: 2 · 4^x ≈ 2 · 4^3,10628372 ≈ 148,319805

H.S.: 5^x ≈ 5^3,10628372 ≈ 148,319805

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Likningssett

Oppgave 1:

Vi skal avgjør om likningene 2x + 4y = 8 og −8y = 4x − 16 er uavhengige.

Hvis vi multipliserer hver side i den første likningen med −2, får vi −4x − 8y = −16. Flytter vi så −4x over til høyre side med fortegnsskifte, får vi − 8y = 4x −16, som er lik den andre likningen. Siden vi kan komme fra den ene til den andre på denne måten, er likningene ikke uavhengige.

Plotter vi likningene i GeoGebra, ligger grafene oppå hverandre.

Tilbake til oppgaven

Løse likningssett

Oppgave 1:

Vi skal bruke innsettingsmetoden til å løse likningssettet under, og sette prøve på svaret.

(I) 3x + 2y = 4
(II) x − y = 3

Likning (II) er enkel å løse med hensyn på x:
x − y = 3 ⇒ y = x − 3

x − 3 kan vi så sette inn for y i (I):
3x + 2y = 4 ⇒ 3x + 2(x − 3) = 4 ⇒ 3x + 2x − 6 = 4 ⇒ 5x = 10 ⇒ x = 2

Vi fant tidligere at y = x − 3, så y = 2 − 3 = −1

Løsningen til likningssettet er x = 2, y = −1.

Vi setter prøve på svaret:

(I) V.S.: 3x + 2y = 3 · 2 + 2 · (−1) = 4. Som er lik H.S.

(II) V.S. x − y = 2 − (−1) = 3. Som er lik H.S.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke innsettingsmetoden til å løse likningssettet under, og sette prøve på svaret.

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Likning (I) er enkel å løse med hensyn på x:
x + 3y − 2z = 5 ⇒ x = 5 − 3y + 2z

Vi setter 5 − 3y + 2z inn for x i (II):
3x + 5y + 6z = 7 ⇒ 3(5 − 3y + 2z) + 5y + 6z = 7 ⇒ 15 − 9y + 6z + 5y + 6z = 7 ⇒ −4y + 12z = −8

Vi setter 5 − 3y + 2z inn for x i (III):
2x + 4y + 3z = 8 ⇒ 2(5 − 3y + 2z) + 4y + 3z = 8 ⇒ 10 − 6y + 4z + 4y + 3z = 8 ⇒ −2y + 7z = −2

Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder y og z:

(IV) −4y + 12z = −8
(V) −2y + 7z = −2

Likning (IV) er enkel å løse med hensyn på y:
−4y + 12z = −8 ⇒ y = 2 + 3z

Så setter y = 2 + 3z inn for y i (V):
−2y + 7z = −2 ⇒ −2(2 + 3z) + 7z = −2 ⇒ −4 − 6z + 7z = −2 ⇒ z = 2

Vi fant tidligere at y = 2 + 3z, så y = 2 + 3 · 2 = 8

Vi fant tidligere at x = 5 − 3y + 2z, så x = 5 − 3 · 8 + 2 · 2 = −15

Løsningen til likningssettet er x = −15, y = 8, z = 2.

Vi setter prøve på svaret:

(I) V.S.: x + 3y − 2z = −15 + 3 · 8 − 2 · 2 = 5. Som er lik H.S.
(II) V.S.: 3x + 5y + 6z = 3 · (−15) + 5 · 8 + 6 · 2 = 7. Som er lik H.S.
(III) V.S.: 2x + 4y + 3z = 8 = 2 · (−15) + 4 · 8 + 3 · 2 = 8. Som er lik H.S.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 1:

(I) 3x + 2y = 4
(II) x − y = 3

Vi multipliserer (II) med 2. Vi får da dette likningssettet:

(I) 3x + 2y = 4
(II) 2x − 2y = 6

Adderer vi likningene, eliminerer vi y, og får

5x = 10 ⇒ x = 2

Så setter vi 2 inn for x i (I) og får 3x + 2y = 4 ⇒ 3 · 2 + 2y = 4 ⇒ y = −1

Vi får altså x = 2, y = −1, som er det samme som vi fikk i oppgave 1.

Et annet løsningsalternativ er å starte med å multiplisere (II) med −3. Da eliminerer vi x når vi adderer.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet

(I) 2x + 3y = 11
(II) 5x − 7y = −16

Multipliserer vi med 5 i (I) og med −2 i (II), får vi

10x + 15y = 55
−10x + 14y = 32

Adderer vi likningene, får vi

29y = 87 ⇒ y = 3

Setter vi dette inn i (I), får vi 2x + 3 · 3 = 11 ⇒ x = 1

Løsningen til likningssettet er x = 1, y = 3.

Vi setter prøve på svaret:

(I) V.S.: 10x + 15y = 10 · 1 + 15 · 3 = 55. Som er lik H.S.

(II) V.S. −10x + 14y = −10 · 1 + 14 · 3 = 32. Som er lik H.S.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal bruke addisjonsmetoden til å løse likningssettet fra oppgave 2:

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Vi multipliserer (I) med −3, adderer med (II) og får

(IV) −4y + 12z = −8

Vi multipliserer (I) med −2, adderer med (III) og får

(V) −2y + 7z = −2

Nå har vi fått et nytt likningssett som bare inneholder y og z, og kan bruke addisjonsmetoden på disse for å eliminere ytterligere en ukjent.

Vi multipliserer (V) med −2, adderer med (IV) og får

(VI) −2z = −4 ⇒ z = 2

Så setter vi 2 inn for z i (IV) eller (V). Vi velger (V) fordi det gir enklest utregning, og får −2y + 7z = −2 ⇒ −2y + 7 · 2 = −2 ⇒ −2y = −16 ⇒ y = 8

Så setter vi 8 og 2 inn for y og z i (I), (II) eller (III). Vi velger (I) fordi det gir enklest utregning, og får x + 3y − 2z = 5 ⇒ x + 3 · 8 − 2 · 2 = 5 ⇒ x = −15

Vi har altså kommet fram til x = −15, y = 8, z = 2, som er det samme som vi fikk i oppgave 2.

Tilbake til oppgaven

Modellere med likninger

Oppgave 1:

Vi skal avgjøre hvor mange kurver jordbær Alea må plukke per dag for at et betalingsalternativ med kr 50 per time og kr 5 per kurv skal lønne seg framfor kr 800 per dag, når arbeidsdagen er 8 timer.

Kaller vi antall kurver hun plukker for x, vil kr 50 per time i 8 timer og kr 5 per kurv kunne skrives som 50 · 8 + 5x. Vi skal så finne ut hva x skal være for at dette er lik 800, så vi får likningen 50 · 8 + 5x = 800.

Dette er en førstegradslikning som vi løser ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet og forenkle så langt det går på høyre.

50 · 8 + 5x = 800
⇓
5x = 800 − 50 · 8
⇓
5x = 400
⇓
x = 80

Alea må plukke mer enn 80 kurver per dag for at dette alternativet skal lønne seg.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi vet at 1 stk. brokkoli og 2 stk. purre koster kr 55 til sammen, at 2 stk. brokkoli og 4 stk. purre koster kr 110 til sammen, og skal prøve å finne ut hva 1 stk. brokkoli og 1 stk. purre koster.

Kaller vi prisen på brokkoli b og prisen på purre p, kan vi sette opp disse to likningene:

(I) b + 2p = 55
(II) 2b + 4p = 110

Vi prøver først å bruke innsettingsmetoden. Vi finner lett et uttrykk for b fra (I): b + 2p = 55 ⇒ b = 55 − 2p

Vi setter inn 55 − 2p for b i (II), og får 2(55 − 2p) + 4p = 110 ⇒ 110 − 4p + 4p = 110 ⇒ 0p = 0

Vi endte opp med at 0p = 0, noe som betyr at p kan ha en hvilken som helst verdi. Hvis vi prøver å finne et uttrykk for b i den ene likningen og sette inn i den andre, vil vi ende opp med at 0b = 0.

Prøver vi å bruke addisjonsmetoden, ser vi at det ikke er noe vi kan multiplisere likningene med slik at vi får eliminert bare én av de ukjente når vi adderer. Vi får eliminert begge eller ingen.

Årsaken er at de to likningene ikke er uavhengige. Hvis vi multipliserer (I) med 2 på begge sider av likhetstegnet, får vi (II). De to opplysningene vi har fått om prisen på brokkoli og purre, er egentlig samme opplysning gitt i to varianter.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi vet at prisen på en bil er lik prisen året før multiplisert med 0,87, og skal finne ut hvor mange år det vil gå før prisen på en bil til kr 350 000 er blitt lavere enn kr 200 000.

Et uttrykk for prisen til bilen etter x år vil være 350 000 · (0,87)^x. Så skal vi finne ut når dette blir lik 200 000. Vi får derfor likningen 350 000 · (0,87)^x = 200 000.

Vi løser likningen:

350 000 · (0,87)^x = 200 000
⇓ (Dividerer med 1000 på begge sider)
35 · (0,87)^x = 20
⇓ (Tar logaritmen på begge sider)
ln(35 · (0,87)^x) = ln 20
⇓ (Benytter at ln uv = ln u + ln v)
ln 35 + ln (0,87)^x = ln 20
⇓ (Benytter at ln u^x = x ln u)
ln 35 + x ln 0,87 = ln 20
⇓ (Flytter ln 35 til høyre side med fortegnsskifte, og dividerer begge sider med 0,87)
x = (ln 20 − ln 35)/ln 0,87
⇓ (Regner ut høyre side)
x ≈ 4,02

Dette betyr at prisen på bilen etter 4 år fremdeles er litt høyere enn kr 200 000, og at det må gå 5 år før den er lavere enn 200 000 når vi regner i hele år.

Tilbake til oppgaven

Summasjonstegn

Oppgave 1:

Vi skal beregne summen som angis med uttrykket $\displaystyle \sum_{n = 1}^{3} 2^n$.

Her går summasjonsindeksen fra og med 1 til og med 3, og settes inn for n i 2ⁿ. Så vi får 2¹ + 2² + 2³ = 2 + 4 + 8 = 14.

I GeoGebra skriver vi sum(2^n, n, 1, 3) i inntastningsfeltet. GeoGebra svarer med 14 i algebrafeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal skrive summen ${\large \frac{1}{3}} + {\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{5}} + \cdots + {\large \frac{1}{100}}$ ved hjelp av summasjonstegn.

Her er det algebraiske uttrykket ${\large \frac{1}{n}}$, startverdien for n er 3 og sluttverdien er 100. Så dette blir

$\displaystyle \sum_{n = 3}^{100} \frac{1}{n}$

Tilbake til oppgaven

Logaritmer

Oppgave 1:

Vi skal beregne den briggske logaritmen til 0,2 og den briggske antilogaritmen til 2 på kalkulator og med Excel eller GeoGebra.

For å beregne log 0,2 på min Casio fx-82ES PLUS, trykker jeg på tastene log 0 . 2 ) =. Kalkulatoren svarer −0.6989700043. For å gjøre utregningen i Excel, skriver vi =log(0,2) i ei celle. I GeoGebra, skriver vi log(0.2) i inntastingsfeltet.

For å beregne den briggske antilogaritmen til 2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene 10^■ 2 =. Kalkulatoren svarer 100. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =10^2 i ei celle. I GeoGebra, skriver vi 10^2 i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal beregne den naturlige logaritmen til 0,2 og den naturlige antilogaritmen til 2 på kalkulator og med Excel eller GeoGebra.

For å beregne ln 0,2 på min Casio fx-82ES PLUS, trykker jeg på tastene ln 0 . 2 ) =. Kalkulatoren svarer −1.609437912. For å gjøre utregningen i Excel, skriver vi =ln(0,2) i ei celle. I GeoGebra skriver vi ln(0.2) i inntastingsfeltet.

For å beregne den naturlige antilogaritmen til 2 på min kalkulator, trykker jeg på tastene e^■ 2 =. Kalkulatoren svarer 7.389056099. For å gjøre tilsvarende i Excel, skriver vi =eksp(2) i ei celle. I GeoGebra, skriver vi exp(2) i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal kople hvert av de fire uttrykkene under til riktig punkt på tallinja: 

1. 1. 1. log 5
      2. ln 5
      3. log 1
      4. ln 0,5

1. 1. log 5. Her tar vi den briggske logaritmen, med grunntall 10, til 5. Siden 1 < 5 < 10, må log 5 ligge mellom 0 og 1, så det er punkt C.
       
   2. ln 5. Her tar vi den naturlige logaritmen, med grunntall e ≈ 2,71828, til 5. Siden 5 > e, må ln 5 være større enn 1, så det er punkt D.
       
   3. log 1. Her tar vi logaritmen til 1, som er 0, uavhengig av grunntall. Så det er punkt B.
       
   4. ln 0,5. Her tar vi logaritmen til 0,5, som er et negativt tall, uavhengig av grunntall. Så det er punkt A.

Skriver vi henholdsvis =log(5), =ln(5), =log(1) og =ln(0,5) i ei celle i Excel eller (5), ln(5), log(1) og ln(0.5) i inntastingsfeltet i GeoGebra, ser vi at svarene stemmer med verdiene til henholdsvis punkt C, D, B og A.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal beregne log₃ 81 ved å bruke funksjonen ln i Excel eller GeoGebra, og kontrollere svaret ved å bruke log med grunntall 3.

Her benytter vi oss av at $\log_{\large a} x = \frac{\displaystyle \ln x}{\displaystyle \ln a}$, så vi skal beregne ${\large \frac{\ln 81}{\ln 3}}$. Vi skriver =ln(81) / ln(3) i ei celle Excel eller ln(81) / ln(3) i inntastingsfeltet i GeoGebra, og får 4 til svar.

Vi ser at dette svaret er riktig fordi 3⁴ = 81. 4 er det tallet vi må opphøye grunntallet 3 i for å få 81.

For å kontrollere svaret, skriver vi =log(81; 3) i ei celle i Excel eller log(3, 81) i inntastingsfeltet i GeoGebra.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal anslå verdien til punktene B, C, D, F, G og H som er vist på en logaritmisk skala der verdiene 10 og 100 er markert. Svaret er

B: 2,5, C: 5,0, D: 7,5, F: 25, G: 50, H: 75.

Her er det fort å gå fem på og tenke som om det var en lineær skala mellom 1 og 10 og 10 og 100, og tro at det er lengre mellom A og B enn mellom D og E, og lengre mellom E og F enn mellom H og I.

I bildet under er samme skala vist, men nå med mellomenhetene 2, 3, … , 9 og 20, 30, … , 90 markert. Vi ser at avstanden mellom enhetene avtar jo større enhetene blir.

Tilbake til oppgaven

Faktorisere polynomer

Oppgave 3:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x⁴ + x³ − 6x².

Vi setter x² utenfor parentes: x⁴ + x³ − 6x² = x²(x² + x − 6).

 Vi bruker abc-formelen til å finne andregradspolynomets nullpunkter.

$x_{1, 2} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{1^2 −4 \cdot 1 \cdot (−6)}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{−1 \pm 5}{2}}$

Så

$x_{1} = {\large \frac{−1 + 5}{2}} = {\large \frac{4}{2}} = 2$

$x_{2} = {\large \frac{−1 − 5}{2}} = {\large \frac{−6}{2}} = −3$

Koeffisienten a er 1, så vi får at x² + x − 6 = (x − 2)(x − (−3)) = (x − 2)(x + 3).

Vi har altså at x⁴ + x³ − 6x² = x²(x² + x − 6) = x²(x − 2)(x + 3).

Skriver vi Faktoriser(x^4 + x^3 − 6x^2) CAS, svarer GeoGebra med x²(x − 2)(x + 3).

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x⁴ − 10x² + 9. Dette kan skrives som (x²)² − 10x² + 9. 

Vi erstatter x² med s. Polynomet blir da s² − 10s + 9.

Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:

$s_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}} ={\large \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2}} = {\large \frac{10 \pm 8}{2}} = 5 \pm 4$

Så vi får

$s_{1} = 5 + 4 = 9$

$s_{1} = 5 + 4 = 9$

Koeffisienten a er 1, så det betyr at x⁴ − 10x² + 9 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 1).

Siden vi har at s = x², er dette det samme som (x² − 9)(x² − 1).

Så må vi faktorisere andregradspolynomene x² − 9 og x² − 1. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke konjugatsetningen baklengs:

x² − 9 = (x + 3)(x − 3) og

x² − 1 = (x + 1)(x − 1)

Så vi har at x⁴ − 10x² + 9 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1).

Skriver vi Faktoriser(x^4 − 10x^2 + 9) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 1)(x + 1)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.

Tilbake til oppgaven

Førstegradslikninger

Oppgave 4:

Vi skal løse likningen 2u − v = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sette prøve på svaret. Målet er da å isolere v på venstre side av likhetstegnet.

Flytter v over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2u − 2v = 4u − 2

Flytter 2u over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2v = 2u − 2

Dividerer med −2 på begge sider:
v = −u + 1

Det var imidlertid oppgitt at dette var den likningen vi løste med hensyn på u og fikk at u = −v + 1. Vi kan derfor ta utgangspunkt i dette svaret, og løse med hensyn på v.

Vi har:
 u = −v + 1

Flytter v over på venstre side og skifter fortegn:
v + u = 1

Flytter u over på høyre side og skifter fortegn:
v = −u + 1

For å sette prøve på svaret erstatter vi v med løsningen −u + 1 på begge sider av likhetstegnet:

V.S.: 2u − v = 2u − (−u + 1) = 2u + u − 1 = 3u − 1.

H.S.: 4u + v − 2 = 4u + (−u + 1) − 2 = 3u − 1.

Begge sider er lik 3u − 1, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Andregradslikninger

Oppgave 2:

Vis skal løse likningen x² + 6x = −9.

Flytter −9 over til venstre side med fortegnsskifte:
$x^2+6x−9 = 0$

Benytter hintet og skriver $x^2+6x−9 = 0$ som $(x+3)^2= 0$:
$(x+3)^2= 0$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 3)^2} = \pm \sqrt{0}$

Trekker ut røttene:
$x + 3 = 0$

Flytter 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = −3$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen x² + 2x = 3 ved å bruke metoden med kvadratkomplettering.

For å komplettere kvadratet på venstre side må vi legge til halvparten av førstegradskoeffisienten kvadrert. Koeffisienten er 2, så halvparten er 1, og halvparten kvadrert er 1.

Legger til 1 på begge sider:
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$

Regner ut høyresiden:
$x^2 + 2x + 1 = 4$

Nå kan vi skrive om fra formen x² + 2kx + k² til (x + k)². Her er k² = 1, så k = 1, og vi får:
$(x + 1)^2 = 4$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 1)^2} = \pm \sqrt{4}$

Trekker ut røttene:
$x + 1 = \pm 2$

Flytter 1 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = \pm 2 − 1$

Det vil si at løsningene er

$ x_1 = 2 − 1 = 1$

$x_2 = −2 − 1 = −3$

Tilbake til oppgaven

Likninger med ukjent under brøkstrek

Oppgave 2:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2}$ og sette prøve på svaret.

Vi kryssmultipliserer:
2(x − 2) = 1(6x − 16)

Vi multipliserer inn i parentesene:
2x − 4 = 6x − 16

Vi flytter 6x over til venstre side med fortegnsskifte og −4 over til høyre side med fortegnsskifte:
2x − 6x = −16 + 4

Vi trekker sammen på begge sider:
− 4x = −12

Vi dividerer med −4 på begge sider:

x = 3

Vi setter prøve på svaret:

V.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6 \cdot 3 −16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2} = 1$

H.S.: $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3 − 2} = 1$

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x}$ og sette prøve på svaret.

Vi kryssmultipliserer:
x(x + 2) = (2x + 4)(x − 3)

Vi multipliserer inn x på venstre side og multipliserer sammen parentesene på høyre side:
x² + 2x = 2x² − 2x − 12

Vi flytter alle ledd over til venstre side med fortegnsskifte:
x² + 2x − 2x² + 2x + 12 = 0

Vi organiserer og trekker sammen like ledd:
−x² + 4x + 12 = 0

Vi løser ved hjelp av abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 − 4 \cdot(−1) \cdot 12}}{2 \cdot(−1)}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{64}}{−2}} = {\large \frac{−4 \pm 8}{−2}} = 2 \pm 4$

Så
x₁ = 2 + 4 = 6
x₂ = 2 − 4 = −2

Setter vi prøve på svaret, får vi når x = 6:

VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 6+2}{\displaystyle 6 − 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3} $

H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot 6 + 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$

Når x = −2, får vi:

VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle −2+2}{\displaystyle −2 − 3} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −5} = 0$

H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot (−2) + 4}{\displaystyle −2} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −2} = 0$

I begge tilfeller er venstre og høyre side like, så løsningene er riktige.

Tilbake til oppgaven

Regneregler i algebra

Oppgave 1:

Vi skal multiplisere ut parentesen og trekke uttrykket 6x(2y + 3z − 1 + y) sammen så langt det er mulig.

Vi multipliserer 6x med hvert ledd inni parentesen:

12xy + 18xz − 6x + 6xy

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

12xy + 6xy + 18xz − 6x

Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:

− 6x + 18xy + 18xz

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal multiplisere ut parentesene og trekke uttrykket −3x(2y + 3z − 1 − y) sammen så langt det er mulig.

Vi multipliserer −3x med hvert ledd inni parentesen:

−6xy − 9xz + 3x + 3xy

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

−6xy + 3xy − 9xz + 3x 

Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:

3x − 3xy − 9xz

Tilbake til oppgaven

Potensregning

Oppgave 1:

Vi skal regne ut (−5)⁴ på kalkulator, i Excel og i GeoGebra.

Akkurat hva vi skriver på kalkulator, vil være avhengig av modell, men prinsippet er stort sett det samme. På min Casio fx-82ES PLUS trykker jeg på tastene
( – 5 ) x^■ 4 =
Kalkulatoren svarer 625.

I Excel skriver vi =(-5)4 i ei celle. Excel beregner uttrykket til 625.

I GeoGebra skriver vi (-5)^4 i inntastingsfeltet. GeoGebra svarer med a = 625 i algebrafeltet.

Det er viktig å være oppmerksom på at vi må skrive parentes rundt −5. Det er en konvensjon at opphøying utføres før fortegnsskifte, så −5⁴ blir tolket som −(5⁴) som er −625. Excel følger riktignok ikke denne konvensjonen, så -5^4 blir tolket som (−5⁴). Parentesene er derfor strengt tatt overflødige, men for prinsippet skyld bør vi allikevel bruke dem. Og kanskje kommer Excel til å følge konvensjonen i en senere versjon.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i summen av eksponentene:

$3^5 \cdot 3^2 = 3^{5 + 2} = 3^7 = 2187$

$3 \cdot 3^2 = 3^1 \cdot 3^{2} = 3^{1+2} = 3^3 = 27$
Her har vi brukt at når det står et grunntall uten eksponent, har vi egentlig en eksponent som er 1.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i differansen av eksponentene:

$\frac{\displaystyle 4^{5}}{\displaystyle 4^{3}} = 4^{5−3} = 4^2 = 16$

$\frac{\displaystyle 4^2}{\displaystyle 4^{−2}} = 4^{2 − (−2)} = 4^4 = 256$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å opphøye en potens i en eksponent, det vil si at opphøyer i produktet av eksponentene:

$(3^{2})^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 = 729$

$(3^{−2})^{−3} = 3^{−2(−3)} = 3^6 = 729$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi multipliserer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:

$3^{2} \cdot 4^{2} = (3\cdot 4)^2 = 12^2 = 144$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi dividerer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:

$\frac{\displaystyle 6^2}{ \displaystyle 3^2} = \Big(\frac{\displaystyle 6}{ \displaystyle 3}\Big)^2 = 2^2 = 4$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal regne ved å bruke regelen om å flytte en potens under/over en brøkstrek med fortegnsskifte på eksponenten:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{−4}} = 2^4 = 16$

$3^{−4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 81}$

Tilbake til oppgaven

Kvadratsetningene

Oppgave 2:

Vi skal bruke første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)² og forenkle så langt som mulig.

Første kvadratsetning sier at (a + b)² = a² + 2ab + b². I parentesen i oppgaven har vi 3x i stedet for a, og 5y i stedet for b, så vi får:

(3x + 5y)² = (3x)² + 2 · 3x · 5y + (5y)² = 9x² + 30xy + 25y²

Vi ser at når vi opphøyer 3x i andre, så er det både 3-tallet og x som skal opphøyes, og tilsvarende når vi opphøyer 5y i andre, så er det både 5-tallet og y som skal opphøyes. Dette er egentlig i henhold til regelen a^x · b^x = (a · b)^x, slik det er beskrevet i artikkelen om potensregning. I vårt tilfelle bruker vi regelen baklengs, og sier at (3 · x)² = 3² · x² = 9x² og (5 · y)² = 5² · y² = 25y².

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal bruke formelen (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ til å regne ut (2x + 5)³, og sjekke resultatet i CAS.

I parentesen i oppgaven har vi 2x i stedet for a, og 5 i stedet for b, så vi får:

(2x + 5)³ = (2x)³ + 3 · (2x)² · 5 + 3 · 2x · 5² + 5³ = 8x³ + 3 · 4x² · 5 + 3 · 2x · 25 + 125 = 8x³ + 60x² + 150x + 125

I CAS skriver vi RegnUt((2x + 5)^3), og GeoGebra gir svaret 8x³ + 60x² + 150x + 125, så vi har regnet riktig.

Tilbake til oppgaven

Røtter

Oppgave 1:

Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2}$ mest mulig.

Vi bruker regelen om rota av et produkt baklengs:

$\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2} = \sqrt[\Large 4]{8 \cdot 2} = \sqrt[\Large 4]{16} = 2$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5}}$ mest mulig ved å gå veien om potenser.

Vi skriver først rotuttrykkene om til potenser. Vi husker at a egentlig betyr a¹:

$\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} } = \frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}}$

Så flytter vi potensen under brøkstreken opp samtidig som vi skifter fortegn på eksponenten:

$\frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}} = a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})}$

Så benytter vi at å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene:

$a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 1 – \frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{13}{8})}$

Så regner vi tilbake til rot-form:

$a^{\large (\frac{13}{8})} = \sqrt[\Large 8]{a^{13}}$

Gjør vi utregningen med GeoGebra, får vi imidlertid svaret $a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$. Vi skal se hvordan vi kommer fram til dette.

Vi deler opp eksponenten i $a^{\large (\frac{13}{8})}$ i en sum av brøker:

$a^{\large (\frac{13}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})}$

Vi bruker regelen $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$ baklengs:

$a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8})} \cdot a^{(\large \frac{4}{8})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})}$

Vi regner om fra potensform til brøkform:

$a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$

Tilbake til oppgaven