Forfatter: Sjefen

Publisert

Trigonometri med GeoGebra

De trigonometriske funksjonene

GeoGebra har alle de seks trigonometriske funksjonene innebygd:

Sinus: sin

Cosinus: cos

Tangens: tan

Cosekant: csc eller cosec

Sekant: sec

Cotangens: cot

For sinus, cosinus og tangens finnes inverse funksjoner:

Sinus: asin eller arcsin

Cosinus: acos eller arccos

Tangens: atan eller arctan

For å plotte grafen til sinus, for eksempel, skriver vi: sin(x) i inntastingsfeltet.

Grader og radianer

GeoGebra forventer at argumentet til de trigonometriske funksjonene oppgis i radianer. Vi ser for eksempel i bildet under at grafene til sinus og cosinus skjærer x-aksen i multipler av $\pi$ og $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$.

 

Kurvene til sinus og cosinus, skala langs x-aksen i radianer

GeoGebra tilbyr imidlertid en enkel måte å konvertere fra grader til radianer på, vi skriver bare et gradetegn, °, bak gradtallet. For eksempel er sin 90° = 1. sin(x°) vil tegne grafen til sinus basert på grader. Gradetegnet får vi fram ved å trykke <alt>o, eller velge fra menyen som blir tilgjengelig når vi setter markøren i inntastingsfeltet:

Velge gradetegn fra meny i geogebra.

Vi ser at denne menyen også inneholder en del andre spesialtegn, blant annet π. π kan vi også få fram ved å trykke <alt>p.

For å få $\pi$ eller $\frac{\displaystyle \pi}{\displaystyle 2}$ som akseenhet, slik det er vist over, velger vi «Avstand» i Innstillinger-dialogboksen:

Velge pi / 2 som enhet på x-aksen

Illustrere definisjonen av sinus og cosinus

Med GeoGebra kan vi illustrere definisjonen av sinus og cosinus grafisk. Med basis i en enhetssirkel, er sinus og cosinus til en vinkel definert som vist i figuren under:

Definisjon av sinus og cosinus

Eksempel 1:

Vi skal illustrere definisjonen av sinus i GeoGebra:

      1. Zoom og panorer slik at en sirkel med radius 1 vises godt og tydelig.
         
      2. Lag en enhetssirkel:
        ​Velg «Sirkel definert ved sentrum og radius» fra denne menyen:
        Meny for å sette inn sirkel
        Klikk i origo og oppgi 1 som radius i dialogboksen som kommer opp.
        GeoGebra tegner enhetssirkelen i grafikkfeltet og oppgir formelen i algebrafeltet under navnet c: x2 + y2 = 1.
        GeoGebra lager også et punkt, A, i origo.
         
      3. Lag en sirkelbue på enhetssirkelen:
        Velg «Sirkelbue definert ved sentrum, radius og punkt» fra denne menyen:
        Illustrasjon av menypunkt
        Klikk i origo, deretter i punktet (1, 0), deretter et stykke opp på sirkelen, for eksempel tilsvarende C i figuren over.
        GeoGebra lager et punkt, B, i (1, 0) og C der vi klikket på sirkelen. Punktet C kan skyves rundt på sirkelen. Punktene vises i grafikkfeltet og koordinatene kommer opp i algebrafeltet. I algebrafeltet kommer også lengden av sirkelbuen BC opp under navnet d.
         
      4. Lag et linjestykke mellom A og C:
        Skriv: linjestykke(A, C) i inntastingsfeltet.
        GeoGebra tegner en linje mellom A og C i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet a.
        Men denne lengden vet vi jo allerede alltid er 1.
         
      5. Lag et linjestykke mellom C og x-aksen. Dette linjestykket representerer sinus:
        Skriv: linjestykke(C, (x(C), 0)) i inntastingsfeltet. Her er (x(C), 0) punktet som har samme x-koordinat som C, og y-koordinat 0. Dette punktet vil med andre ord alltid ligge på x-aksen rett under C.
        GeoGebra tegner en loddrett linje mellom C og x-aksen i grafikkfeltet. I algebrafeltet kommer lengden på linjestykket opp under navnet b.

​Når vi nå drar punktet C langs enhetssirkelen, illustreres sinus som et linjestykke i grafikkfeltet og et tall i algebrafeltet.

Oppgave 1:

Modifiser oppskriften i eksempel 1 til å illustrere definisjonen av cosinus.

Se løsningsforslag

GeoGebra-filLast ned GeoGebra-fil med eksempel 1 og oppgave 1
 

Eksempel 2:

Vi skal bygge ut det vi laget i eksempel 1 slik at en sinuskurve tegnes opp ved å plotte sinus som en funksjon av vinkelen BAC.

      1. Hent fram fila fra eksempel 1.
         
      2. Finn sinus til vinkelen:
        Skriv: y(C) i inntastingsfeltet. Dette er y-koordinaten til punktet C, altså avstanden fra C til x-aksen, med andre ord sinus til BAC.
         
      3. GeoGebra viser tallverdien i algebrafeltet under navnet f.
        I eksempel 1 markerte vi denne avstanden med ei linje. GeoGebra viser lengden på denne linja som b i algebrafeltet. Men vi kan ikke bruke den som sinus fordi den aldri blir negativ.
         
      4. Lag et punkt som har x-koordinat lik vinkelen (i radianer) og y-koordinat lik sinus til vinkelen:
        Skriv: (d, f) i inntastingsfeltet. d har vi fra eksempel 1 som lengden av sirkelbuen fra x-aksen opp til punktet C, altså størrelsen på vinkelen BAC målt i radianer. f er sinus vi laget i punkt 2.
         
      5. GeoGebra oppretter et punkt som kalles D.
        Når vi drar i C, ser vi at D beveger seg langs en sinuskurve.
         
      6. Hvis nødvendig, zoom ut og panorer slik at ikke D forsvinner ut til høyre.
         
      7. Sett sporing på punktet D:
        Høyreklikk i D og velg «Slå på sporing».

GeoGebra tegner opp en graf som følger punktet D.

Oppgave 2:

Modifiser oppskriften i eksempel 2 til å tegne grafen til cosinus.

Se løsningsforslag

​GeoGebra-filLast ned GeoGebra-fil med eksempel 2 og oppgave 2
 

SkjermfilmSe film som viser eksempel 1 og 2
 

Polarkoordinater

I GeoGebra kan vi ikke velge bort det kartesiske koordinatsystemet til fordel for et system med polarkoordinater. Men vi kan få rutenettet til å vise polarkoordinater. Det gjør vi ved å velge «Rutenett» fra Innstillinger-dialogboksen og sette «Type rutenett» til «Polar». Husk også å huke av for «Vis rutenett».

Illustrasjon av hvordan en velger polart rutenett.

Skal vi angi et punkt i polarkoordinater i GeoGebra, angir vi r og θ mellom parenteser, atskilt med semikolon. Forskjellen på å angi polarkoordinater og kartesiske koordinater er altså at vi bruker semikolon som skilletegn i stedet for komma. θ måles i radianer hvis vi ikke angir grader ved å skrive et gradetegn, °, slik som beskrevet i et tidligere avsnitt.

Eksempel 3:

Vi skal plotte punktet r = 2, θ = 45° i GeoGebra. Da skriver vi: (2; 45°) i inntastingsfeltet.

Oppgave 3:

Plott punktet r = 1, θ = 60° i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Selv om vi oppgir θ i radianer, viser GeoGebra verdien i grader i algebrafeltet.

I algebrafeltet kan vi bytte mellom kartesiske koordinater og polarkoordinater ved å høyreklikke på koordinatene og velge «Kartesiske koordinater» eller «Polare koordinater».

SkjermfilmSe film som illustrerer bruk av polarkoordinater i GeoGebra
 

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Integrasjon med GeoGebra

GeoGebra kan brukes til å beregne både bestemte og ubestemte integraler.

Kommandoen for å integrere heter integral. Vi kan skrive inn funksjonsforskriften vi vil integrere direkte i kommandoen, for eksempel integral(6x^2), eller vi kan bruke kommandoen på en funksjon vi allerede har lagt inn. Har vi lagt inn en funksjon som heter f, integrerer vi den med kommandoen integral(f). GeoGebra viser funksjonsforskriften til den integrerte funksjonen i algebrafeltet og grafen i grafikkfeltet. GeoGebra følger imidlertid ikke konvensjonen med å betegne den integrerte funksjonen med stor bokstav, og navngir funksjonen på vanlig måte, for eksempel som g.

Ubestemte integraler

Et ubestemt integral beregner vi, som vist over, ved å skrive inn funksjonsforskriften eller funksjonsnavnet sammen med integral-kommandoen, for eksempel integral(6x^2), eller integral(f).

GeoGebra setter i utgangspunktet integrasjonskonstanten C til 0. Av og til opprettes C som en glider vi kan justere på, men det ser ikke ut til alltid å skje. Da kan vi eventuelt gjøre det manuelt.

Av og til sorteres leddene i en sammensatt funksjonsforskrift litt rart, parenteser multipliseres ut på en måte som kompliserer, og det trekkes ikke alltid sammen så mye som mulig. Det kan derfor være lurt å bruke GeoGebras CAS til integrasjon hvis vi ikke er interessert i å se grafen.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2 \, dx$.

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Du har for hånd beregnet at $\int \sin 3x\, dx$ blir ${\large \frac{\cos 3x}{3}} + C$. Bruk GeoGebra til å sjekke om du har regnet riktig.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Bestemte integraler

For å beregne et bestemt integral bruker vi samme kommando som for et ubestemt, integral, men vi inkluderer en nedre og øvre integrasjonsgrense. Vil vi for eksempel integrere funksjonen f mellom grensene a og b, skriver vi integral(f, a, b) i inntastingsfeltet.

Integralet vises som et tall i algebrafeltet, og i grafikkfeltet vises arealet under grafen til f, avgrenset av linjene x = a og x = b.

Eksempel 1:

Vi har funksjonen f(x) = x2 i GeoGebra, og skal beregne $\int\limits_1^2 f(x) \; dx$.

Vi skriver integral(f, 1, 2) i inntastingsfeltet. GeoGebra viser tallverdien til integralet, 2,33, i algebrafeltet, og markerer arealet under grafen til f(x) = x2 i grafikkvinduet:

Illustrasjon av GeoGebra-funksjonen Integral

En variant er kommandoen integralmellom(f, g, a, b) som beregner det bestemte integralet av differansen mellom f og g, altså arealet mellom grafen til f og g, avgrenset av linjene x = a og x = b. Dette er illustrert under for f(x) = x + 1 (blå graf), g(x) = x2 – 2x + 1 (grønn graf), a = 1 og b = 2.

Illustrasjon av GeoGebra-funksjonen IntegralMellom

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 3:

  1. Bruk GeoGebra til å finne arealet under grafen til f(x) = x2 avgrenset av linjene x = 0 og x = 2.
     
  2. Bruk GeoGebra til å finne arealet mellom grafen til g(x) = x + 1 og f(x) = x2.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Bestemt integral som sum av rektangler

I undervisningssammenheng illustrerer en gjerne et bestemt integral som en sum av arealene til rektangler som ligger inntil grafen. GeoGebra tilbyr to funksjoner som illustrerer dette:

sumover(f, a, b, n)) deler opp arealet under f avgrenset av a og b i n rektangler der rektanglenes øvre høyre hjørne ligger på grafen.

sumunder(f, a, b, n) er tilsvarende, men det er rektanglenes øvre venstre hjørne som ligger på grafen.

Dette er illustrert under for f(x) = x2, a = 0, b = 2, n = 6.

Illustrasjon av GeoGebra funksjonen sumover Illustrasjon av GeoGebra funksjonen sumunder
sumover(f, 0, 2, 6) sumunder(f, 0, 2, 6)

Kombinert med en glider vil vi kunne illustrere hvordan oppdeling i stadig mindre rektangler fører til at rektanglenes areal nærmer seg et bestemt integral. sumover fra oversiden og sumunder fra undersiden.

Oppgave 4:

  1. Bruk GeoGebra til å finne oversum og undersum for f(x) = x2 med 10 rektangler mellom x = 0 og x = 2.
     
  2. Utvid det du laget i punkt 1 med en glider slik at du kan variere mellom 1 og 100 rektangler.
     
  3. Sammenlign oversummen og undersummen med $\int\limits_0^2 f(x) \, dx$.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Derivasjon med GeoGebra

Kommandoer for derivasjon

GeoGebra har kommandoer for å derivere en funksjon en eller flere ganger:

Derivert: derivert(f) eller f′(x).

Andrederivert: derivert(f, 2) eller f′′(x).

Tredjederivert: derivert(f, 3) eller f′′′(x).

n′te-derivert: derivert(f, n) eller fn apostrofer(x) der n er et positivt helt tall.

Her er f navnet på funksjonen vi skal derivere, og x navnet på den uavhengige variabelen.

GeoGebra viser funksjonsforskriften til den deriverte i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å finne første- og fjerdederiverte til funksjonen
f(x) = 3x5 + 2x4 − 3x3 − x2 + 2x − 1.

Se løsningsforslag

GeoGebra følger dessverre ikke konvensjonen med å sette inn et tall for å angi deriverte av høyere orden enn 3, for eksempel f(4)(x) for den fjerdederiverte til f(x). I stedet fylles bare på med apostrofer. Dette blir litt uoversiktlig.

Illustrere definisjonen av den deriverte

Vi skal gjennom et par eksempler vise hvordan vi kan bruke GeoGebra til å illustrere definisjonen av den deriverte grafisk. Eksemplene går i flere trinn, der vi i ett trinn gjerne refererer til navn GeoGebra har opprettet i tidligere trinn. Hvis GeoGebra da har valgt et annet navn enn det som angis i beskrivelsen, må kommandoer justeres i forhold til dette.

Eksempel 1:

Vi skal bruke stigningstallet til en funksjons tangent til å skissere funksjonens deriverte.

Vi velger – nokså tilfeldig – funksjonen f(x) = x3 + 4x2 − 2.

Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^3 + 4x^2 – 2.

GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.

Vi setter inn et punkt på grafen ved å velge «Nytt punkt» fra denne menyen:
Meny for å sette inn punkter

Vi klikker et vilkårlig sted på grafen.

GeoGebra setter inn et punkt, A, som glir langs grafen når vi drar i det.

Vi setter inn en tangent til grafen i punktet A ved å velge «Tangenter» fra denne menyen:
Meny for å sette inn spesiallinjer

Vi klikker så på punktet A, deretter på grafen.

GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet A.

Vi setter inn stigningstall for tangenten ved å velge «Stigning» fra denne menyen:
Meny for diverse egenskaper

Vi klikker så på tangenten.

GeoGebra viser stigningstallet til tangenten grafisk i grafikkfeltet og oppgir tallverdien i algebrafeltet under navnet a.

Vi lager et punkt som ligger på x-aksen under punktet A ved å skrive (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som A, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under A. GeoGebra setter inn et punkt, B, på dette stedet. Punktet B flytter seg langs x-aksen når vi drar i A.

Vi endrer y-koordinaten til punktet B, slik at det i stedet for 0 har en verdi som er lik stigningstallet til tangenten. Det gjør ved å klikke på Bi grafikkfeltet eller algebrafeltet, høyreklikke og så endre «Definisjon» under fanen «Basis» i menyen som kommer opp. Vi overskriver 0 med a, som altså er stigningstallet til tangenten:

Endre navn på punkt

GeoGebra endrer definisjonen av punktet B til (x(A), a).

Vi setter sporing på punktet B ved å høyreklikke på B og velge «Slå på sporing».

Vi har nå et verktøy til å illustrere at den deriverte til en funksjon har samme verdi som tangenten til funksjonen. Når vi drar i punktet A, slik at det følger grafen til f(x), vil B tegne opp kurven til f′(x).

GeoGebra-filLast ned GeoGebra-fil med eksempel 1
 

SkjermfilmSe film som illustrerer eksempel 1

 
Filmen illustrerer i tillegg funksjonene f(x) = sin x og f(x) = ex.

Eksempel 2:

Vi skal illustrere definisjonen av den deriverte:

$f′(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\displaystyle f(x + \Delta x) − f(x)}{\displaystyle \Delta x}$

ved å lage en sekant som går gjennom punktene A: (a, f(a)) og B: (a + Δx, f(a + Δx)) og se at stigningstallet til denne nærmer seg stigningstallet til tangenten i A når A og B nærmer seg hverandre, altså når Δx går mot null.

Vi velger, nokså tilfeldig, funksjonen f(x) = x2 + 1.

Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^2 + 1.

GeoGebra viser funksjonsforskriften i algebrafeltet og tegner grafen i grafikkfeltet.

Vi setter inn to punkter på grafen ved å velge «Nytt punkt» fra denne menyen:
Meny for å sette inn punkter

Vi klikker så på to vilkårlige steder på grafen.

GeoGebra setter inn to punkter, A og B, som glir langs grafen når vi drar i dem.

Vi setter inn en sekant som går gjennom punktene ved å velge «Linje gjennom to punkt» fra denne menyen:
Meny for å sette inn linjer

Vi klikker så på de to punktene A og B.

Vi lager et punkt som ligger på x-aksen rett under A ved å skrive (x(A), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som A, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under A.

GeoGebra setter inn et punkt, C, med disse koordinatene.

Vi lager et punkt som ligger på x-aksen rett under B ved å skrive (x(B), 0) i inntastingsfeltet. Dette punktet har samme x-koordinat som B, og y-koordinat 0. Det vil altså alltid ligge på x-aksen like under B. 

GeoGebra setter inn et punkt, D, med disse koordinatene.

Vi illustrerer at punktene A og C og punktene B og D henger sammen ved å trekke linjer mellom dem ved å velge «Linjestykke mellom to punkt» fra denne menyen:
Meny for å sette inn linjer

Vi klikker så på punktene A og C og deretter på punktene B og D.

Vi skal la punktet C hete a, og punktet B hete a + Δx.

Det kan være vanskelig å få til navnet a + Δx skikkelig bare ved å endre i Innstillinger-dialogboksen. Så i stedet lager vi to tekstbiter og lenker til punktene.

Vi velger «Tekst» fra denne menyen:
Meny for å sette inn tekst

Vi klikker i grafikkfeltet og skriver a i dialogboksen som kommer opp. Vi krysser av for «LaTeX-formel» og klikker «OK».

GeoGebra setter inn teksten a.

Vi gjør tilsvarende for a + Δx. Symbolet Δ finner vi under menyen «Symbol»:

Sette inn spesialsymboler

Alternativt kan vi skrive LaTeX-koden direkte: a + \Delta x.

Vi høyreklikker på a, velger «Egenskaper» og velger «C» under «Posisjon»:

Meny for å velge posisjon

GeoGebra lenker teksten A til punktet C og flytter teksten ned til C.

Vi gjør tilsvarende for a + Δx og D.

Vi skrur av visning av navnene C og D ved å høyreklikke på navnene i algebrafeltet og skru av «Vis navn».

Vi setter inn en tangent til grafen i punktet A ved å velge «Tangenter» fra denne menyen:
Meny for å sette inn spesiallinjer

Vi klikker så på punktet A, deretter på grafen.

GeoGebra setter inn en tangent til grafen i punktet A.

Vi setter inn stigningstall for sekanten og tangenten ved å velge «Stigning» fra denne menyen:
Meny for diverse egenskaper

Vi klikker på sekanten og på tangenten.

GeoGebra setter inn stigningstallet til sekanten og til tangenten.

Vi har nå et verktøy til å illustrere at den gjennomsnittlige stigningen mellom punktene A og B nærmer seg stigningen til tangenten i A når B nærmer seg A.

GeoGebra-filLast ned GeoGebra-fil med eksempel 2
 

SkjermfilmSe film som illustrerer eksempel 2

Filmen inneholder i tillegg litt kosmetiske detaljer som ikke er tatt med i tekstbeskrivelsen.

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Delt funksjonsforskrift i GeoGebra

GeoGebra kan håndtere delte funksjonsforskrifter ved hjelp av kommandoen dersom.

Ett kriterium

I sin enkleste form tar dersom to argumenter, atskilt med komma. Ett som angir et kriterium for x-verdier og ett som angir funksjonsverdien når kriteriet er oppfylt.

Eksempel 1:

Vi skriver dersom(x > 1, 2x) i inntastingsfeltet. GeoGebra oppretter en funksjon, f(x), som har verdien 2x når x > 1, ellers er den udefinert. Plottet ser slik ut:
 

Skriver vi f(2) i inntastingsfeltet, svarer GeoGebra med 4, skriver vi f(0), svarer GeoGebra at funksjonen er udefinert.

Vi kan også bruke dersom med tre argumenter. I tillegg til kriteriet for x-verdier og funksjonsverdien når kriteriet er oppfylt, angir vi også funksjonsverdien når kriteriet ikke er oppfylt.

Eksempel 2:

Vi skriver dersom(x > 1, 2x, x) i inntastingsfeltet. GeoGebra oppretter en funksjon, f(x), som har verdien 2x når x > 1, og verdien x ellers. Plottet ser slik ut:

Skriver vi nå f(2) i inntastingsfeltet, svarer GeoGebra fremdeles med 4, men skriver vi f(0), svarer GeoGebra med 0.

Oppgave 1:

Bruk kommandoen dersom i GeoGebra til å plotte funksjonen under:

$f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{for } x < 1 \\ 2x+1 & \text{for } x \ge 1 \\ \end{cases}$

Se løsningsforslag

Flere kriterier

Vi kan godt ha mer enn to betingelser i en delt funksjonsforskrift, da fyller vi bare på med kriterier og funksjonsverdier, atskilt med komma.

Eksempel 3:

Vi skal bruke GeoGebra til å plotte funksjonen under:

$f(x) = \begin{cases} x & \text{for } x < 1 \\ 2x & \text{for } 1 \le x < 2 \\ 3x & \text{for } 2 \le x \\ \end{cases}$

Vi skriver dersom(x < 1, x, 1 <= x < 2, 2x, 3x) i inntastingsfeltet, og får et plott som ser slik ut:

 

Oppgave 2:

Bruk kommandoen dersom i GeoGebra til å plotte funksjonen under:

$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{for } x < 1 \\ 2 & \text{for } 1 \le x < 2 \\ 3 & \text{for }2 \le x \\ \end{cases}$

Se løsningsforslag

I oppgave 2 har vi sagt at funksjonsverdien skal være 1 for alle x < 1, også negative verdier. Men la oss nå si at vi ønsker at funksjonen bare skal være definert for positive x, slik at første kriterium blir 0 < x < 1:

$f(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1 \\ 2, & 1 \le x < 2 \\ 3, & 2 \le x \\ \end{cases}$

Skriver vi dette inn i GeoGebra slik: dersom(0 < x < 1, 1, 1 ≤ x < 2, 2, 3) , får vi plottet vist under:

Plott av delt funksjonsforskrift med tre verdier, negative verdier med

Ikke helt hva vi ventet kanskje, nå har vi fått en funksjonsverdi på 3 når x ≤ 0 i stedet for at funksjonen er udefinert. Årsaken er at vi egentlig ikke har lagt inn kriteriet for 2 ≤ x, det ligger bare som «ellers». Og inn i «ellers» faller også x ≤ 0, siden vi bare har spesifisert verdier for 0 < x < 1 og 1 ≤ x < 2. Problemet unngår vi ved å legge inn et tredje kriterium der vi spesifiserer at verdien 3 bare skal gjelde for 2 ≤ x. Vi skriver: dersom(0 < x < 1, 1, 1 ≤ x < 2, 2, 2 ≤ x, 3), og får plottet under:

Plott av delt funksjonsforskrift med tre verdier, negative verdier ekskludert

GeoGebra-filLast ned GeoGebra-fil med alle grafer fra temaet

Kilder

Publisert

Funksjonsanalyse med GeoGebra

I denne artikkelen skal vi se hvordan vi kan bruke GeoGebra til å lage grafer og punkter, finne funksjonsverdier, skjæringspunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og asymptoter, samt lage verditabeller og bruke glidere.

Eksempel 1:

Vi skal studere funksjonen f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1. Vi starter med å skrive inn funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. Potenser angis med en hatt (^), så det blir
x^4 + 6x^3 + 7x^2 – 5x – 1. Grafen kommer opp i grafikkfeltet mens vi skriver, og når vi trykker på linjeskift-tasten, kommer funksjonsforskriften opp i algebrafeltet:

Graf til en fjerdegradsfunksjon i GeoGebra

Det kan være at vi må justere på akseverdiene for å få bildet slik som vist i eksempel 1. For å justere på akseverdiene åpner vi innstillinger-dialogboksen ved å velge «Rediger» – «Egenskaper», klikker på trekantsymbolet, og velger min- og maksverdier for x og y. I bildet over er «x-min» = -6, «x-max» = 3, «y-min» = -8, «y-max» = 10. (I stedet for å velge fra hovedmenyen kan vi også få opp innstillinger-dialogboksen ved å høyreklikke i grafikkfeltet eller på funksjonsforskriften i algebrafeltet og velge «Egenskaper»).

Punkter

Det finnes flere måter å lage punkter på, beskrevet i brukermanualen. Her skal vi lage punkter ved å skrive inn koordinatene, (x, y), i inntastingsfeltet, for eksempel (2, 3) eller (-2, 1). Punktene dukker opp både i algebrafeltet og i grafikkfeltet, og gis navn fortløpende med store bokstaver, A, B, C, etc. Vi kan også gi punktene egne navn, da skriver vi navnet og et likhetstegn foran koordinatene, for eksempel Origo = (0, 0). Et punktnavn kan altså bestå av flere bokstaver. NB! Første bokstav i navnet må være stor (versal), ellers blir punktet tolket som en vektor.

Funksjonsverdier

Med funksjonsverdien mener vi den verdien en funksjon gir ut når vi putter inn en gitt x-verdi. For å finne en funksjonsverdi, skriver vi funksjonsnavnet med den ønskede x-verdien i parentes i inntastingsfeltet. Har vi lagt inn en funksjon, f(x), finner vi for eksempel verdien til f i x = 1 ved å skrive f(1). Funksjonsverdien kommer opp i algebrafeltet, med navnet a. Navnene tildeles fortløpende på samme måte som for punkter, a, b, c, etc., men kan også gis egne navn på samme måte, for eksempel start = f(0). Vi kan fritt bruke både store og små bokstaver.

Basert på x-verdien og den tilhørende funksjonsverdien kan vi lage punkter på grafen til f(x). Har vi for eksempel funnet to funksjonsverdier, a = f(1) og b = f(−1), skriver vi (1, a) og (-1, b) i inntastingsfeltet.

Vi kan også lage et punkt på grafen uten å finne funksjonsverdien eksplisitt først. Vil vi for eksempel lage et punkt på grafen der x-verdien er −2, skriver vi (-2, f(-2)).

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen g(x) = x3 − 4x + 2, og plott punktene på grafen som har x-verdi −1 og 1. Kall punktene A og B.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

NB! I den løsningen som vises på filmen heter funksjonen z(x). Nå godtar ikke lenger GeoGebra z som funksjonsnavn, så oppgaven spør derfor etter g(x). Når du ser filmen, må du bare derfor huske å skrive g alle steder filmen sier z.

Skjæringspunkter

Med GeoGebra kan vi finne skjæringspunktene mellom to kurver, eller mellom en kurve og aksene. En enkel måte å gjøre det på er å velge «Skjæring mellom to objekt» fra menyen som vist under.

Menyvalg for å finne skjæring mellom to punkter i GeoGebra

Deretter klikker vi på kurvene/aksene vi vil finne skjæringspunktene mellom. Bildet under viser skjæringspunktene mellom
f(x) = x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 og x-aksen.

Skjæring mellom graf og x-akse i GeoGebra

Disse punktene representerer de fire løsningene til fjerdegradslikningen
 x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 = 0.

Ekstremalpunkter, nullpunkter og vendepunkter

Med GeoGebra kan vi finne en funksjons ekstremalpunkter, det vi si maksimums- og minimumspunkter, nullpunkter og vendepunkter.

I det følgende forutsetter vi at funksjonen f(x) er en polynomfunksjon. GeoGebra har mulighet for å finne ekstremalpunkter og nullpunkter til andre funksjonstyper også, men kommandoene krever flere parametere, og vi går ikke inn på det her. Sjekk i brukermanualen. Vendepunkter kan vi bare finne i polynomfunksjoner.

Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive ekstremalpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel ekstremalpunkt(f).

Nullpunktene finner vi ved å skrive nullpunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel nullpunkt(f). Nullpunktene er de samme som vi finner ved å be om skjæringspunktene mellom kurven og x-aksen.

Vendepunktene finner vi ved å skrive vendepunkt i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel vendepunkt(f).

Oppgave 2:

Ta utgangspunkt i funksjonen f(x) = x3 + 2x2 − x − 2.

        1. Bruk GeoGebra til å finne ekstremalpunktene til funksjonen.
           
        2. Bruk GeoGebra til å finne funksjonens vendepunkt.
           
        3. Bruk GeoGebra til å løse likningen x3 + 2x2 − x − 2 = 0.

Se løsningsforslag

​Asymptoter

GeoGebra kan finne både horisontale, vertikale og skrå asymptoter. For å finne asymptotene til en funksjon skriver vi asymptote i inntastingsfeltet etterfulgt av funksjonsnavnet i parentes, for eksempel asymptote(f).

Asymptotene presenteres i form av ei liste. Hvis en funksjon ikke har noen asymptoter, er lista tom.

Oppgave 3:

Finn eventuelle asymptoter til funksjonene

        1. $f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 4}$
           
        2. $g(x) = x^2 + 3x − 2$

Se løsningsforslag

Lage verditabell

Ønsker vi å lage mange punkter langs en graf, er det tungvint å skrive inn x-verdiene én og én slik vi gjorde tidligere. Mye mer effektivt er det å bruke regneark-funksjonen til å generere en mengde punkter automatisk. Hvordan dette gjøres, er det lettest å vise ved hjelp av en film.

SkjermfilmSe film om å lage verditabell
 

Oppgave 4:

Tegn grafen til f(x) = x3 − 4x + 2 og bruk verditabell til å plotte punkter på grafen med x-verdier fra −2 til 2 i sprang på 0,2.

Det er ikke laget eget løsningsforslag til denne oppgaven, men den er nesten helt lik det som vises i filmen om å lage verditabell, så bruk filmen til hjelp.

Bruke glidere

Av og til ønsker vi å se hvordan grafen til en funksjon endrer seg når en konstant endrer seg. For eksempel studere hvordan stigningen til grafen til f(x) = ax + b endrer seg når a endrer seg, og hvordan skjæringspunktet med y-aksen endrer seg når b endrer seg.

Til det kan vi bruke glidere. En glider som heter a er vist under. I GeoGebra kan vi klikke på prikken og dra den mot høyre for å øke verdien til a, og mot venstre for å redusere verdien til a.

Glider i GeoGebra

For å sette inn en glider, velger vi fra menyen som vist under:

Velge glider fra menyen i GeoGebra

Deretter klikker vi på stedet i grafikkfeltet der vi vil ha glideren.
Vi får opp en dialogboks som vist under:

Dialogboks for å angi glider-data

Det viktigste her er å velge riktig navn. GeoGebra foreslår a som navn på første glider, b som navn på andre og så videre. Dette navnet må samsvare med parameteren vi skal undersøke. Dersom vi for eksempel skal undersøke k i funksjonen f(x) = kx2, må glideren hete k.

Når vi har valgt navn, må vi velge intervall, det vil si hvilket tallområde glideren skal dekke. I dialogboksen over er «Min» = -5 og «Maks» = 5, det betyr at glideren dekker intervallet [−5, 5]. Når den står helt til venstre, har den verdi −5, og når den står helt til høyre har den verdi 5.

Vi kan også velge animasjonstrinn, det vil si hvor mye verdien endrer seg når vi drar i glideren. I dialogboksen over er animasjonstrinnet «0.1», det vil si at hvis glideren står helt til venstre og vi drar den mot høyre, vil verdiene bli −5,0, −4,9, −4,8, … , 5.0.

Oppgave 5:

Bruk glidere i GeoGebra til å studere hvordan forskjellige valg av n påvirker grafen til funksjonen f(x) = xn. La n variere mellom hele tall fra 0 til 10.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Oppgave 6:

I et fysikkforsøk varmer en gruppe elever opp vann til det koker, mens de måler temperaturen hvert minutt. Temperaturen stiger en stund lineært med tida, men stopper på 100 grader.

I perioden mellom 10 og 14 minutter måler de følgende:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Legg målingene inn som punkter i GeoGebra, og bruk glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon, f(t), som kan brukes som modell for forsøket. La gliderne angi hele tall. (Du skal altså finne forskriften at + b for ei rett linje som går nærmest mulig målepunktene, der a og b er hele tall, og t er tida).

        1. Hvilken funksjonsforskrift fant du?
           
        2. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvilken temperatur vannet hadde da forsøket startet.
           
        3. Bruk funksjonsforskriften til å anslå hvor mye temperaturen stiger per minutt.
           
        4. Kan funksjonsforskriften brukes til å anslå hvilken temperatur vannet vil ha etter 30 minutter?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
    • Gulliksen, T. & Hole, A. (2010). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Introduksjon til GeoGebra

Hva er GeoGebra?

GeoGebra er et dataprogram med mye funksjonalitet som er nyttig når vi arbeider med funksjoner. GeoGebra finnes for både Windows, Mac og Linux, og kan lastes ned fra Norsk GeoGebra-institutt. Her finnes også brukermanualer.

GeoGebra videreutvikles stadig, utseendet kan endre seg og menyer forandres. Det er derfor mulig at den versjonen av GeoGebra du kjører, ikke er nøyaktig slik det beskrives på dette nettstedet. Vi bruker en variant av versjon 5. GeoGebra er kommet i versjon 6, men det rapporteres imidlertid om en del feil, og flere som har prøvd ut den nye versjonen har gått tilbake til å bruke versjon 5. 

I GeoGebra kan vi velge mellom mange menyspråk. Når vi her refererer til menynavn, mener vi de navnene som gjelder når språket er satt til «Norwegian/Bokmål». Språk velges under «Innstillinger» – «Språk». Også funksjonsnavn endrer seg med språkvalg. Funksjonen som heter regnut på bokmål, for eksempel, heter reknut på nynorsk og expand på engelsk.

Hovedfelt

Når GeoGebra starter, må vi velge oppsett. I artiklene på dette nettstedet bruker vi alltid «Algebra og grafikk»:

Valg av GeoGebra-oppsett

Når vi har valgt «Algebra og grafikk», kommer GeoGebra opp i et vindu som vist under. Hoveddelene er «Meny», «Grafikkfelt», «Algebrafelt» og «Inntastingsfelt». Disse begrepene blir det referert til senere uten ytterlige forklaringer.

Hovedfelt i GeoGebra

Det finnes imidlertid flere felt, vi nevner et grafikkfelt nummer 2, et 3D-grafikkfelt, og CAS, som står for Computer Algebra System og brukes til symbolske beregninger. Enda flere muligheter finnes. Disse feltene kan vi skru av og på fra «Vis»-menyen:

Meny for å velge hvilke felt som skal vises i GeoGebra

Det er en dynamisk sammenheng mellom grafikkfeltet, inntastingsfeltet og algebrafeltet. Setter vi inn et punkt i grafikkfeltet, kommer koordinatene opp i algebrafeltet. Skriver vi koordinatene til et punkt i inntastingsfeltet, kommer koordinatene opp i algebrafeltet og punktet vises i grafikkfeltet når vi trykker linjeskift-tasten. (<enter>)

I bildet under har vi valgt «Nytt punkt» ved å klikke på menyen som viser en A og en prikk, og deretter i (2, 3) i grafikkfeltet. GeoGebra har så satt inn et punkt, A, i grafikkfeltet og viser koordinatene i algebrafeltet.

Vi har så skrevet (1, 1) i inntastingsfeltet. GeoGebra har satt inn et punkt, B, i grafikkfeltet og viser koordinatene i algebrafelte.

GeoGebra navngir, som vi ser, objektene fortløpende alfabetisk. Men vi kan overstyre dette. Skriver vi for eksempel G = (-2, 2), oppretter GeoGebra et punkt som heter G i (−2, 2):

Punkter satt inn i GeoGebra

Vi kan også endre navn på et objekt ved å høyreklikke på det og velge «Egenskaper».

Menyer

I utgangspunktet ser ikon-menyen ut som vist under:

Menyen i GeoGebra

Det finnes imidlertid undermenyer for hvert ikon, den får vi fram ved å klikke på den lille pila nede til høyre på ikonet:

Undermenyer i GeoGebra

Når vi velger fra undermenyen, byttes ikonet i verktøylinja ut.

Oppgave 1:

Last ned og installer GeoGebra hvis du ikke allerede har gjort det.

Sett inn et punkt A i (1, 2) og et punkt C i ( 4, 3) ved å skrive i inntastingsfeltet. Trekk så en linje mellom punktene ved å velge «Linjestykke mellom to punkt» fra verktøylinja. Utforsk verktøylinja til du finner det riktige valget.

Se løsningsforslag

Grafer

Når vi skal bruke GeoGebra til å tegne en graf, skriver vi funksjonsforskriften i inntastingsfeltet. GeoGebra viser den tilhørende grafen i grafikkfeltet mens vi skriver. Når vi taster trykker på linjeskift-tasten, avsluttes innskrivingen og GeoGebra viser den ferdige funksjonsforskriften i algebra-feltet.

Hvis vi ikke angir noe funksjonsnavn, kaller GeoGebra funksjonen for f(x). Skriver vi inn flere funksjonsforskrifter, blir funksjonene kalt g(x), h(x), og så videre alfabetisk.

Vil vi ha et annet navn, angir vi det før funksjonsforskriften, for eksempel v(x) = …

Eksempel 1:

Vi vil tegne grafene til funksjonene

        1. f(x) = 2x2
           
        2. g(x) = −x
           
        3. v(x) = 4x3

Da skriver vi følgende i inntastingsfeltet:

        1. 2x^2
           
        2.  -x
           
        3.  v(x) = 4x^3

For de to første funksjonene var det ikke nødvendig å angi funksjonsnavnet, men det krevdes for den siste, ellers ville navnet blitt h(x).

Vi ser at vi bruker en hatt (^) for å angi «opphøyd i».

Vær oppmerksom på at desimalskilletegn i GeoGebra er punktum, ikke komma. For å skrive for eksempel tallet 2,3, skriver vi 2.3, ikke 2,3. Skriver vi feil, får vi meldingen «Ulovlig argument». Komma brukes til å skille ting fra hverandre, for eksempel verdier i ei liste.

I utgangspunktet tegner GeoGebra grafene med svart, men det kan vi endre i Innstillinger-dialogboksen. Den får vi blant annet fram ved å velge «Rediger» – «Egenskaper».

For å endre farger klikker vi på fanen «Farge». Så klikker vi på navnet til funksjonen, og velger en farge fra paletten. I bildet under har vi gjort grafen til f(x) rød, g(x) blå og v(x) grønn.

Valg av farge til grafer i GeoGebra

Under fanen «Basis» kan vi endre funksjonsnavet og funksjonsforskriften og litt til.

Vi kan zoome og panorere ved å benytte undermenyene på knappen med krysset til høyre på menylinja. Vi henviser til brukermanualen for mer informasjon. Vi kan imidlertid også endre akseenhetene direkte ved å klikke på trekantsymbolet i Innstillinger-dialogboksen:

Valg av akseenheter i GeoGebra

I utgangspunktet er det ingen begrensninger i valget av x-verdier, men vi kan begrense x til et gitt intervall ved å bruke kommandoen «Funksjon», etterfulgt av funksjonsforskriften og start og sluttverdien på intervallet mellom hakeparenteser, atskilt med komma.

Eksempel 2:

Vi skal bruke GeoGebra til å tegne grafen til f(x) = −2x2 + 5x + 2, innenfor intervallet [0, 3].

Da skriver vi i inntastingsfeltet: funksjon(-2x^2 + 5x + 2, 0, 3)

Når vi bruker funksjon, godtar ikke GeoGebra at vi angir et eget funksjonsnavn. Det må vi i så fall endre senere i Innstillinger-dialogboksen.

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å tegne grafen til f(x) = 4x3 − 48x2 + 144x, innenfor intervallet [0, 6]. Juster deretter enhetene på aksene slik at hele grafen får plass i grafikkfeltet.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
Publisert

Induksjonsbevis

Et induksjonsbevis brukes typisk i forbindelse med påstander om heltall, og går i to trinn. Vi tar utgangspunkt i en påstand, U(n), som gjelder for alle n ≥ n0. 

I trinn 1 etablerer vi induksjonsgrunnlaget, det vil si at vi fastslår at U(n) er sann for startverdien n0. 

Trinn 2 kalles induksjonstrinnet, her viser vi at hvis U(n) er sann, er U(n+1) sann. 

Av trinn 2 følger da videre at hvis U(n+1) er sann, er U((n+1)+1) = U(n+2) sann, hvis U(n+2) er sann, er U((n+2)+1) = U(n+3) sann, og så videre. Denne logikken kan vi følge videre mot uendelig, og påstanden er derfor bevist for alle n ≥ n0. 

Eksempel 1:

Vi skal bevise at summen av alle hele tall fra og med 1 til og med n er lik $\frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2}$.

For eksempel er $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = \frac{\displaystyle 10(10 + 1)}{\displaystyle 2} = 55$

I trinn 1 viser vi da at påstanden er riktig for n0 = 1, det vil si at summen av tallene fra og med 1 til og med 1 er 1. Og formelen gir $\frac{\displaystyle 1(1 + 1)}{\displaystyle 2} = 1$, så påstanden er riktig for n0 = 1.

Formelen vi skal bevise sier at hvis

$1 + 2 + 3 + \cdots + {\color{brown}n} = \frac{\displaystyle {\color{brown}n}({\color{brown}n} + 1)}{\displaystyle 2}$

er

$1 + 2 + 3 + \cdots + n + ({\color{brown}{n + 1}}) = \frac{\displaystyle {(\color{brown}{n + 1}})\big(({\color{brown}{n + 1}}) + 1\big)}{\displaystyle 2}$

(For å tydeliggjøre har vi markert siste ledd i rekka med brunt.)

Regner vi ut telleren i brøken, ser vi at den blir

$\frac{\displaystyle (n + 1)(n + 2)}{\displaystyle 2}$

I trinn 2 skal vi vise at dette er riktig. Vi har altså

$1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2}$

Vi adderer et nytt ledd på begge sider av likhetstegnet:

$1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1) = \frac{\displaystyle n(n + 1)}{\displaystyle 2} + (n + 1)$

Vi skriver uttrykket på høyre side som en enkelt brøk:

$\frac{\displaystyle n(n + 1) + 2(n + 1)}{\displaystyle 2}$

Vi regner ut parenteser og trekker sammen like ledd:

$\frac{\displaystyle n^2 + 3n + 2}{\displaystyle 2}$

Til slutt faktoriserer vi andregradsuttrykket:

$\frac{\displaystyle(n + 1)(n + 2)}{\displaystyle 2}$

Som er det uttrykket formelen sa vi skulle få. Når formelen er gyldig for n, er den altså gyldig for n + 1. Siden vi i trinn 1 viste at formelen var gyldig for n = 1, er den følgelig gyldig for n + 1 = 2, og siden den er gyldig for n = 2 er den gyldig for n = 2 + 1 = 3, og så videre mot uendelig.

Oppgave 1:

Bevis at

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

for alle n ≥ 1.

Se løsningsforslag

Kilder

Publisert

Bevis ved selvmotsigelse

I et bevis ved selvmotsigelse antar vi at det motsatte av det vi skal bevise er riktig, og demonstrerer at dette fører til en selvmotsigelse. Denne prosessen kalles også «reductio ad absurdum».

Eksempel 1:

Påstand: Det finnes uendelig mange primtall.

For å bevise dette, tar vi for oss den motsatte påstanden, nemlig at det finnes et endelig antall primtall. La oss kalle dette antallet for r. Primtallene selv kaller vi p1, p2, p3, … , pr. Her er p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, og så videre oppigjennom lista med primtall.

La oss så kalle tallet vi får når vi multipliserer disse primtallene for A. Da vil A være delelig med samtlige av disse primtallene, for vi har jo at A = p1 · p2 · p3 · … · pr. Men A+1 vil ikke være delelig med noen av dem.

A+1 trenger ikke være et primtall. Men er A+1 et sammensatt tall, må faktorene være noen andre enn p1, p2, p3, … , pr, for vi vet jo at A+1 ikke er delelig med noen av disse. Så uansett om A+1 er primtall eller sammensatt, har vi vist at det må finnes mer enn r primtall.

Utgangspunktet vårt, påstanden om at det finnes uendelig mange primtall, må derfor være riktig.

Eksempel 2:

Vi skal bevise at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall, det vil si at det ikke finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$.

Vi tar da utgangspunkt i det motsatte, nemlig at det faktisk finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$.

Vi forutsetter videre at brøken ${\large \frac{a}{b}}$ er forkortet så langt det går. Dette er et viktig poeng, for i det følgende vil vi vise at hvis ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$, må både a og b være partall, derved er ikke brøken forkortet så langt det går, og vi har fått en selvmotsigelse.

Vi starter med å skrive uttrykket ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$ om litt:

${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2} \, \Rightarrow \, \Big({\large \frac{a}{b}}\Big)^2 = 2 \, \Rightarrow \, a^2 = 2b^2$

2b2 er et partall, siden 2 er en faktor. Og a2 er jo samme tall, så a2 er et partall. Når kvadratet av et tall er et partall, er tallet selv også et partall, for alle kvadrater av oddetall er oddetall. a er altså et partall.

Siden a er et partall, kan det skrives på formen 2n, der n er et helt tall. Så a2 = 2b2 kan skrives som (2n)2 = 2b2 ⇒ 4n2 = 2b2 ⇒ 2n2 = b2. Så vi ser at b2 også må være et partall, og følgelig at b er et partall.

Siden både a og b er partall, betyr det at brøken ${\large \frac{a}{b}}$ ikke er forkortet så langt det går, noe som motsier forutsetningen vår, og påstanden om at det finnes hele tall, a og b, slik at ${\large \frac{a}{b}} = \sqrt{2}$ er ikke riktig. Utgangspunktet vårt, påstanden om at $\sqrt{2}$ er et irrasjonalt tall, må derfor være riktig.

Eksempel 3:

Påstand: Det finnes ingen hele, positive tall, a og b, slik at a2 − b2 = 10.

Bevis: Vi antar det motsatte, at det faktisk finne to slike tall, og viser at dette fører til en selvmotsigelse.

Vi starter med å bruke konjugatsetningen baklengs på venstre side, og får
(a + b)(a − b) = 10.

10 kan skrives som produktet 5 · 2. Setter vi dette inn i likningen over, får vi

(a + b)(a − b) = (5)(2) = 10.

Vi må altså ha
a + b = 5
a − b = 2

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 7, det vil si at a = 3,5.

a er altså ikke et helt tall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at både a og b skulle være hele tall.

10 kan også skrives som produktet 10 · 1. Da får vi

(a + b)(a − b) = (10)(1) = 10.

Vi må altså ha
a + b = 10
a − b = 1

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 11, det vil si at a = 5,5.

a er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

10 kan ikke skrives som et produkt av positive heltall på noen andre måter, og påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

I eksempel 3 benyttet vi også prinsippet fra et uttømmende bevis. Det fantes to måter å skrive 10 som et produkt av heltall på, og vi tok for oss begge to.

Oppgave 1:

Finn feilen i følgende resonnement:

Vi påstår at det ikke finnes hele, positive tall, a og b, slik at a2 − b2 = 12.

Som bevis bruker vi selvmotsigelse:

12 kan skrives som produktet 4 · 3. Da har vi

(a + b)(a − b) = (4)(3) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 4
a − b = 3

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 7, det vil si at a = 3,5.

a er altså ikke et heltall, noe som er en selvmotsigelse siden vi i utgangspunktet forutsatte at både a og b skulle være heltall.

12 kan også skrives som produktet 12 · 1. Da har vi

(a + b)(a − b) = (12)(1) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 12
a − b = 1

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 13, det vil si at a = 6,5.

a er heller ikke her et heltall, og vi har igjen en selvmotsigelse.

Påstanden er derved bevist ved selvmotsigelse.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Implikasjon og ekvivalens

Et matematisk resonnement kan gå over mange trinn. For å lenke sammen flere trinn, bruker vi ofte implikasjoner, det vi si påstander av typen «A impliserer (medfører) B». Det vil si at vi hevder at hvis påstand A er riktig, er påstand B riktig.

Eksempel 1:

Alle klærne til Johnny er svarte.

Det betyr at hvis påstand A, «klærne tilhører Johnny», er riktig, impliserer det at påstand B, «klærne er svarte», er riktig.

Implikasjon indikerer vi gjerne med en implikasjonspil. A ⇒ B betyr at påstand A impliserer (medfører) påstand B.

Et mer matematisk eksempel:

Eksempel 2:

x = 2 ⇒ x2 = 4 

Å snu en implikasjon er ikke generelt riktig. At A impliserer B, betyr ikke nødvendigvis at B impliserer A.

Eksempel 3:

«Alle klærne til Johnny er svarte.»

Selv om påstand B, «klærne er svarte», er riktig, behøver ikke påstand A, «klærne tilhører Johnny», være riktig. Klærne kan tilhøre hvem som helst, selv om de er svarte.

Eksempel 4:

Vi snur implikasjonspila i eksempel 2, og får 

x = 2 ⇐ x2 = 4

Dette er ikke riktig. Selv om x2 = 4, trenger ikke x være 2. x kan også være −2.

I noen tilfeller kan imidlertid en implikasjon gå begge veier, slik at vi både har A ⇒ B og B ⇒ A. Dette kaller vi en ekvivalens, og indikerer det med en dobbeltpil: A ⇔ B.

Eksempel 5:

2x = 4 ⇔ x = 2

Generelt er det imidlertid slik at hvis A impliserer B, og B er uriktig, vil A være uriktig. I matematisk notasjon uttrykker vi det slik: Hvis A ⇒ B, vil B ⇒ A.

Eksempel 6:

«Alle klærne til Johnny er svarte.»

Det betyr at hvis påstand B, «klærne er svarte», er uriktig, medfører det at påstand A, «klærne tilhører Johnny», er uriktig. Er klærne for eksempel rosa, kan vi konkludere med at de ikke tilhører Johnny.

Et vers fra en barnesang illustrerer dette prinsippet glimrende:

«Min hatt, den har tre kanter. Tre kanter har min hatt. Og har den ei tre kanter, så er det ei min hatt».

Til slutt et par matematiske eksempler.

Eksempel 7:

Hvis x = 2 ⇒ x2 = 4, vil x2 ≠ 4 ⇒ x ≠ 2

Eksempel 8:

I eksempel 2 i artikkelen om ugyldige bevis viser vi at påstanden «alle tall på formen 2p − 1 er primtall hvis p er et primtall» er feil.

Uten at vi går inn på beviset, er det imidlertid slik at påstanden «alle tall på formen 2n − 1 er sammensatte tall hvis n er et sammensatt tall» er riktig.

Hvis påstand A, «n er et sammensatt tall», er riktig, medfører det altså at påstand B, «2n − 1 er et sammensatt tall», er riktig.

Når A ⇒ B, vil B ⇒ A. Det vil si at hvis påstanden «2n − 1 er et sammensatt tall» er uriktig, er påstanden «n er et sammensatt tall» uriktig.

At et tall ikke er sammensatt, betyr at det er et primtall. Vi har altså at følgende påstand er riktig: «Hvis 2n − 1 er et primtall, er n et primtall».

En påstand som er bevist, kalles gjerne et teorem, og en påstand som umiddelbart følger av et teorem, kalles en korollar. Vi har altså:

Teorem: Hvis n er et sammensatt tall, er 2n − 1 et sammensatt tall.

Korollar: Hvis 2n − 1 er et primtall, er n et primtall.

Oppgave 1:

Under følger et «bevis» for at 1 = −1. Hva er feilen i dette «beviset»?

$2 − 1 = 2 − 1$
⇓
$2 − 1 = −1 \cdot (1 − 2)$
⇓
$(2 − 1)^2 = (−1)^2 \cdot (1 − 2)^2$
⇓
$(2 − 1)^2 = 1 \cdot (1 − 2)^2$
⇓
$(2 − 1)^2 = (1 − 2)^2$
⇓
$\sqrt{(2 − 1)^2 }= \sqrt{(1 − 2)^2}$
⇓
$2 − 1 = 1 − 2$
⇓
$1 = −1$

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.
Publisert

Dueslagprinsippet

Dueslagprinsippet er en enkel type bevis som går ut på opptelling. Hvis m objekter blir fordelt på n avdelinger, og m > n, vil minst én avdeling inneholde mer enn ett objekt. Hvis det for eksempel er 110 duer i et dueslag med 100 seksjoner, må det finnes seksjoner med mer enn 1 due.

Eksempel 1:

Påstand: Hvis det største antall hår et menneske kan ha på hodet er 150 000, vil det i en by med 200 000 innbyggere finnes noen som har nøyaktig samme antall hår.

Bevis: Siden det er flere hoder (m = 200 000) enn maksimalt antall hår (n = 150 000), sier dueslagprinsippet at det finnes mennesker som har nøyaktig samme antall hår.

Oppgave 1:

Vi graver etter sokker innerst i klesskapet, der det ligger løse sokker av 5 forskjellige varianter. Hvor mange må vi grave fram for å være sikre på å ha 2 like?

Se løsningsforslag

Kilder

    • Nossum, R. (2010). Litt om Matematisk Argumentasjon og Bevis. Kompendium, UiA.