Om delelighet
Når vi dividerer to heltall på hverandre, blir resultatet av og til et heltall, for eksempel er 24 : 8 = 3 og −21 : 3 = −7. Vi sier da at divisjonen går opp. Men resultatet kan også bli et tall med desimaler, for eksempel er 9 : 2 = 4,5. Vi sier da at divisjonen ikke går opp.
Generelt, hvis a og b er vilkårlige heltall, og a : b = t er et heltall, går divisjonen opp, og vi sier at a er delelig med b. Andre måter å si det samme på er at b går opp i a, at b er en divisor i a, eller at b er en faktor i a. I matematisk terminologi skriver vi dette som b | a. Det motsatte, at b ikke går opp i a, skriver vi som b ∤ a.
At divisjonen a : b = t går opp, kan vi tolke som at en blokk med a elementer kan deles opp i t blokker med b elementer i hver.
Vi kan også tolke det slik at hvis vi på ei tallinje legger b etter seg selv t ganger, havner vi i a.
Eksempel 1:
6 : 3 = 2
Det betyr at en blokk med a = 6 elementer kan deles opp i t = 2 blokker med b = 3 elementer i hver:
Legger vi b = 3 etter seg selv t = 2 ganger, havner vi i a = 6:
Eksempel 2:
8 : 2 = 4
Det betyr at en blokk med a = 8 elementer kan deles opp i t = 4 blokker med b = 2 elementer i hver:
Legger vi b = 2 etter seg selv t= 4 ganger, havner vi i a = 8.
Hvis a, b og c er heltall, der c er en faktor i b og b er en faktor i a, er c også en faktor i a.
En annen måte å si det samme på er at hvis a er delelig med b, og b er delelig med c, er a delelig med c.
I matematisk terminologi:
$\fbox{$\text {Hvis } c \mid b \text{ og } b \mid a \text{, vil } c \mid a$}$
Det betyr at hvis a kan deles opp i blokker med b elementer i hver og b kan deles opp i blokker med c elementer i hver, kan a deles opp i blokker med c elementer i hver.
Vi tar med et bevis for denne påstanden. Det er et direkte, algebraisk bevis, det vil si at vi ved manipulasjon av symboler demonstrerer at påstanden er riktig.
Hvis c | b, finnes det et heltall, k, slik at ck = b. Hvis b | a, finnes det et heltall, l, slik at bl = a. Vi har da at a = bl = (ck)l = c(kl). Siden k og l er heltall, er kl heltall. a kan derved skrives som c multiplisert med et heltall, noe som betyr at c | a og påstanden er bevist.
Eksempel 3:
2 er en faktor i 4, og 4 er en faktor i 8, derfor er 2 en faktor i 8. Eller, sagt på en annen måte, 8 er delelig med 4 og 4 er delelig med 2, derfor er 8 delelig med 2. Vi kan illustrere det med blokker slik:
og på ei tallinje slik:
Det er også slik at hvis et heltall, t, er en faktor i et annet, a, er det også en faktor i alle heltallige multipler av a.
En annen måte å si det samme på er at hvis a er delelig med t, er alle heltallige multipler av a også delelige med t.
Eksempel 4:
2 er en faktor i 4, derfor er 2 også en faktor i 8, 12, 16, 20 og så videre. Eller sagt på en annen måte, tallene 8, 12, 16, 20 og så videre er delelige med 4, derfor er de også delelige med 2. Vi kan illustrere det på ei tallinje slik:
Mer generelt er det slik at hvis et heltall, t, er en faktor i to andre heltall, a og b, er det også en faktor i alle summer av heltallige produkter av a og b.
Sagt på en annen måte, hvis heltallene a og b er delelige med heltallet t, er alle summer av heltallige produkter av a og b også delelige med t.
I matematisk terminologi:
$\fbox{$\text {Hvis } t \mid a \text{ og } t \mid b \text{, vil } t \mid (ma + nb)$}$
Her er m og n vilkårlige heltall.
Tallet ma + nb kalles en lineær kombinasjon av a og b. Vi vil derfor referere til denne regelen som «regelen om lineære kombinasjoner».
Eksempel 5:
3 er en faktor i 6 og 9. Da er 3 en faktor i 57, fordi 57 kan skrives som en lineær kombinasjon av 6 og 9.
57 = 2 · 6 + 5 · 9.
7 er en faktor i 14 og 35. Da er 7 en faktor i 259, fordi 259 kan skrives som en lineær kombinasjon av 14 og 35.
259 = (−9) · 14 + 11 · 35.
Oppgave 1:
9 er en faktor i 18 og 27. Begrunn at 9 derfor er en faktor i 63.
Se løsningsforslag
Det er også slik at hvis a, b og c er heltall, der c er en faktor i a, men ikke en faktor i b, er c heller ikke en faktor i a + b.
En annen måte å si det samme på er at hvis a er delelig med c, men b ikke er delelig med c, er a + b ikke delelig med c.
I matematisk terminologi:
$\fbox{$\text {Hvis } c \mid a \text{ men } c \nmid b \text{, vil } c \nmid (a + b)$}$
Beviset for denne påstanden er et såkalt «bevis ved selvmotsigelse», eller «reductio ad absurdum». Vi tar utgangspunkt i det motsatte av det vi skal bevise, nemlig at a + b faktisk er delelig med c. Så demonstrerer vi at dette fører til en selvmotsigelse. Vi kommer fram til at b faktisk er delelig med c, noe som er i strid med den ene av forutsetningene.
Vi antar altså at c | (a + b). Da finnes det et heltall, k, slik at ck = a + b. Siden c | a, vet vi at det finnes et heltall, l, slik at cl = a. Dette kan vi sette sammen til ck = cl + b. Vi flytter cl over til venstre side med fortegnsskifte, og får ck − cl = b. Setter vi c utenfor parentes, får vi c(k − l) = b. Siden k og l er heltall, er k − l heltall. b kan derved skrives som c multiplisert med et heltall, noe som er i strid med en av forutsetningene. Setningen er derved bevist.
c kan allikevel være en faktor i lineære kombinasjoner av a og b.
Eksempel 6:
3 er en faktor i 6, men ikke i 4. 3 kan derfor ikke være en faktor i 10 = 6 + 4. Men 3 er en faktor i 18 = 6 + 3 · 4.
Delelighetsregler
Nå skal vi se på en praktisk anvendelse av regelen om lineære kombinasjoner, nemlig å vise hvordan vi kan utlede regler for om et vilkårlig heltall er delelig med 2, 3, 4, 5 eller 9.
For å begrunne reglene kommer vi til å skrive tallene på utvidet form,
n = am10m + am−110m−1 + … + a110 + a0, som beskrives i artikkelen om tall og tallsystemer. I noen tilfeller bruker vi også tallets tverrsum, som beskrives i samme artikkel.
Toerregelen
Når vi studerer et tall på utvidet form, ser vi at vi multipliserer alle koeffisientene unntatt a0 med potenser av 10. Setter vi 10 utenfor parentes, får vi følgende uttrykk for et tall på utvidet form:
n = (am 10m−1+ am−1 10m−2+ … + a1)10 + a0
Vi trenger ikke bry oss med alle detaljene inni parentesen, så for enkelhets skyld kaller vi hele dette uttrykket for b:
n = 10b + a0
Vi vet at 10 er delelig med 2, følgelig er alle multipler av 10 også er delelige med 2. Det vil si at 10b er delelig med 2, uavhengig av verdien til b. Hvis nå a0 også er delelig med 2, sier regelen om lineære kombinasjoner at n også er delelig med 2. Siden koeffisienten a0 representerer siste siffer i tallet n, følger toerregelen:
$\fbox{Tall er delelige med 2 når siste siffer er delelig med 2}$
Eksempel 7:
336 er delelig med 2 fordi 6 er delelig med 2.
227 er ikke delelig med 2 fordi 7 ikke er delelig med 2.
Femmerregelen
Samme argument, basert på at 10 er delelig med 5, fører til femmerregelen:
$\fbox{Tall er delelige med 5 når siste siffer er delelig med 5}$
Eksempel 8:
220 er delelig med 5 fordi 0 er delelig med 5.
231 er ikke delelig med 5 fordi 1 ikke er delelig med 5.
Firerregelen
Vi gjør nå et tilsvarende triks med tallet på utvidet form, men baserer oss på at alle koeffisienter unntatt a1 og a0 blir multiplisert med potenser av 100, og setter 100 utenfor parentes:
n = (am10m−2 + am−110m−3 + … + a2)100 + a110 + a0
Vi trenger ikke bry oss med alle detaljene inni parentesen, så for enkelhets skyld kaller vi hele dette uttrykket for b:
n = 100b + a110 + a0
Vi vet at 100 er delelig med 4, følgelig er alle multipler av 100 også er delelige med 4. Det vil si at 100b er delelig med 4, uavhengig av verdien til b. Hvis nå a110 + a0 også er delelig med 4, sier regelen om lineære kombinasjoner at n også er delelig med 4. Siden uttrykket a110 + a0 representerer tallet dannet av de to siste sifrene i tallet n, følger firerregelen:
$\fbox{Tall er delelige med 4 når tallet dannet av de to siste sifrene er delelig med 4}$
Eksempel 9:
336 er delelig med 4 fordi 36 er delelig med 4.
222 er ikke delelig med 4 fordi 22 ikke er delelig med 4.
Hvis vi har brukt firerregelen og funnet at et tall er delelig med 4, vet vi automatisk at det også er delelig med 2. Og omvendt, hvis vi har brukt toerregelen og funnet at et tall ikke er delelig med 2, vet vi automatisk at det heller ikke er delelig med 4.
Nierregelen
Toer- og femmerregelen virker fordi 2 og 5 går opp i tallsystemets grunntall, nemlig 10, og firerregelen fordi 4 går opp i grunntallet opphøyd i 2, nemlig 100. Noe slikt system finnes imidlertid ikke for 3 og 9, så for å finne regler for delelighet med 3 og 9 må vi angripe problemet på en litt annen måte. Vi starter med å addere (− 1 + 1) til alle tierpotensene i tallet på utvidet form. Det kan vi fritt gjøre, for vi adderer jo bare 0.
n = am(10m − 1 + 1) + am−1(10m−1 − 1 + 1) + … + a1(10 − 1 + 1) + a0
som ved å skille ut multiplikasjonen av koeffisientene med 1 kan omformes til
n = am(10m − 1) + am−1(10m−1 − 1) + … + a1(10 − 1) + am · 1 + am−1 · 1 + … + a1 · 1 + a0
Poenget med dette er at alle tierpotensene minus 1 vil være multipler av 9, nemlig 9, 99, 999, og så videre. Vi kan altså forenkle uttrykket til
n = 9b + am + am−1 + … + a1 + a0, der b er et eller annet tall vi ikke trenger å bry oss om.
9b er delelig med 9 fordi det er en multippel av 9. Hvis nå am + am−1 + … + a1 + a0 også er delelig med 9, sier regelen om lineære kombinasjoner at n også er delelig med 9. Vi ser at am + am−1 + … + a1 + a0 er summen av koeffisientene i tallet, det vil si det samme som tverrsummen, som beskrives i artikkelen om tall og tallsystemer. Av dette følger nierregelen:
$\fbox{Tall er delelige med 9 når tverrsummen er delelig med 9}$
Hvis tverrsummen blir et stort tall som vi kanskje ikke vet om er delelig på 9, bruker vi nierregelen på dette tallet også.
Eksempel 10:
48528 er delelig med 9 fordi T(48528) = 27 er delelig med 9. Hvis vi skulle være usikre på om 27 er delelig med 9, tar vi tverrsummen på nytt, T(27) = 9.
116 er ikke delelig med 9 fordi T(116) = 8 ikke er delelig med 9.
222 er ikke delelig med 9 fordi T(222) = 6 ikke er delelig med 9.
Treerregelen
I begrunnelsen for nierregelen skrev vi tallet n som
n = 9b + am + am−1 + … + a1 + a0. Fordi 9 er en multippel av 3, vil alle tall på formen 9b være delelige med 3. Hvis am + am−1 + … + a1 + a0, altså tverrsummen, også er delelig med 3, vil n være delelig med 3. Av dette følger treerregelen:
$\fbox{Tall er delelige med 3 når tverrsummen er delelig med 3}$
Hvis tverrsummen blir et stort tall som vi kanskje ikke vet om er delelig på 3, bruker vi treerregelen på dette tallet også.
Eksempel 11:
48525 er delelig med 3 fordi T(48525) = 24 er delelig med 3. Hvis vi skulle være usikre på om 24 er delelig med 3, tar vi tverrsummen på nytt, T(24) = 6.
116 er ikke delelig med 3 fordi T(116) = 8 ikke er delelig med 3.
222 er delelig med 3 fordi T(222) = 6 er delelig med 3.
Hvis vi har brukt nierregelen og funnet at et tall er delelig med 9, vet vi automatisk at det også er delelig med 3. Og omvendt, hvis vi har brukt treerregelen og funnet at et tall ikke er delelig med 3, vet vi automatisk at det heller ikke er delelig med 9.
Oppgave 2:
Avgjør om 1386 er delelig med henholdsvis 2, 3, 4, 5 og 9 ved å bruke delelighetsregler. Bruk reglene i den rekkefølgen du ønsker.
Se løsningsforslag
Divisjon med rest
Innledningsvis sa vi at hvis divisjonen a : b = t går opp, betyr det at t er et helt tall. a kan da deles i t blokker med b elementer i hver.
I eksempel 2 så vi for eksempel at 8 : 2 = 4 betydde at a = 8 elementer kunne organiseres i t = 4 blokker med b = 2 elementer i hver.
Hvis divisjonen derimot ikke går opp, vil det ikke være mulig å organisere alt i blokker med b elementer. Det kan være mulig å danne et antall fulle blokker med b elementer, men det vil alltid være en blokk som ikke blir full.
Eksempel 12:
Divisjonen 7 : 3 går ikke opp. Forsøker vi å dele a = 7 elementer i blokker med b = 3 elementer, vil vi få to fulle blokker, men også en blokk som bare inneholder ett element:
Eksempel 13:
Divisjonen 6 : 4 går ikke opp. Forsøker vi å dele a = 6 elementer i blokker med b = 4 elementer, vil vi få én full blokk, men også en blokk som bare inneholder to elementer:
Antall elementer i en blokk som ikke er full, kaller vi for en rest, og å dividere på denne måten kalles å dividere med rest. I eksempel 12 er resten 1, i eksempel 13 er resten 2. Ser vi tilbake på eksempel 1 og 2, der divisjonen gikk opp, fantes det ingen elementer i blokker som ikke var fulle. Det er det samme som at resten er 0.
Utfører vi divisjonene i eksempel 12 og 13 på ordinær måte, får vi 7 : 3 = 2,3 og 6 : 4 = 1,5.
Streken over tretallet betyr at sifferet 3 gjentar seg i det uendelige.
Vi ser at heltallsdelen av svarene, henholdsvis 2 og 1, forteller hvor mange fulle blokker vi får.
Multipliserer vi desimaldelen av svarene med divisor, finner vi ut hva resten blir, henholdsvis 0, 3 · 3 = 1 og 0,5 · 4 = 2.
Eksempel 14:
Tabellen under viser tallene fra 0 til 10 dividert med 4. Vi bruker heltallsdelen av resultatene til å regne ut hvor mange hele blokker på 4 vi får, og desimaldelen av resultatene multiplisert med 4 til å regne ut hvilken rest vi får i hvert tilfelle.
| Tall: |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| Tall dividert på 4: |
0,00 |
0,25 |
0,50 |
0,75 |
1,00 |
1,25 |
1,50 |
1,75 |
2,00 |
2,25 |
2,50 |
| Hele blokker: |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
| Rest: |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
Vi ser at vi starter med 0 blokker og 0 i rest. Hver gang tallet øker med 1, øker resten med 1, inntil tallet blir en multippel av 4. Da går resten tilbake til 0, og vi får en ny full blokk med 4 elementer.
Alle hele tall dividert på 4 vil kunne representeres unikt som i eksempel 14, med et antall blokker à 4 elementer, og en rest som varierer mellom 0 og 3.
Å dividere på denne måten vil vi heretter referere til som å dividere med rest, og antall fulle blokker kaller vi kvotienten i divisjonen. En kvotient er her altså et helt tall, noe den ikke trenger være ved vanlig divisjon.
GeoGebra / regneark
Når vi dividerer med rest, kan vi i GeoGebra finne kvotienten ved hjelp av funksjonen div, og resten ved hjelp av funksjonen mod. Skriver vi for eksempel div(7, 4) i inntastingsfeltet, svarer GeoGebra med tallet 1 i algebrafeltet. Tilsvarende gir mod(7, 4) tallet 3 i algebrafeltet. Dette er det samme som vi fant i eksempel 14.
I regneark som Excel heter de tilsvarende funksjonene kvotient og rest. For eksempel gir =kvotient(7; 4) tallet 1 og =rest(7; 4) tallet 3. Vi legger merke til at i et regneark innledes alle kommandoer med likhetstegn, og argumentene skilles med semikolon, ikke komma.
Divisjonsalgoritmen
Generelt vil alle hele tall, a, dividert på et positivt heltall, b, på en unik måte kunne representeres som en kvotient, q, og en rest, r, som varierer mellom 0 og b−1. Dette er divisjonsalgoritmen, eller divisjonslemmaet, som vi matematisk uttrykker slik:
$\fbox{Hvis $a \in \mathbb Z, b \in \mathbb N$, vil det alltid finnes unike heltall, $q$ og $r$ slik at $a = qb + r$, der $0 \le r < b$}$
Hvis divisjonen a : b går opp, blir resten r = 0. Hvis b > a, blir q = 0 og r = a, slik vi ser i eksempel 15.
Eksempel 15:
I eksempel 14 er b = 4, mens a varierer fra 0 til 10.
Vi ser at a ved hjelp av divisjonsalgoritmen kan uttrykkes som
$\begin{align}
0 &= 0 \cdot 4 + 0 \\
1 &= 0 \cdot 4 + 1 \\
2 &= 0 \cdot 4 + 2 \\
3 &= 0 \cdot 4 + 3 \\
4 &= 1 \cdot 4 + 0 \\
5 &= 1 \cdot 4 + 1 \\
6 &= 1 \cdot 4 + 2 \\
7 &= 1 \cdot 4 + 3 \\
8 &= 2 \cdot 4 + 0 \\
9 &= 2 \cdot 4 + 1 \\
10 &= 2 \cdot 4 + 2 \\
\end{align}$
Ei tallinje kan brukes til å illustrere divisjonsalgoritmen. I a = qb + r er q antall ganger vi må legge b etter hverandre for å komme så langt at vi bare mangler resten, r, på å nå fram til a.
Eksempel 16:
$\begin{align}
8 &= 2 \cdot 4 + 0 \\
14 &= 3 \cdot 4 + 2
\end{align}$
Dette er illustrert på tallinja under. Linjestykket med lengde b = 4 rekker nøyaktig fram til a = 8 når vi legger det etter seg selv q = 2 ganger, her er resten r = 0. Men vi får det ikke til å rekke nøyaktig fram til a = 14. Da legger vi det etter seg selv q = 3 ganger, og bruker en rest på r = 2 på å nå a.
Divisjonsalgoritmen er svært nyttig i mange sammenhenger. I artikkelen om faktorisering ser vi for eksempel at den gir oss en effektiv metode til å finne to talls største felles faktor.
Divisjonsalgoritmen kan også brukes på negative tall. a i uttrykket a = qb + r vil da være mindre enn null, mens b forblir positiv. Vi får en negativ q, mens r, som skal ligge mellom 0 og b−1 forblir positiv eller 0.
Eksempel 17:
$\begin{align}
−8 &= −2 \cdot 4 + 0\\
−14 &= −4 \cdot 4 + 2
\end{align}$
Akkurat som for positive tall kan vi illustrere dette med ei tallinje.
Eksempel 18:
Tallene fra eksempel 17 er illustrert under. Linjestykket med lengde b = 4 rekker nøyaktig fram til −8 når vi legger det etter seg selv −2 ganger, her er rest 0. Men vi får det ikke til å rekke nøyaktig fram til −14. Siden resten skal være positiv, må vi gå forbi −14 ved å legge b = 4 etter seg selv −4 ganger og så bruke resten på 2 til å gå tilbake til 14.
Beregning med GeoGebra / regneark
For å kunne bruke divisjonsalgoritmen på to tall, a og b, må vi beregne q og r. I GeoGebra kan vi bruke funksjonene div og mod til dette, og i Excel funksjonene kvotient og rest, slik vi så tidligere. Dessverre håndterer ikke Excel negative a riktig. Skal vi for eksempel finne kvotient og rest når a = −14 og b = 4, skriver vi =kvotient(-14; 4), og får −3, og =rest(-14; 4), og får 2. Men prøver vi å regne oss tilbake, får vi −4 · 3 + 2 = −10, ikke −14. GeoGebra gjør det derimot riktig. div(-14, 4) gir −4, og mod(-14, 4) gir 2. Og −4 · 4 + 2 = −14, slik vi så i eksempel 18.
Manuell beregning
Nå skal vi se på en metode til å beregne q og r for hånd, eller med en vanlig kalkulator.
q er tallet vi skal multiplisere med b for å komme så nærme a at vi havner eksakt i a når vi adderer resten, r. q finner vi ved å dividere a på b og så runde ned til nærmeste heltall. For å indikere at vi runder ned til nærmeste heltall bruker vi symboler med klammeparenteser som bare er lukket i bunnen, slik at de danner et golv: $\lfloor \; \rfloor$.
Formelt sett er $\lfloor x \rfloor$ definert som det største heltallet som er mindre eller lik x. For positive tall betyr det å sløyfe tallets desimaler, slik vi gjorde i eksempel 13 og 14. Men for negative tall vil det ikke være slik. Vi kan tenke oss at vi finner $\lfloor x \rfloor$ ved å starte på x og gå mot venstre langs tallinja til vi treffer første heltall.
Eksempel 19:
$\begin{align}
\lfloor 2{,}75 \rfloor &= 2\\
\lfloor 2 \rfloor &= 2\\
\lfloor −2 \rfloor &= −2\\
\lfloor −2{,}75 \rfloor &= −3 \;\;\text{NB!}
\end{align}$
Som nevnt gir qb et tall som er slik at når vi adderer resten, r, havner vi i a. Altså: qb + r = a, det vil si at r = a − qb.
Det betyr at vi i praksis kan bruke divisjonsalgoritmen på a og b slik:
-
- Vi finner $q = \lfloor \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \rfloor$
- Vi finner r = a − qb
- Vi skriver opp uttrykket a = qb + r
Eksempel 20:
Vi skal bruke divisjonsalgoritmen på a = 1028, b = 34.
Vi finner $\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = {\large \frac{1028}{34}} \approx 30{,}24$
Så $q = \lfloor 30{,}24 \rfloor = 30$
og r = 1028 − 30 · 34 = 8
Så 1028 = 30 · 34 + 8.
Eksempel 21:
Vi skal bruke divisjonsalgoritmen på a = −380, b = 75.
Vi finner $\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = {\large \frac{−380}{75}} \approx −5{,}07$
Så $q = \lfloor −5{,}07 \rfloor = −6$
og r = −380 − (−6 · 75) = 70
Så −380 = −6 · 75 + 70.
Oppgave 3:
Bruk divisjonsalgoritmen på
-
-
-
- a = 133, b = 21
- a = −50, b = 8
Se løsningsforslag
Beregne $\lfloor x \rfloor$ i GeoGebra og regneark
I GeoGebra finner vi $\lfloor x \rfloor$ ved hjelp av funksjonen floor. I GeoGebra er punktum, ikke komma, desimalskilletegn, så hvis vi for eksempel vil finne $\lfloor −2{,}75 \rfloor$ i GeoGebra, skriver vi floor(-2.75) i inntastingsfeltet. GeoGebra svarer med −3 i algebrafeltet, slik vi fant i eksempel 19.
I regneark som Excel finner vi $\lfloor x \rfloor$ ved hjelp av funksjonen med det forferdelige navnet avrund.gjeldende.multiplum.ned.matematisk. Det finnes også andre avrundingsfunksjoner, for eksempel avrund.ned, men denne vil ikke beregne $\lfloor x \rfloor$ riktig for negative x. Det kan angis mange parametere til avrund.gjeldende.multiplum.ned.matematisk, men for å finne $\lfloor x \rfloor$ angir vi bare x. For eksempel gir =avrund.gjeldende.multiplum.ned.matematisk(-2,75) tallet −3.
Kilder
-
- Rosen, Kenneth H. (1984). Elementary Number Theory and Its Applications. Addison-Wesley.
Se film der løsningsforslaget vises
