Stikkord: hypergeometrisk fordeling

Publisert

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra

GeoGebra har en egen sannsynlighetskalkulator som vi får fram ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Kalkulatoren har to hovedfaner, «Fordeling» og «Statistikk». Vi ser først på fanen «Fordeling», der vi kan beregne sannsynligheter i forskjellige fordelinger.

Fane «Fordelinger»

Bildet under viser en framstilling av sannsynligheten for antall kron i et kast med 5 mynter.

Illustrasjon av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra

Forventning og standardavvik angis altså med de greske bokstavene μ og σ.

«Venstresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er mindre eller lik en verdi. «Intervall» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X ligger på og mellom to verdier, og «Høyresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er større eller lik en verdi.

De aktuelle verdiene kan vi enten skrive i utfyllingsfeltene nederst, eller sette ved å dra i pilene i underkant av kolonnene.

Binomisk fordeling

Vi skal nå illustrere hvordan vi gjør beregninger i en binomisk modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

Eksempel 1:

Vi skal beregne forskjellige sannsynligheter for antall kron ved kast med 7 mynter. Hvis sannsynlighetskalkulatoren ikke er framme, tar vi den fram ved å velge «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator», fane «Fordeling».

Vi har en binomisk sannsynlighetsmodell. n = 7 fordi vi gjør 7 kast, og p = 0,5 fordi sannsynligheten for suksess er 0,5. Vi velger «Binomisk fordeling» og setter «n» til 7 og «p» til 0.5. GeoGebra regner ut at fordelingens forventningsverdi er μ = 3,5 og standardavviket σ ≈ 1,3229:

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne binomisk sannsynlighet

Så skal vi finne

  1. Sannsynligheten for 3 kron.
    Vi klikker på symbolet for «Intervall» og angir 3 som både øvre og nedre grense. GeoGebra svarer 0,2734.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for intervallsannsynlighet
     
  2. Sannsynligheten for 1 kron eller mindre.
    Vi klikker på symbolet for «Venstresidig» og angir 1 som øvre grense. GeoGebra svarer 0,0625.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for venstresidig sannsynlighet
     
  3. Sannsynligheten for 5 kron eller mer.
    Vi klikker på symbolet for «Høyresidig» og angir 5 som nedre grense. GeoGebra svarer 0,2266.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for høyresdidig intervall

I stedet for å angi X-verdiene ved å skrive inn tall kan vi også dra i pil-symbolene under kolonnene.

Oppgave 1:

La X betegne antall kron i 8 kast med en juksemynt der sannsynligheten for kron er 0,6. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne

  1. ​Fordelingens forventningsverdi og standardavvik.
     
  2. P(X = 4)
     
  3. P(X ≤ 2)
     
  4. P(X > 6)
    NB! Legg merke til at vi spør etter «større enn 6», ikke «større eller lik 6».

Se løsningsforslag

Hypergeometrisk fordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en hypergeometriskmodell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Hypergeometrisk fordeling».

Parameterne heter imidlertid noe annet enn det vi kaller dem i artikkelen om hypergeometrisk fordeling. Grunnmengden N heter «populasjon», mengden spesielle elementer, M, heter «n» og antall vi trekker, n, heter «utvalg».

Eksempel 2:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for å få en hånd med akkurat 2 spar når vi trekker 5 kort fra en full stokk.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne hypergeometrisk sannsynlighet

«Populasjon» er antall kort totalt, altså 52, «n» er antall spar totalt, altså 13 og «utvalg» er antall kort vi trekker, altså 5.
Så angir vi et intervall som både begynner og slutter med 2, og får som svar at sannsynligheten er om lag 0,2743.

Denne beregningen gjør vi med formler i eksempel 1 i artikkelen om hypergeometrisk fordeling.

Oppgave 2:

I en forening med 65 medlemmer er 13 negative til et forslag.

Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne fordelingens forventning og standardavvik.

Anta at vi velger 20 representanter tilfeldig fra gruppen. Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne sannsynligheten for at

  1. Ingen av representantene er negative.
     
  2. Én av representantene er negativ.
     
  3. To eller flere av representantene er negative.

Disse beregningene gjør vi for hånd i oppgave 1 i artikkelen om hypergeometrisk fordeling.

Se løsningsforslag

Poissonfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en poissonfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Poissonfordeling».

Her heter imidlertid ikke hyppigheten λ, men μ. Det er et naturlig valg, siden forventningsverdien i en poissonfordeling er lik λ.

Eksempel 3:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for 7 trær i et skogsområde når λ = 8, som vi regner ut i eksempel 1 i artikkelen om poissonfordeling.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne poissonsannsynlighet

Vi får som svar at sannsynligheten er om lag 0,1396.

Oppgave 3:

I en vannprøve er det i gjennomsnitt to hoppekreps. Anta at mengden hoppekreps er poissonfordelt, og bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en annen, like stor vannprøve inneholder

  1. Ingen hoppekreps.
     
  2. Én hoppekreps.
     
  3. To eller flere hoppekreps.

Disse beregningene gjør vi for hånd i oppgave 1 i artikkelen om poissonfordeling.

Se løsningsforslag

Normalfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en normalfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Normalfordeling».

Vi må da fylle ut fordelingens forventning, «μ», og standardavvik, «σ».

Eksempel 4:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for at en person er mellom 170 og 180 cm når forventningen er 177 cm og standardavviket 7 cm. Vi ser at GeoGebra finner verdien 0,5072.
Dette regner vi ut ved hjelp av tabeller i eksempel 3.3 i artikkelen om normalfordelingen. Da får vi 0,5077, som ikke er helt korrekt på grunn av avrundingsfeil i standardiseringen.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne normalfordelt sannsynlighet

Oppgave 4:

På en eksamen er resultatene normalfordelt med en forventning på 14 poeng og et standardavvik på 2 poeng, N(14, 22). For å stå må en oppnå mer enn 12 poeng. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne hvor stor del av de som tar eksamenen, som kan forventes å ikke stå.

Dette regner vi ut for hånd i oppgave 2 i artikkelen om normalfordelingen.

​Se løsningsforslag

Diskret fordeling med normaltilnærming

I en diskret sannsynlighetsfordeling kan vi samtidig vise en tilnærmet normalfordeling ved å klikke på knappen med den røde normalfordelingskurven. Bildet under viser en binomisk fordeling med 20 forsøk og suksess-sannsynlighet 0,6, der den tilhørende normalfordelingen er tegnet inn.

Sannsynlighetskalkulatoren viser både binomisk og normalfordelt sannsynlighet

Fane «Statistikk»

Under fanen «Statistikk» kan vi beregne konfidensintervaller og utføre hypotesetester. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og klikker på fanen «Statistikk».

Valg av statistikkfunksjon i sannsynlighetskalkulator

Konfidensintervaller for forventningsverdier

Kjent standardavvik

Hvis standardavviket i en populasjon er kjent, bruker vi menyvalget «Z-estimat av et gjennomsnitt» til å beregne konfidensintervaller for forventningsverdier. Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, populasjonsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 5:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for gjennomsnittet i en populasjon med kjent standardavvik lik 0,7. Vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-estimat av et gjennomsnitt», og setter

        • «Konfidensnivå» til 0.95, fordi vi skal ha et 95 %-intervall.
        • «Gjennomsnitt» til 4.14, fordi gjennomsnittet er 0,14.
        • «σ» til 0.7, fordi standardavviket er 0,7.
        • «N» til 13, fordi vi har 13 målinger.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, n-fordeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,7595, 4,5205]. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 4 i artikkelen om estimering.

«SF» representerer standardavviket til estimatoren, ${\large \frac{0{,}7}{\sqrt {13}}} \approx 0{,}1941$.

Oppgave 5:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 99 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at produksjonen har standardavvik σ = 5,8.

​Se løsningsforslag

Ukjent standardavvik

Hvis standardavviket i en populasjon er ukjent, og vi baserer oss på utvalgsstandardavviket, bruker vi menyvalget «T-estimat av et gjennomsnitt» til å beregne konfidensintervaller for forventningsverdier. Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 6:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for et gjennomsnitt i en populasjon der vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14 og et utvalgsstandardavvik på 0,71.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-estimat av et gjennomsnitt», og setter

        • «Konfidensnivå» til 0.95, fordi vi skal ha et 95 %-intervall.
        • «Gjennomsnitt» til 4.14, fordi gjennomsnittet er 4,14.
        • «s» til 0.7, fordi utvalgsstandardavviket er 0,7.
        • «N» til 13, fordi det er gjort 13 målinger.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, t-fordeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,711, 4,569]. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 7 i artikkelen om estimering.

«SF» representerer standardavviket til estimatoren, ${\large \frac{0{,}71}{\sqrt {13}}} \approx 0{,}1969$.

Oppgave 6:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 90 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at utvalgsstandardavviket er beregnet til S = 6.

​Se løsningsforslag

Konfidensintervaller for sannsynligheter

For å beregne et konfidensintervall for en sannsynlighet bruker vi menyvalget «Z-estimat av en andel». Så angir vi ønsket konfidensnivå, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 7:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for kron hos en mynt som har gitt kron i 33 av 50 kast.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-estimat av en andel», og setter

        • «Konfidensnivå» til 0.95, fordi vi skal ha et 95 %-intervall.
        • «Treff» til 33 fordi kastene har gitt 33 kron.
        • «N» til 50 fordi det totalt er gjort 50 kast.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, binomisk modell

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [0,5287, 0,7913]. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 9 i artikkelen om estimering.

«SF» representerer standardavviket til estimatoren, $\sqrt{\large \frac{0{,}66(1 – 0{,}66)}{50}} \approx 0{,}067$.

Oppgave 7:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for at en vilkårlig mobillader er defekt, når det blant 2000 stikkprøver ble funnet 35 defekte.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester

I hypotesetester må vi angi verdi for nullhypotesen, og om testen er venstre- høyre-, eller tosidig, noe som gjøres ved å velge henholdsvis <, > eller ≠ for den alternative hypotesen. I tillegg oppgir vi måledataene våre. GeoGebra beregner da testens Z-verdi, og noe som kalles P-verdi. Hvis P-verdien er mindre enn testens signifikansnivå, forkaster vi nullhypotesen og aksepterer den alternative hypotesen.

Tester for sannsynlighet

En hypotesetest for sannsynlighet gjør vi ved menyvalget «Z-test av en andel».

Så angir vi verdien til p i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 8:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en mynt som gir 524 kron i 1000 kast har større sannsynlighet enn 0,5 for å få kron.

Den alternative hypotesen blir HA: p > 0,5, og nullhypotesen H0: p = 0,5.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test av en andel», og setter

        • «Nullhypotese p =» til 0.5 fordi nullhypotesen er at mynten er rettferdig, med en sannsynlighet for kron på 0,5.
        • «Alternativ hypotese» til «>» fordi den alternative hypotesen er at mynten gir for mange kron.
        • «Treff» til 524 fordi kastene har gitt 524 kron.
        • «N» til 1000 fordi det er gjort totalt 1000 kast.

Hypotesetest i binomisk modell

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,5179. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 2 i artikkelen om hypotesetesting. Siden Z ≈ 1,5179 < zα = z0,05 ≈ 1,6449, kan vi konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0645. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 8:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om henholdsvis 20 av 100 og 200 av 1000 seksere ved terningkast tyder på at terningen gir for mange seksere.

​Se løsningsforslag

Tester for forventningsverdier

Kjent standardavvik

En hypotesetest for forventningsverdi når standardavviket er kjent, gjør vi ved menyvalget «Z-test av et gjennomsnitt». Så angir vi verdien til μ i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 9:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 1 % signifikansnivå på om en maskin som i snitt skal gi ut 10 ml. olje med et standardavvik på 0,65, gir ut for mye olje, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 10,5 ml.

Den alternative hypotesen blir HA: μ > 10, og nullhypotesen H0: μ = 10.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test av en andel», og setter

        • «Nullhypotese μ =» til 10 fordi dette er det forventede volumet olje.
        • «Alternativ hypotese» til «>» fordi den alternative hypotesen er at maskinen gir ut for mye olje.
        • «Gjennomsnitt» til 10.5 fordi gjennomsnittsvolumet er 10,5.
        • «σ» til 0.65 fordi standardavviket er 0,65.
        • «N» til 20 fordi det er gjort 20 målinger.

Hypotesetest i målemodell, standardavvik kjent

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 3,4401. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 3 i artikkelen om hypotesetesting. Siden Z ≈ 3,4401 > zα = z0,01 ≈ 2,3263, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0003. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,01, kan nullhypotesen forkastes.

Ukjent standardavvik

En hypotesetest for forventningsverdi når standardavviket er kjent, gjør vi ved menyvalget «T-test av et gjennomsnitt». Så angir vi verdien til μ i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 10:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en maskin som i snitt skal gi ut 425 gram bønner gir ut feil mengde, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 427,5 gram. Utvalgsstandardavviket er 5 gram.

Den alternative hypotesen blir HA: μ > 425, og nullhypotesen H0: μ = 425.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-test av en andel», og setter

        • «Nullhypotese μ =» til 425 fordi dette er den forventede mengden bønner.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at maskinen gir enten for stor eller for liten mengde bønner.
        • «Gjennomsnitt» til 427.5 fordi gjennomsnittsmengden er 427,5.
        • «s» til 5 fordi utvalgsstandardavviket er 5.
        • «N» til 20 fordi det er gjort 20 målinger.

Hypotesetest i målemodell, basert på utvalgsstandardavvik

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 2,2361. Siden t ≈ 2,2361 > tα/2 (v) = t0,025 (20−1) ≈ 2,0930, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0375. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 9:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om angitt gjennomsnittlig ventetid på 30 sekunder på en telefontjeneste er satt for lavt når 15 oppringninger gir en gjennomsnittlig ventetid på 37 sekunder, med et standardavvik på 14.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester for to utvalg

I tester for to utvalg tester vi hypoteser om forskjeller i to utvalg, enten forventningsverdier eller sannsynligheter. I tillegg til nullhypotese og alternativ hypotese må vi da angi verdier for to utvalg. GeoGebra kaller disse «Utvalg» og «Utvalg 2». (Det første utvalget skulle nok hett «Utvalg 1», men 1-tallet mangler. I resultatene heter det «Utvalg 1», og på engelsk «Sample 1».)

Tester for forventningsverdier

Kjent standardavvik

En hypotesetest for forskjellen på forventningsverdi i to utvalg når standardavviket i begge utvalg er kjent, gjør vi ved menyvalget «Z-test. Forskjell mellom gjennomsnitt». Så angir vi differansen μ1 − μ2 i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test. For hvert av de to utvalgene angir vi så gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 11:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på mengden sukker to maskiner tilsetter en matvare. Maskin X opererer med et standardavvik på 0,11, og 70 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,103 gram sukker. Maskin Y opererer med et standardavvik på 0,13, og 85 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,069 gram sukker.

Den alternative hypotesen blir HA: μ1 = μ2, og nullhypotesen H0: μ1 ≠ μ2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test mellom gjennomsnitt», og setter

        • «Nullhypotese μ1 − μ2» til 0 fordi nullhypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene er like.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere maskin X og setter

        • «Gjennomsnitt» til 10.103 fordi gjennomsnittsmengden for maskin X er 10,103.
        • «σ» til 0.11 fordi maskin X opererer med et standardavvik på 0,11.
        • «N» til 70 fordi det er gjort 70 målinger på maskin X.

Vi lar «Utvalg 2» representere maskin Y og setter

        • «Gjennomsnitt» til 10.069 fordi gjennomsnittsmengden for maskin Y er 10,069.
        • «σ» til 0.13 fordi maskin Y opererer med et standardavvik på 0,13.
        • «N» til 85 fordi det er gjort 85 målinger på maskin Y.

Hypotesetest mellom to utvalg i målemodell, standardavvik kjent

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,7636. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 1 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden Z ≈ 1,7636 < zα/2 = z0,025 ≈ 1,9600, kan vi konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0778. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 10:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre samme test som i eksempel 11, men basert på at 60 stikkprøver av maskin X gir et snitt på 10,107 gram sukker, og 75 stikkprøver av maskin Y gir et snitt på 10,061 gram sukker. Standardavvikene kan forutsettes å være de samme, 0,11 gram for maskin X og 0,13 gram for maskin Y.

​Se løsningsforslag

Ukjent standardavvik

En hypotesetest for forskjellen på forventningsverdi i to utvalg når standardavvikene er ukjent, gjør vi ved menyvalget «T-test, Differanse mellom gjennomsnitt». (Det er litt inkonsekvent at GeoGebra i dette menyvalget bruker ordet «differanse», men ordet «forskjell» i tilsvarende Z-test. På engelsk brukes ordet «difference» i begge tilfeller.) Så angir vi differansen μ1 − μ2 i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test. For hvert av de to utvalgene angir vi gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 12:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på frukthøsten fra to trær, av type X og Y når 13 trær av type X i gjennomsnitt gir 45,154 kg med et utvalgsstandardavvik på 7,998 og 12 trær av type Y i gjennomsnitt gir 42,250 kg med et utvalgsstandardavvik på 8,740.

Den alternative hypotesen blir HA: μ1 = μ2, og nullhypotesen H0: μ1 ≠ μ2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-test, Differanse mellom gjennomsnitt», og setter

        • «Nullhypotese μ1 − μ2» til 0 fordi nullhypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene er like.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere type X og setter

        • «Gjennomsnitt» til 45.154 fordi gjennomsnittshøsten for trær av type X er 45,154.
        • «s» til 7.998 fordi trær av type X har et utvalgsstandardavvik på 7,998.
        • «N» til 13 fordi det er gjort 13 målinger på trær av type X.

Vi lar «Utvalg 2» representere type Y og setter

        • «Gjennomsnitt» til 42.25 fordi gjennomsnittshøsten for trær av type Y er 42,25.
        • «s» til 8.74 fordi trær av type Y har et utvalgsstandardavvik på 8,74.
        • «N» til 12 fordi det er gjort 12 målinger på trær av type Y.

Hypotesetest mellom to utvalg i målemodell, standardavvik ukjent

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 0,8644. Dette regner vi ut for hånd i oppgave 2 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden t ≈ 0,8644 < tα/2 (v) = t0,025 (13+12−2) ≈ 2,0687, kan vi konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,3965. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Tester for sannsynlighet

En hypotesetest for forskjellen på sannsynlighet i to utvalg gjør vi ved menyvalget «Z-test. Forskjell mellom andeler». Så angir vi differansen p1 − p2 i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test. For hvert av de to utvalgene angir vi antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 13:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell mellom antallet defekte PC-skjermer ved to forskjellige anlegg, når det på anlegg X ble målt at 17 av 200 var defekte, og på anlegg Y at 31 av 200 var defekte.

Den alternative hypotesen blir HA: p1 = p2, og nullhypotesen H0: p1 ≠ p2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test. Forskjell mellom andeler», og setter

        • «Nullhypotese p1 − p2» til 0 fordi nullhypotesen er at andelene defekte i de to utvalgene er like.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at andelene defekte i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere anlegg X og setter

        • «Treff» til 17 fordi antall defekte i anlegg X er 17.
        • «N» til 200 fordi det er undersøkt 200 skjermer i anlegg X.

Vi lar «Utvalg 2» representere anlegg Y og setter

        • «Treff» til 31 fordi antall defekte i anlegg Y er 31.
        • «N» til 200 fordi det er undersøkt 200 skjermer i anlegg Y.

Hypotesetest mellom to utvalg i binomisk modell

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ −2,1541. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 4 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden |Z| ≈ 2,1541 > zα/2 = z0,025 ≈ 1,9600, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0312. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 11:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på antall defekte sømmer på bukser produsert ved to produksjonslinjer når det ved produksjonslinje X er 147 av 2500 defekter, og ved produksjonslinje Y er 151 av 2000 defekter.

​Se løsningsforslag

Kilder

    • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
Publisert

Tilnærme fordelinger

Tilnærme hypergeometrisk fordeling med binomisk

I en hypergeometrisk fordeling har vi trekning uten tilbakelegging. Men hvis vi bare trekker ut noen få elementer, og mengden vi trekker fra er stor, betyr dette lite. Vi kan da tilnærme den hypergeometriske fordelingen med en binomisk, der $p = {\large \frac{M}{N}}$, altså forholdet mellom M spesielle av i alt N elementer.

En binomisk tilnærming regnes som god hvis $n \le {\large \frac{N}{20}}$, det vil si at vi trekker mindre enn en tjuendedel av det totale antallet.

Fordelen med en tilnærming er at utregningene blir enklere, og vi slipper å ha med N og M i beregningene. Dette er en fordel fordi hvis N og/eller M er store, risikerer vi å få problemer med kalkulatorer og dataprogrammer på grunn av svært høye tall i mellomregningene. Varians er også mye enklere å beregne i en binomisk fordeling.

Eksempel 1:

I et vareparti på 1000 enheter er 5 % av varene defekte. Vi trekker 10 varer tilfeldig og lurer på hvor stor sannsynligheten er for at ingen av dem er defekte.

Sannsynligheten for å trekke defekte er hypergeometrisk fordelt, med N = 1000, M = 1000 · 0,05 = 50 og n = 10, så vi får

$P(X = 0) = \frac{\displaystyle \binom{50}{0} \cdot \binom{1000 – 50}{10 – 0}}{\displaystyle \binom{1000}{10}} \approx 0{,}5973$.

Vi trekker imidlertid bare n = 10 av N = 1000, og $10 < {\large \frac{1000}{20}}=50$, så vi får en god tilnærming med en binomialfordeling med n = 10 og $p = {\large \frac{M}{N}} = {\large \frac{50}{1000}} = 0{,}05$:

$P(X = 0) = {\large \binom{10}{0}} (0,05)^0 (1 – 0,05)^{10 – 0} \approx 0{,}5987$.

Vi ser at feilen i forhold til svaret vi fikk da vi brukte hypergeometrisk fordeling bare er ca. $0{,}5987 – 0{,}5973 = 0{,}0014$.

Eksempel 2:

Vi vil finne ut hva forventning og varians er i en hypergeometrisk fordeling og en binomisk fordeling basert på dataene fra eksempel 1.

Hypergeometrisk:

$E(X) = 10 \cdot \frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 1000} = 0{,}5$.

$Var(X) = \Big( \frac{\displaystyle 1000 – 50}{\displaystyle 1000 – 1} \Big) \cdot 10 \cdot \frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 1000} \cdot \Big(1 – \frac{\displaystyle 50}{\displaystyle 1000} \Big) \approx 0{,}4517$.

Binomisk:

$E(X) = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5$.

$Var(X) = 10 \cdot 0{,}05(1 – 0{,}05) = 0{,}4750$.

Vi ser at forventningene i begge tilfeller er like, men variansen er ørlite høyere i den binomiske fordelingen. Det er rimelig siden variasjonsmulighetene er flere når vi kan trekke samme element flere ganger.

Figurene under viser sannsynlighetene i en hypergeometrisk fordeling og en tilnærming med en binomisk fordeling når vi trekker n = 50 elementer fra en mengde der halvparten er spesielle.

I figuren til venstre er N = 100, så $n \not \le {\large \frac{N}{20}}$ og tilnærmingen er dårlig. Vi ser at den binomiske fordelingen er for lav og bred.

I figuren til høyre er N = 1000, så $n = {\large \frac{N}{20}}$ og tilnærmingen er god. Vi ser at fordelingene nesten dekker hverandre.

Tilnærming av hypergeometrisk fordeling med binomisk når N = 2n
N = 100, n = 20		 Tilnærming av hypergeometrisk fordeling med binomisk når N = 20n
N = 1000, n = 20

Oppgave 1:

Innbyggerne i en by med 10 000 innbyggere er delt akkurat på midten når det gjelder synet på kommunesammenslåing. Vi trekker 100 innbyggere tilfeldig, og skal beregne sannsynligheten for at den gruppen også er delt akkurat på midten. Vi kan ikke trekke samme innbygger to ganger, så denne situasjonen er uten tilbakelegging og vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling.

  1. Beregn sannsynligheten for at gruppen er delt på midten ved å bruke hypergeometrisk fordeling.
     
  2. Avgjør om en tilnærming med binomisk fordeling vil være god.
     
  3. Beregn den samme sannsynligheten ved å bruke binomisk fordeling.
     
  4. Angi hvor stor feilen ved å bruke binomisk fordeling ble hvis du tar med fire desimaler.

Se løsningsforslag

Tilnærme binomisk fordeling med poisson

Hvis antall forsøk i en binomisk fordeling, n, er stort og sannsynligheten for suksess, p, er liten, kan vi tilnærme en binomisk fordeling med en poissonfordeling med λ = n · p.

En slik tilnærming regnes som god hvis n > 50 og p ≤ 0,05.

Eksempel 3:

I spillet Dungeons and Dragons brukes blant annet en 20-sidet terning. Vi vil undersøke hvor stor sannsynligheten er for å få «20 minst én gang» når vi kaster 75 ganger. Det letteste er her å basere seg på sannsynligheten til komplementhendelsen «20 ingen ganger».

Vi bruker først binomisk fordeling med n = 75 og $p = {\large \frac{1}{20}} = 0{,}05$.

$P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – {\large \binom{75}{0}} (0{,}05)^0 (1 – 0,05)^{75 – 0} \approx 0{,}9787$.

Vi har n = 75 og p = 0,05, så vi oppfyller kravet til en god tilnærming med poisson, selv om p er helt på grensen.

Vi får λ = 75 · 0,05 = 3,75, og

$P(X \ge 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – {\large \frac{(3,75)^0}{0!}}e^{-3,75} \approx 0{,}9765$, en feil på 0,0022.

Figurene under viser kurver for sannsynlighetene i en binomisk fordeling og en tilnærming med en poissonfordeling.

Figuren til venstre viser sannsynligheter for antall kron i 100 kast med en mynt. Her er n = 100 innenfor grensa på n > 50, men p = 0,5 er langt utenfor grensa på p ≤ 0,05, så tilnærmingen er dårlig. Vi ser at poissonfordelingen er altfor lav og bred.

Figuren til høyre viser sannsynlighetene for antall «begge seks» i 1000 kast med to terninger. Her er n = 1000 godt innenfor grensa på n > 50, og $p ={\large \frac{1}{36}}\approx 0{,}0278$ godt innenfor grensa på p ≤ 0,05, så tilnærmingen er god. Vi ser at fordelingene nesten dekker hverandre.

Tilnærming av binomisk fordeling med poisson når n = 100 og p = 75
n = 100, p = 0,5		 Tilnærming av binomisk fordeling med poisson når n = 1000 og p = 0,027
n = 1000, p ≈ 0,0278

Oppgave 2:

Bruk binomisk sannsynlighetsfordeling til å finne sannsynligheten for å få spar ess minst én gang når vi trekker 75 ganger fra en komplett kortstokk. Avgjør så om en poissonfordeling kan brukes i dette tilfellet, og beregn i så fall den samme sannsynligheten i en poissonfordeling.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
    • Bhattacharyya, G, Johnson, R.A. (1977) Statistical concepts and methods. John Wiley & Sons
Publisert

Hypergeometrisk fordeling

Hva er hypergeometrisk fordeling?

I eksempel 1 i kombinatorikk-artikkelen om utvalg fra blandede mengder studerer vi kombinasjonsmuligheter når vi velger fra en mengde som består av 11 gutter og 8 jenter, og ser at antall kombinasjonsmuligheter med 2 gutter og to jenter er gitt ved

${\large \binom{11}{2}\binom{8}{2}}$

Generaliserer vi dette ved å si at mengden består av a gutter og b jenter, og vi skal velge x gutter og y jenter fra mengden, blir antall kombinasjonsmuligheter

${\large \binom{a}{x}\binom{b}{y}}$

Så generaliserer vi enda mer, og sier at mengden består av totalt N elementer, hvorav M er spesielle. Det betyr at N – M er ikke-spesielle. Så trekker vi ut totalt n elementer. Er x av disse spesielle, må n – x være ikke-spesielle. Og antall kombinasjonsmuligheter vil være gitt ved

${\large \binom{M}{x}\binom{N-M}{n-x}}$

Totalt kan vi velge n blant N elementer, så antall kombinasjonsmuligheter totalt blir

${\large \binom{N}{n}}$

Bruker vi så «gunstige på mulige», får vi et uttrykk for sannsynligheten for at et tilfeldig utvalg på n elementer fra totalt N, der M er spesielle, inneholder x spesielle elementer. Dette er en diskret sannsynlighetsfordeling som vi kaller hypergeometrisk fordeling.

$\fbox{Hypergeometrisk fordeling: $P(X = x) = \frac{\displaystyle \binom{M}{x} \binom{N – M}{n – x}}{\displaystyle \binom{N}{n}}$}$

Et gitt element kan altså være spesielt eller ikke-spesielt. Dette minner litt om den binomiske sannsynlighetsfordelingen, der vi også hadde to muligheter, suksess eller fiasko. Men i motsetning til en binomisk situasjon, er det her avhengighet mellom forsøkene. Sannsynligheten for hva vi trekker vil variere med hva vi har trukket tidligere. Trekker vi få elementer fra en stor mengde, er imidlertid forskjellen på binomisk og hypergeometrisk fordeling liten.

Eksempel 1:

Vi skal bruke formelen for hypergeometrisk fordeling til å finne sannsynligheten for å få en hånd med akkurat 2 spar når vi trekker 5 kort fra en full stokk.

Mengden vi trekker fra består av N = 52 elementer, av disse er M = 13 spesielle, altså spar. Vi trekker n = 5 ganger og skal finne sannsynligheten for at X = 2. Vi får

$P(X = 2) = \frac{\displaystyle \binom{13}{2} \cdot \binom{52 – 13}{5 – 2}}{\displaystyle \binom{52}{5}} \approx 0{,}2743$.

Det er ca. 27 % sannsynlig å få en hånd med akkurat 2 spar. Vi ser at det som står i telleren, er antall kombinasjoner som gir to spar multiplisert med antall kombinasjoner av tre andre kort. I nevneren står antall kombinasjoner totalt med fem av femtito kort.

Hypergeometrisk fordeling i Excel og GeoGebra

I Excel beregner vi hypergeometriske sannsynligheter med funksjonen hypgeom.fordeling.n. Vi må da oppgi hvor mange spesielle elementer vi ønsker sannsynligheten for, utvalgets størrelse, antall spesielle elementer totalt, antall elementer totalt, true for kumulativ sannsynlighet og false for ikke-kumulativ, altså punktsannsynlighet. For eksempel =hypgeom.fordeling.n(2; 5; 13; 52; usann) for å gjøre beregningen i eksempel 1.

Tilsvarende funksjon i GeoGebra heter fordelinghypergeometrisk. Her er rekkefølgen på variablene annerledes, vi angir antall elementer totalt, antall spesielle elementer totalt, utvalgets størrelse, hvor mange spesielle elementer vi ønsker sannsynligheten for, true for kumulativ sannsynlighet og false for punktsannsynlighet. For eksempel fordelinghypergeometrisk(52,13, 5, 2, false) for å gjøre beregningen i eksempel 1.

I GeoGebra er det imidlertid mer praktisk å bruke sannsynlighetskalkulatoren som beskrives i artikkelen om statistikk i GeoGebra.

En hypergeometrisk fordeling har så mange variabler at det er vanskelig å sette opp sannsynlighetene i en praktisk tabell.

Oppgave 1:

I en forening med 65 medlemmer er 13 negative til et forslag. Hvis vi velger 20 representanter tilfeldig blant medlemmene, hva er da sannsynligheten for at

  1. Ingen av representantene er negative.
     
  2. Én av representantene er negativ.
     
  3. To eller flere av representantene er negative.

Gjør beregningene ved hjelp av formelen for hypergeometrisk fordeling, og kontroller svarene i Excel eller GeoGebra.

Se løsningsforslag

Eksempel 2:

I eksempel 1 i kombinatorikk-artikkelen om kombinasjoner og sannsynligheter ser vi at sannsynligheten for å få 7 rette i Lotto er om lag 1,859 · 10-7, fordi det bare finnes 1 vinnerrekke av totalt 5 379 616, og ${\large \frac{1}{5 \, 379 \, 616}} \approx 1{,}858 9 \cdot 10^{\text{-}7}$.

Det utbetales imidlertid også gevinst for 6 rette. Og 6 rette er enklere å få fordi det finnes mange flere rekker med 6 rette. Hvert av de 7 vinnertallene kan vi nemlig bytte ut med hvert av de 34 – 7 = 27 tallene som ikke er vinnertall, noe som gir 7 · 27 = 189 muligheter, og en vinnersannsynlighet på

${\large \frac{189}{5 \, 379 \, 616}} \approx 3{,}5133 \cdot 10^{-5}$.

En annen måte å komme fram til denne sannsynligheten på er imidlertid å tenke på lottotrekning som en hypergeometrisk situasjon der vi trekker 7 tall fra en mengde på 34, der 7 er spesielle (vinnertallene), og så beregner hva sannsynligheten for å få 6 av de spesielle er. Vi får

$P(X = 6) = \frac{\displaystyle \binom{7}{6} \cdot \binom{34 – 7}{7 – 6}}{\displaystyle \binom{34}{7}} \approx 3{,}5133 \cdot 10^{-5}$.

Sannsynligheten for å få 6 rette er om lag 0,00351 %.

(I Lotto trekkes også et tilleggstall, og blant de 189 rekkene vil det være 7 som har 6 rette + 1 tilleggstall, noe som gir høyere gevinst. Det tar vi imidlertid ikke hensyn til i denne modellen.)

Oppgave 2:

Det utbetales også gevinst for 5 og 4 rette i Lotto. Bruk formelen for hypergeometrisk fordeling til å finne sannsynligheten for å få henholdsvis 5 og 4 rette.

Se løsningsforslag

Forventning og varians i hypergeometrisk fordeling

I en hypergeometrisk fordeling er forventning og varians gitt ved

$\fbox{$\begin{align} E(X) &= n \cdot \frac{\displaystyle M}{\displaystyle N} \\
Var(X) &= \Big( \frac{\displaystyle N – n}{\displaystyle N – 1} \Big) \cdot n \cdot \frac{\displaystyle M}{\displaystyle N} \cdot \Big(1 – \frac{\displaystyle M}{\displaystyle N} \Big) \end{align}$}$

Brøken $\frac{\displaystyle M}{\displaystyle N}$ representerer egentlig sannsynligheten for å trekke et spesielt element, fordi M er antall spesielle elementer og N er antall elementer totalt. (Gunstige på mulige). Kaller vi denne sannsynligheten p, altså $p = \frac{\displaystyle M}{\displaystyle N}$, får vi

$\fbox{$\begin{align} E(X) &= np \\
Var(X) &= \Big( \frac{\displaystyle N – n}{\displaystyle N – 1} \Big) \cdot np (1 – p) \end{align}$}$

I en biomisk fordeling har vi E(X) = np og Var(X) = np(1 − p).

Vi ser at forventningene er de samme i hypergeometrisk og binomisk fordeling, og det eneste som skiller variansene er faktoren $\frac{\displaystyle N – n}{\displaystyle N – 1}$. Trekker vi imidlertid bare noen få elementer fra en stor mengde, slik at N er mye større enn n, blir denne faktoren nokså nærme 1 og kan ignoreres.

Oppgave 3:

La X være antall negativt innstilte representanter i utvalget fra oppgave 1. Finn E(X) og Var(X).

Se løsningsforslag

Kilder

    • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
    • Bhattacharyya, G, Johnson, R.A. (1977) Statistical concepts and methods. John Wiley & Sons
    • Wikipedia: Lotto