Matte er moro
Tabellen under gir en oversikt over antall kombinasjonsmuligheter ved ordnede utvalg uten og med tilbakelegging, og uordnede utvalg uten og med tilbakelegging. Husk at «tilbakelegging» ofte ikke skal tas bokstavelig, men bare betyr at mengden vi velger fra, ikke endrer seg.
Rød skrift viser et eksempel der vi velger 3 fra en mengde på 8, og blå skrift viser en generell formel der vi velger k fra en mengde på n.
I artikkelen om ordnede og uordnede utvalg og artikkelen om utvalg fra blandede mengder beregner vi kombinasjonsmuligheter når vi trekker fra en mengde. Uten at vi presiserer det, trekker vi der uten tilbakelegging. Det vil si at når et element først er trukket ut, kan vi ikke trekke det på nytt. Nå skal vi se på «trekking med tilbakelegging», det vil si at vi legger uttrukne elementeter tilbake i den opprinnelige mengden, slik at de kan trekkes på nytt.
Som vi ser i artikkelen om permutasjoner, har vi, når vi trekker fra en mengde med n elementer, n valgmuligheter i første trekning, n−1 i andre, deretter n−2 og så videre. Vi har ikke tilbakelegging, så for hver trekning blir det ett element mindre å velge blant.
Trekker vi derimot flere ganger med tilbakelegging fra en mengde på n elementer, har vi hver gang n elementer å velge blant. Trekker vi 2 ganger, får vi n2 mulige ordnede utvalg, trekker vi 3 ganger, får vi n3 mulige ordnede utvalg, og trekker vi k ganger, får vi nk mulige ordnede utvalg.
$\fbox{Antall ordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$ ved tilbakelegging: $n^k$}$
Når vi trekker uten tilbakelegging, kan vi jo ikke trekke flere elementer enn de vi har, så k ≤ n. Noen slik begrensning eksisterer ikke med tilbakelegging, vi kan trekke så mange ganger vi vil.
Eksempel 1:
I eksempel 1 i artikkelen om ordnede og uordnede utvalg beregner vi at det finnes 27 113 264 460 mulige ordnede utvalg når vi trekker 7 av 34 lottokuler uten tilbakelegging. Trekker vi med tilbakelegging, finnes det 347 = 52 523 350 144 mulige ordnede utvalg, ca. 94 % flere.
Dersom vi trekker få ganger blant mange elementer, blir forskjellen på antall utvalg med og uten tilbakelegging liten.
Eksempel 2:
Vi har 100 nummererte kuler, og trekker 2.
Uten tilbakelegging gir det 100 · 99 = 9900 mulige ordnede utvalg. Med tilbakelegging gir det 1002 = 10 000 mulige ordnede utvalg, ca. 1 % flere.
Begrepet tilbakelegging skal vi imidlertid ikke alltid ta bokstavelig. Ofte er bare situasjonen at vi kan velge fra en mengde som ikke endrer seg.
Eksempel 3:
Ei rekke på en tippekupong består 12 kamper, der vi for hver kamp har valgmulighetene ‘H’, ‘U’ og ‘B’. Dette endrer seg aldri, vi vil for alle kamper kunne velge fra mengden som består av ‘H’, ‘U’ og ‘B’. Vi kan derfor tenke på tipping som å gjøre et utvalg med tilbakelegging. Utvalget er ordnet fordi rekkefølgen på kampene har betydning.
En tippekupong vil følgelig kunne fylles ut på 312 = 531 441 måter, siden vi velger 12 ganger fra en mengde på 3 elementer.
Sannsynligheten for å få 12 rette hvis vi setter opp ei rekke tilfeldig, er
Hvis vi fyller ut tilfeldig, gir «gunstige på mulige» at sannsynligheten for å få 12 rette er ${\large \frac{1}{531 \, 441}} \approx 1{,}882\cdot 10^{−6}$, om lag 0,00019 %.
Ikke mye, men 10 ganger mer enn sannsynligheten for å vinne hovedgevinsten i Lotto.
I motsetning til i Lotto kan vi imidlertid i Tipping forbedre vinnersjansene ved å ikke velge tilfeldig, men ta hensyn til kvaliteten på lagene som spiller, og velge ut fra dette.
Dette er en forskjell på Lotto og Tipping. I Lotto har vi ingen mulighet til å forutse resultatet, alle mulige kombinasjoner er like sannsynlige. Slik er det ikke i Tipping, der sannsynlighetene varierer med hvilke lag som spiller. Så selv om å velge tilfeldig er en fin strategi i Lotto, er det ikke det i Tipping.
En kodelås består av tre kodehjul, hvert med sifre fra 0 til 9. Beregn hvor mange mulige koder som kan stilles inn på låsen.
I artikkelen om permutasjoner studerer vi hvilke kombinasjonsmuligheter vi har når vi setter elementer sammen i en bestemt rekkefølge. For eksempel kan vi, når vi velger to av tallene 1, 2 og 3, danne kombinasjonene 1-2, 1-3, 2-1, 2-3, 3-1 og 3-2. Disse kombinasjonene kalles ordnede utvalg fordi rekkefølgen elementene står i, er viktig. Men ser vi bort fra rekkefølgen, vil henholdsvis 1-2 og 2-1, 1-3 og 3-1, og 2-3 og 3-2 representere samme utvalg. Disse kalles uordnede utvalg fordi rekkefølgen elementene står er uten betydning. De mulige uordnede utvalgene består av kombinasjonene {1, 2}, {1, 3}, og {2, 3}.
Vi har tidligere introdusert en formel for å beregne antall k-permutasjoner av totalt n elementer. Dette er egentlig det samme som antall ordnede utvalg:
$\fbox{Antall ordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$: $\frac{\displaystyle n!}{\displaystyle (n − k)!}$}$
Siden k elementer kan organiseres på k! måter, betyr det at vi finner antall uordnede utvalg ved å dividere dette antallet på k!:
$\fbox{Antall uordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$: $\frac{\displaystyle n!}{\displaystyle k!(n − k)!}$}$
Eksempel 1:
I pengespillet Lotto dannes en vinnerrekke ved at det trekkes 7 av totalt 34 tall.
Antall måter en sekvens på 7 tall av totalt 34 kan trekkes på, er det samme som antall ordnede utvalg med 7 av 34 elementer:
${\large \frac{34!}{(34 − 7)!}} = 27 \, 113 \, 264 \, 460$.
Men når trekningen er foretatt, ordnes tallene i stigende rekkefølge, så rekkefølgen tallene trekkes i, har ingen betydning. For eksempel gir både 12-28-17-7-6-2-31 og 7-17-2-6-12-31-28 vinnerrekka 2-6-7-12-17-28-31.
For å finne antall mulige vinnerrekker, må vi altså dividere med antall måter 7 tall kan organiseres på, nemlig 7!, og beregne antall mulige uordnede utvalg:
${\large \frac{34!}{7!(34 − 7)!}} = 5 \, 379 \, 616$.
Det finnes altså ca. 5,38 millioner mulige vinnerrekker.
Det finnes en egen skrivemåte for å uttrykke «antall uordnede utvalg med k av totalt n elementer», ${\large \binom{n}{k}}$, som leses «n over k». Altså
$\fbox{${\large \binom{n}{k}} = \frac{\displaystyle n!}{\displaystyle k!(n − k)!}$}$
Vi kaller også gjerne dette «antall kombinasjoner med k av n elementer».
Excel har en egen funksjon, kombinasjon, til å beregne antall kombinasjoner, der kombinasjon(n, k) gir antall kombinasjoner med k av n elementer. Vi skriver for eksempel =kombinasjon(34; 7) for å gjøre beregningen i eksempel 1. Tilsvarende funksjon I GeoGebra heter ncr(n, k) Vi skriver for eksempel ncr(34, 7) i inntastingsfeltet eller CAS for å gjøre beregningen i eksempel 1.
Eksempel 2:
Vi skal regne ut hvor mange forskjellige pokerhender det finnes. En pokerhånd består av 5 av totalt 52 kort, så det vi må beregne er hvor mange kombinasjoner, altså antall uordnede utvalg, det finnes med 5 av 52 elementer. Vi får
${\large \binom{52}{5}} = {\large \frac{52!}{5!(52 − 5)!}} = 2 \, 598\, 960$, som er det samme tallet vi brukte da vi i introduksjonen regnet på sannsynlighet for å få tress utdelt i poker.
Vi kan kontrollere svaret i Excel ved å skrive =kombinasjon(52; 5) og i GeoGebra ved å skrive ncr(52, 5).
I en bedrift med 25 ansatte skal det velges 3 representanter til en delegasjon. Beregn hvor mange forskjellige delegasjoner som kan velges. Bruk formel, og kontroller svaret i Excel eller GeoGebra.