Stikkord: trekning med tilbakelegging

I artikkelen om ordnede og uordnede utvalg og artikkelen om utvalg fra blandede mengder beregner vi kombinasjonsmuligheter når vi trekker fra en mengde. Uten at vi presiserer det, trekker vi der uten tilbakelegging. Det vil si at når et element først er trukket ut, kan vi ikke trekke det på nytt. Nå skal vi se på «trekking med tilbakelegging», det vil si at vi legger uttrukne elementeter tilbake i den opprinnelige mengden, slik at de kan trekkes på nytt.

Som vi ser i artikkelen om permutasjoner, har vi, når vi trekker fra en mengde med n elementer, n valgmuligheter i første trekning, n−1 i andre, deretter n−2 og så videre. Vi har ikke tilbakelegging, så for hver trekning blir det ett element mindre å velge blant.

Trekker vi derimot flere ganger med tilbakelegging fra en mengde på n elementer, har vi hver gang n elementer å velge blant. Trekker vi 2 ganger, får vi n² mulige ordnede utvalg, trekker vi 3 ganger, får vi n³ mulige ordnede utvalg, og trekker vi k ganger, får vi n^k mulige ordnede utvalg.

$\fbox{Antall ordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$ ved tilbakelegging: $n^k$}$

Når vi trekker uten tilbakelegging, kan vi jo ikke trekke flere elementer enn de vi har, så k ≤ n. Noen slik begrensning eksisterer ikke med tilbakelegging, vi kan trekke så mange ganger vi vil.

Eksempel 1:

I eksempel 1 i artikkelen om ordnede og uordnede utvalg beregner vi at det finnes 27 113 264 460 mulige ordnede utvalg når vi trekker 7 av 34 lottokuler uten tilbakelegging. Trekker vi med tilbakelegging, finnes det 34⁷ = 52 523 350 144 mulige ordnede utvalg, ca. 94 % flere.

Dersom vi trekker få ganger blant mange elementer, blir forskjellen på antall utvalg med og uten tilbakelegging liten.

Eksempel 2:

Vi har 100 nummererte kuler, og trekker 2.

Uten tilbakelegging gir det 100 · 99 = 9900 mulige ordnede utvalg. Med tilbakelegging gir det 100² = 10 000 mulige ordnede utvalg, ca. 1 % flere.

Begrepet tilbakelegging skal vi imidlertid ikke alltid ta bokstavelig. Ofte er bare situasjonen at vi kan velge fra en mengde som ikke endrer seg.

Eksempel 3:

Ei rekke på en tippekupong består 12 kamper, der vi for hver kamp har valgmulighetene ‘H’, ‘U’ og ‘B’. Dette endrer seg aldri, vi vil for alle kamper kunne velge fra mengden som består av ‘H’, ‘U’ og ‘B’. Vi kan derfor tenke på tipping som å gjøre et utvalg med tilbakelegging. Utvalget er ordnet fordi rekkefølgen på kampene har betydning.

En tippekupong vil følgelig kunne fylles ut på 3¹² = 531 441 måter, siden vi velger 12 ganger fra en mengde på 3 elementer.

Sannsynligheten for å få 12 rette hvis vi setter opp ei rekke tilfeldig, er

Hvis vi fyller ut tilfeldig, gir «gunstige på mulige» at sannsynligheten for å få 12 rette er ${\large \frac{1}{531 \, 441}} \approx 1{,}882\cdot 10^{−6}$, om lag 0,00019 %.

Ikke mye, men 10 ganger mer enn sannsynligheten for å vinne hovedgevinsten i Lotto.

I motsetning til i Lotto kan vi imidlertid i Tipping forbedre vinnersjansene ved å ikke velge tilfeldig, men ta hensyn til kvaliteten på lagene som spiller, og velge ut fra dette.

Dette er en forskjell på Lotto og Tipping. I Lotto har vi ingen mulighet til å forutse resultatet, alle mulige kombinasjoner er like sannsynlige. Slik er det ikke i Tipping, der sannsynlighetene varierer med hvilke lag som spiller. Så selv om å velge tilfeldig er en fin strategi i Lotto, er det ikke det i Tipping.

Oppgave 1:

En kodelås består av tre kodehjul, hvert med sifre fra 0 til 9. Beregn hvor mange mulige koder som kan stilles inn på låsen.

Se løsningsforslag

Kilder

• • Hinna, K.R.C., Rinvold, R.A., Gustavsen, TS. (2011). QED 5-10, bind 1. Høyskoleforlaget
  • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
  • Birkeland, P.A., Breiteig, B., Venheim, R. (2012). Matematikk for lærere 2. Universitetsforlaget