Matte er moro
Tabellen under gir en oversikt over antall kombinasjonsmuligheter ved ordnede utvalg uten og med tilbakelegging, og uordnede utvalg uten og med tilbakelegging. Husk at «tilbakelegging» ofte ikke skal tas bokstavelig, men bare betyr at mengden vi velger fra, ikke endrer seg.
Rød skrift viser et eksempel der vi velger 3 fra en mengde på 8, og blå skrift viser en generell formel der vi velger k fra en mengde på n.
I artikkelen om ordnede og uordnede utvalg beregner vi antall uordnede utvalg ved å dividere antall ordnede utvalg med antall måter utvalget kan organiseres på. Hvis vi for eksempel trekker 2 ganger fra en mengde med 3 elementer, finnes det 3 · 2 = 6 ordnede utvalg som kan organiseres på 2! = 2 måter, noe som gir ${\large \frac{6}{2}} = 3$ uordnede utvalg. Heter elementene A, B og C, kan vi få de 6 ordnede utvalgene A-B, A-C, B-A, B-C, C-A og C-B. Dette utgjør 3 uordnede utvalg fordi, når rekkefølgen på elementene ikke spiller noen rolle, er A-B samme utvalg som B-A, A-C er samme utvalg som C-A, og B-C er samme utvalg som C-B.
De 3 uordnede utvalgene blir altså mengdene {A, B}, {A, C} og {B, C}.
Dette forutsetter imidlertid at vi trekker uten tilbakelegging. Trekker vi med tilbakelegging, blir situasjonen mer sammensatt fordi vi kan trekke samme element flere ganger.
Hvis vi for eksempel trekker 2 ganger fra en mengde med 3 elementer, finnes det 32 = 9 mulige ordnede utvalg. Heter elementene A, B og C, kan vi få de 9 ordnede utvalgene A-A, A-B, A-C, B-A, B-B, B-C, C-A, C-B og C-C. Her ser vi at mens utvalgene med to forskjellige elementer kan organiseres på 2 måter, kan utvalgene med to like elementer, altså A-A, B-B og C-C, bare organiseres på 1 måte.
Totalt får vi altså 6 mulige uordnede utvalg, som består av mengdene {A, A}, {A, B}, {A, C}, {B, B}, {B, C} og {C, C}.
Mange lærebøker tar overhodet ikke for seg beregning av antall uordnede utvalg med tilbakelegging, og vi skal heller ikke gå i detaljer, men vi skal i hvert fall presentere en formel. Hvis vi trekker k ganger fra en mengde på n elementer med tilbakelegging, vil antallet uordnede utvalg bli ${\large \binom{n + k – 1}{k}}$.
$\fbox{Antall uordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$ ved trekning med tilbakelegging: ${\large \binom{n + k – 1}{k}}$}$
Eksempel 1:
Vi trekker k = 2 ganger fra en mengde med n = 3 elementer, med tilbakelegging. Vi får da
${\large \binom{n + k – 1}{k}} = {\large \binom{3 + 2 – 1}{2}} = {\large \binom{4}{2}} = {\large \frac{4!}{2!(4 – 2)!}} = {\large \frac{24}{2 \cdot 2}} = 6$
mulige uordnede utvalg, slik vi så over, der vi trakk 2 ganger fra mengden {A, B, C}.
Begrepet tilbakelegging skal vi imidlertid ikke alltid ta bokstavelig. Ofte er bare situasjonen at vi kan velge fra en mengde som ikke endrer seg.
Eksempel 2:
Vi skal kjøpe 4 frukter, og kan velge mellom eple, pære og appelsin. Hvor mange forskjellige kombinasjoner er da mulige?
Dette er et uordnet utvalg på k = 4 fra en mengde på totalt n = 3. Så vi får:
${\large \binom{n + k – 1}{k}} = {\large \binom{3 + 4 – 1}{4}} = {\large \binom{6}{4}} = {\large \frac{6!}{4!(6 – 4)!}} = {\large \frac{720}{24 \cdot 2}} = 15$
Vi kan kontroller utregningen ved å sette opp alle mulighetene. Vi kaller eple E, pære P, og appelsin A:
En iskremkiosk har is med 10 forskjellige smaker, og du kjøper en kjeks med 3 iskremkuler. Hvor mange smakskombinasjoner kan du få hvis du kan velge flere kuler av samme type? Hvor mange smakskombinasjoner kan du få hvis du bare velger forskjellige typer?
I artikkelen om permutasjoner og artikkelen om ordnede og uordnede utvalg ser vi på hvor mange kombinasjoner vi kan danne av enhetlige mengder, det vil si mengder som bare inneholder én type ting, for eksempel lottokuler eller personer. Inneholder mengdene forskjellige typer ting, må vi utvide logikken litt. Vi illustrerer med noen eksempler:
Eksempel 1:
Fra en idrettsgruppe som består av 11 gutter og 8 jenter skal det velges 4 representanter, og vi vil finne ut hvor mange måter representantene kan kombineres på når vi krever at det skal velges 2 jenter og 2 gutter.
Her er vi egentlig ute etter to delmengder, én der 2 gutter velges blant 11, og én der 2 jenter velges blant 8.
2 gutter kan velges blant 11 på ${\large \binom{11}{2}} = {\large \frac{11!}{2!(11 − 2)!}} = 55$ måter.
2 jenter kan velges blant 8 på ${\large \binom{8}{2}} = {\large \frac{8!}{2!(8 − 2)!}} = 28$ måter.
Alle disse variantene kan kombineres med hverandre, så 2 jenter og 2 gutter kan velges på 55 · 28 = 1540 måter.
Vi beregner altså antall elementer i hver av delmengdene og multipliserer dem etterpå.
Vi dropper ofte å føre mellomregningene, og skriver bare utregningen i eksempel 1 som ${\large \binom{11}{2}} \cdot {\large \binom{8}{2}} = 55 \cdot 28 = 1540$.
Eksempel 2:
Fra idrettsgruppa i eksempel 1, som består av 11 gutter og 8 jenter, skal det velges 2 representanter, og vi vil finne ut hvor mange kombinasjoner av representanter det finnes med henholdsvis:
Vi får:
Her kunne vi nøyd oss med å stille opp 11 · 8, fordi vi blant 11 gutter kan velge 11 forskjellige, og blant 8 jenter kan velge 8 forskjellige. Men vi stiller opp hele regnestykket slik det er gjort, fordi det tydeliggjør metoden, og vi slipper å lage spesialtilfeller når vi skal velge 1.
Ta utgangspunkt i gruppa i eksempel 1 og 2, med 11 gutter og 8 jenter, og beregn hvor mange kombinasjoner det finnes med
Last ned regneark der du kan regne ut antall mulige elevutvalg
Eksempel 3:
En bridgehånd består av 13 kort. Vi vil finne ut hvor mange bridgehender som inneholder nøyaktig åtte ruter.
Det er ikke så tydelig som i eksempel 1 og 2, men også her skal vi velge to delmengder fra to mengder. Den ene mengden består av alle kort som er ruter, totalt 13 stykker. Den andre mengden består av alle kort som ikke er ruter, totalt 52 − 13 = 39 stykker. Fra mengden med ruter skal vi så velge 8 kort. Siden en bridgehånd består av totalt 13 kort, blir det da 13 − 8 = 5 kort som skal velges blant kortene som ikke er ruter.
Totalt gir det ${\large \binom{13}{8}} \cdot {\large \binom{39}{5}} = 1287 \cdot 575 \, 757= 740 \, 999 \, 259$ mulige hender med nøyaktig åtte ruter.
Beregn hvor mange korthender med 5 kort det finnes som
Prinsippet kan utvides til et vilkårlig antall mengder.
Eksempel 4:
En bedrift har fire avdelinger, der det arbeider henholdsvis 7, 11, 4 og 13 personer. Så skal vi regne ut hvor mange utvalg på 8 personer det finnes med to representanter fra hver avdeling.
Dette blir ${\large \binom{7}{2}} \cdot {\large \binom{11}{2}} \cdot {\large \binom{4}{2}} \cdot {\large \binom{13}{2}} = 21 \cdot 55 \cdot 6 \cdot 78 = 540\,540$.
I artikkelen om permutasjoner studerer vi hvilke kombinasjonsmuligheter vi har når vi setter elementer sammen i en bestemt rekkefølge. For eksempel kan vi, når vi velger to av tallene 1, 2 og 3, danne kombinasjonene 1-2, 1-3, 2-1, 2-3, 3-1 og 3-2. Disse kombinasjonene kalles ordnede utvalg fordi rekkefølgen elementene står i, er viktig. Men ser vi bort fra rekkefølgen, vil henholdsvis 1-2 og 2-1, 1-3 og 3-1, og 2-3 og 3-2 representere samme utvalg. Disse kalles uordnede utvalg fordi rekkefølgen elementene står er uten betydning. De mulige uordnede utvalgene består av kombinasjonene {1, 2}, {1, 3}, og {2, 3}.
Vi har tidligere introdusert en formel for å beregne antall k-permutasjoner av totalt n elementer. Dette er egentlig det samme som antall ordnede utvalg:
$\fbox{Antall ordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$: $\frac{\displaystyle n!}{\displaystyle (n − k)!}$}$
Siden k elementer kan organiseres på k! måter, betyr det at vi finner antall uordnede utvalg ved å dividere dette antallet på k!:
$\fbox{Antall uordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$: $\frac{\displaystyle n!}{\displaystyle k!(n − k)!}$}$
Eksempel 1:
I pengespillet Lotto dannes en vinnerrekke ved at det trekkes 7 av totalt 34 tall.
Antall måter en sekvens på 7 tall av totalt 34 kan trekkes på, er det samme som antall ordnede utvalg med 7 av 34 elementer:
${\large \frac{34!}{(34 − 7)!}} = 27 \, 113 \, 264 \, 460$.
Men når trekningen er foretatt, ordnes tallene i stigende rekkefølge, så rekkefølgen tallene trekkes i, har ingen betydning. For eksempel gir både 12-28-17-7-6-2-31 og 7-17-2-6-12-31-28 vinnerrekka 2-6-7-12-17-28-31.
For å finne antall mulige vinnerrekker, må vi altså dividere med antall måter 7 tall kan organiseres på, nemlig 7!, og beregne antall mulige uordnede utvalg:
${\large \frac{34!}{7!(34 − 7)!}} = 5 \, 379 \, 616$.
Det finnes altså ca. 5,38 millioner mulige vinnerrekker.
Det finnes en egen skrivemåte for å uttrykke «antall uordnede utvalg med k av totalt n elementer», ${\large \binom{n}{k}}$, som leses «n over k». Altså
$\fbox{${\large \binom{n}{k}} = \frac{\displaystyle n!}{\displaystyle k!(n − k)!}$}$
Vi kaller også gjerne dette «antall kombinasjoner med k av n elementer».
Excel har en egen funksjon, kombinasjon, til å beregne antall kombinasjoner, der kombinasjon(n, k) gir antall kombinasjoner med k av n elementer. Vi skriver for eksempel =kombinasjon(34; 7) for å gjøre beregningen i eksempel 1. Tilsvarende funksjon I GeoGebra heter ncr(n, k) Vi skriver for eksempel ncr(34, 7) i inntastingsfeltet eller CAS for å gjøre beregningen i eksempel 1.
Eksempel 2:
Vi skal regne ut hvor mange forskjellige pokerhender det finnes. En pokerhånd består av 5 av totalt 52 kort, så det vi må beregne er hvor mange kombinasjoner, altså antall uordnede utvalg, det finnes med 5 av 52 elementer. Vi får
${\large \binom{52}{5}} = {\large \frac{52!}{5!(52 − 5)!}} = 2 \, 598\, 960$, som er det samme tallet vi brukte da vi i introduksjonen regnet på sannsynlighet for å få tress utdelt i poker.
Vi kan kontrollere svaret i Excel ved å skrive =kombinasjon(52; 5) og i GeoGebra ved å skrive ncr(52, 5).
I en bedrift med 25 ansatte skal det velges 3 representanter til en delegasjon. Beregn hvor mange forskjellige delegasjoner som kan velges. Bruk formel, og kontroller svaret i Excel eller GeoGebra.
Se filmen «Blandede mengder»