Matte er moro
Tabellen under gir en oversikt over antall kombinasjonsmuligheter ved ordnede utvalg uten og med tilbakelegging, og uordnede utvalg uten og med tilbakelegging. Husk at «tilbakelegging» ofte ikke skal tas bokstavelig, men bare betyr at mengden vi velger fra, ikke endrer seg.
Rød skrift viser et eksempel der vi velger 3 fra en mengde på 8, og blå skrift viser en generell formel der vi velger k fra en mengde på n.
I artikkelen om ordnede og uordnede utvalg beregner vi antall uordnede utvalg ved å dividere antall ordnede utvalg med antall måter utvalget kan organiseres på. Hvis vi for eksempel trekker 2 ganger fra en mengde med 3 elementer, finnes det 3 · 2 = 6 ordnede utvalg som kan organiseres på 2! = 2 måter, noe som gir ${\large \frac{6}{2}} = 3$ uordnede utvalg. Heter elementene A, B og C, kan vi få de 6 ordnede utvalgene A-B, A-C, B-A, B-C, C-A og C-B. Dette utgjør 3 uordnede utvalg fordi, når rekkefølgen på elementene ikke spiller noen rolle, er A-B samme utvalg som B-A, A-C er samme utvalg som C-A, og B-C er samme utvalg som C-B.
De 3 uordnede utvalgene blir altså mengdene {A, B}, {A, C} og {B, C}.
Dette forutsetter imidlertid at vi trekker uten tilbakelegging. Trekker vi med tilbakelegging, blir situasjonen mer sammensatt fordi vi kan trekke samme element flere ganger.
Hvis vi for eksempel trekker 2 ganger fra en mengde med 3 elementer, finnes det 32 = 9 mulige ordnede utvalg. Heter elementene A, B og C, kan vi få de 9 ordnede utvalgene A-A, A-B, A-C, B-A, B-B, B-C, C-A, C-B og C-C. Her ser vi at mens utvalgene med to forskjellige elementer kan organiseres på 2 måter, kan utvalgene med to like elementer, altså A-A, B-B og C-C, bare organiseres på 1 måte.
Totalt får vi altså 6 mulige uordnede utvalg, som består av mengdene {A, A}, {A, B}, {A, C}, {B, B}, {B, C} og {C, C}.
Mange lærebøker tar overhodet ikke for seg beregning av antall uordnede utvalg med tilbakelegging, og vi skal heller ikke gå i detaljer, men vi skal i hvert fall presentere en formel. Hvis vi trekker k ganger fra en mengde på n elementer med tilbakelegging, vil antallet uordnede utvalg bli ${\large \binom{n + k – 1}{k}}$.
$\fbox{Antall uordnede utvalg med $k$ elementer av totalt $n$ ved trekning med tilbakelegging: ${\large \binom{n + k – 1}{k}}$}$
Eksempel 1:
Vi trekker k = 2 ganger fra en mengde med n = 3 elementer, med tilbakelegging. Vi får da
${\large \binom{n + k – 1}{k}} = {\large \binom{3 + 2 – 1}{2}} = {\large \binom{4}{2}} = {\large \frac{4!}{2!(4 – 2)!}} = {\large \frac{24}{2 \cdot 2}} = 6$
mulige uordnede utvalg, slik vi så over, der vi trakk 2 ganger fra mengden {A, B, C}.
Begrepet tilbakelegging skal vi imidlertid ikke alltid ta bokstavelig. Ofte er bare situasjonen at vi kan velge fra en mengde som ikke endrer seg.
Eksempel 2:
Vi skal kjøpe 4 frukter, og kan velge mellom eple, pære og appelsin. Hvor mange forskjellige kombinasjoner er da mulige?
Dette er et uordnet utvalg på k = 4 fra en mengde på totalt n = 3. Så vi får:
${\large \binom{n + k – 1}{k}} = {\large \binom{3 + 4 – 1}{4}} = {\large \binom{6}{4}} = {\large \frac{6!}{4!(6 – 4)!}} = {\large \frac{720}{24 \cdot 2}} = 15$
Vi kan kontroller utregningen ved å sette opp alle mulighetene. Vi kaller eple E, pære P, og appelsin A:
En iskremkiosk har is med 10 forskjellige smaker, og du kjøper en kjeks med 3 iskremkuler. Hvor mange smakskombinasjoner kan du få hvis du kan velge flere kuler av samme type? Hvor mange smakskombinasjoner kan du få hvis du bare velger forskjellige typer?