Kategori: Algebra

Publisert

Følger

Hva er en følge?

En følge er en mengde objekter som er ordnet, det vil si at de har en bestemt rekkefølge. I eksemplene i denne artikkelen er disse objektene tall, men en følge kan også bestå av andre objekter, for eksempel algebraiske symboler.

Eksempel 1:

En tallfølge: 1, 2, 3, …

Eksempel 2:

En tallfølge: ${\large \frac{1}{2}}, {\large\frac{1}{4}}, {\large\frac{1}{8}}, \dots$

En følge kan inneholde et endelig eller uendelig antall ledd. Det er vanlig å bruke bokstaven a som navn på leddene i en følge, sammen med et suffiks som forteller hvilket nummer i følgen leddet er.

I eksempel 1 har vi at a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, og så videre.

I eksempel 2 har vi at $a_1 = {\large \frac{1}{2}}, a_2 = {\large \frac{1}{4}}, a_3 = {\large \frac{1}{8}}$, og så videre.

Eksplisitt formel for følger

Å angi verdiene til leddene i en følge uten å ramse dem opp, kan gjøres ved å angi en formel for det generelle elementet an. Det kan gjøres på to måter, eksplisitt og rekursivt. Eksplisitt forteller vi direkte hvilken verdi et ledd har.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere eksplisitt med formelen an = n.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere eksplisitt med formelen $a_n = {\large \frac{1}{2^{\Large n}}}$.

Rekursiv formel for følger

Rekursivt forteller vi hvilken verdi et ledd har ved å henvise til ett eller flere av de foregående leddene. Vi må da også angi én eller flere startverdier.

Følgen i eksempel 1 kan vi definere rekursivt ved å si at a1 = 1 og an + 1 = an + 1, fordi første ledd er 1, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd pluss 1.

Følgen i eksempel 2 kan vi definere rekursivt ved å si at $a_1 = \large \frac{1}{2}$ og $a_{n+1} = \large \frac{a_n}{2}$, fordi første ledd er $\large \frac{1}{2}$, og de etterfølgende leddene er lik forrige ledd dividert med 2.

Oppgave 1:

Skriv de fem første leddene i følgene gitt ved

  1. an = (−1)n · 2n
     
  2. a1 = −2 og an+1 = −2an

SkjermfilmSe film der løsningsforslaget vises
 

Aritmetiske og geometriske følger

To spesielle former for følger er aritmetiske følger og geometriske følger. I en aritmetisk følge er hvert ledd lik det forrige pluss en konstant, i en geometrisk følge er hvert ledd lik det forrige multiplisert med en konstant. Eksempel 1 er en aritmetisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige pluss konstanten 1, og eksempel 2 er en geometrisk følge fordi hvert ledd er lik det forrige multiplisert med konstanten ${\large \frac{1}{2}}$.

Oppgave 2:

Avgjør om følgene under er aritmetiske eller geometriske, og angi i så fall en rekursiv formel for dem.

  1. 0, −2, −4, −6, −8, …
     
  2. 1, −2, 4, −8, 16, …
     
  3. 2, 3, 5, 7, 11, …

SkjermfilmSe film der løsningsforslaget vises
 

Å finne en eksplisitt formel for en aritmetisk eller geometrisk følge er ikke vanskelig. I en aritmetisk følge har vi at hvert ledd er lik det forrige pluss en konstant k. Vi har at

a2 = a1 + k

a3 = a2 + k = (a1 + k) + k = a1 + 2k

a4 = a3 + k = (a1 + 2k) + k = a1 + 3k

Slik kan vi holde på opp til element nummer n, og vi får at

$\fbox{Aritmetisk følge: $a_n = a_1 + (n − 1)k$}$

Tilsvarende får vi for en geometrisk følge at

$\fbox{Geometrisk følge: $a_n = a_1 \cdot k^{n − 1}$}$

Oppgave 3:

Finn en eksplisitt formel for følgene

  1. 4, 1, −2, −5, −8, …
     
  2. 3, −6, 12, −24, 48, …

SkjermfilmSe film der løsningsforslaget vises
 

Konvergente og divergente følger

En følge kan ha et begrenset antall ledd, eller den kan ha uendelig mange ledd. 

​Dersom verdiene i en uendelig lang følge kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, er følgen konvergent. I motsatt fall er den divergent.

Eksempel 3:

Følgen 1, 2, 3, … er divergent fordi leddene ikke nærmer seg noen bestemt verdi jo lenger ut vi går.

Eksempel 4:

Følgen $1, {\large \frac{1}{2}}, {\large \frac{1}{3}}, {\large \frac{1}{4}}, \dots$ er konvergent fordi leddene stadig kommer nærmere en bestemt verdi jo lenger ut vi går, i dette tilfellet 0.

Fibonaccis følge

Følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … kalles Fibonaccis følge. Tallene i følgen kalles gjerne fibonaccitall. Fibonaccis følge angis lettest med en rekursiv formel:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_1 = 1, \; a_2 = 1, \; a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$}$

De to første leddene er altså lik 1, deretter er hvert ledd lik summen av de to foregående.

Oppgave 4:

Bruk regneark til å

  1. finne de 30 første tallene i Fibonaccis følge.
     
  2. Finne kvotienten mellom etterfølgende tall i følgen, altså $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ for $n = 1 \dots 29$.

SkjermfilmSe film der løsningsforslaget vises
 

Det gylne snitt

Jo lenger ut i Fibonaccis følge vi går, jo mer nærmer kvotienten $\frac{\displaystyle a_{n + 1}}{\displaystyle a_n}$ seg en verdi som kalles det gylne snitt:

$\fbox{Det gylne snitt: $\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}$}$

Det gylne snitt er et mål for hvordan vi deler et linjestykke med lengde a + b slik at ${\large \frac{a + b}{a}} = {\large \frac{a}{b}}$. Dette er illustrert i bildet under, der et linjestykke er delt i det gylne snitt. Hele linjestykket forholder seg til den blå delen slik den blå delen forholder seg til den røde delen.

Linjestykke som illustrerer det gylne snitt.

Fibonacci kom fram til følgen som et uttrykk for hvordan et kaninpar formerer seg. Både fibonaccitall og det gylne snitt opptrer i en mengde forskjellige sammenhenger i naturen. 

I begynnelsen av avsnittet anga vi en rekursiv formel for Fibonaccis følge. Det er ikke lett å finne en eksplisitt formel, men ved hjelp av lineær algebra har en funnet fram til følgende:

$\fbox{Fibonaccis følge: $a_n = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle \sqrt 5}\Big[{\Big(\frac{\displaystyle 1 + \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n − {\Big(\frac{\displaystyle 1 − \sqrt 5}{\displaystyle 2}\Big)}^n \Big]$}$

Det virker kanskje underlig at denne formelen med tre forekomster av det irrasjonale tallet $\sqrt 5$ resulterer i fibonaccitall, som alle er naturlige, men den gjør det. Bare prøv i et regneark. Vi legger også merke til at det gylne snitt inngår som en del av formelen.

Spesielle egenskaper

Andre interessante egenskaper ved Fibonaccis følge er

  • To fibonaccitall som følger etter hverandre er innbyrdes primiske.
     
  • Største felles faktor for to fibonaccitall er igjen et fibonaccitall.
     
  • Alle naturlige tall kan skrives som en sum av forskjellige fibonaccitall.

Kilder

    • Breiteig T. (2007). Bak tallene. Innføring i tallteori. Kompendium, Universitetet i Agder.
    • Thomas G.B. & Finney R.L. (1988). Calculus and analytic geometry, Addison-Wesley.
    • Brodahl, C. Interaktive animasjoner.
Publisert

Faktorisere polynomer

Med å faktorisere polynomer mener vi å dele et polynom opp i faktorer av polynomer av lavere grad,

Andregradspolynomer

Bruke konjugatsetningen baklengs

Dersom et andregradspolynom er på formen $x^2 − k$, kan vi enkelt faktorisere det ved å bruke konjugatsetningen baklengs, og skrive polynomet som $(x + \sqrt{k})(x − \sqrt{k})$.

Eksempel 1:

Vi skal faktorisere x2 − 9.

Vi bruker konjugatsetningen baklengs, og får at
$x^2 − 9 = (x + \sqrt{9})(x − \sqrt{9}) = (x + 3)(x − 3)$.

Dersom k < 0, vil faktorene bli to kompleks konjugerte tall.

Eksempel 2:

Vi skal faktorisere x2 + 9.

Dette polynomet kan skrives som x2 − (−9).

$\sqrt{−9}$ kan skrives som $\sqrt{9} \cdot \sqrt{−1}$. Siden $\sqrt{−1} = i$, blir dette 3i.

Ved å bruke konjugatsetningen baklengs, får vi derfor at
$x^2 + 9 = x^2 − (−9) = (x + \sqrt{−9})(x − \sqrt{−9}) = (x + 3i)(x − 3i)$.

Bruke kvadratsetningene baklengs

Enkelte andregradspolynomer kan faktoriseres ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning baklengs, for eksempel er x2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) og x2 − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3).

Oppgave 1:

Faktoriser polynomet (4x2 − 8x + 4)(x2 − 4) ved å bruke henholdsvis 2. kvadratsetning og konjugatsetningen baklengs.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Mens det er kjapt å identifisere polynomer som kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen baklengs, kan det være mer arbeidsomt å identifisere dem som kan faktoriseres ved hjelp av 1. eller 2. kvadratsetning. Så det kan i stedet være like greit å bruke den generelle metoden med nullpunkter, som er beskrevet i neste avsnitt.

Bruke nullpunkter

Det generelle andregradspolynomet er på formen ax2 + bx + c. For å finne nullpunktene må vi finne de verdiene av x som gjør at ax2 + bx + c = 0. Dette vet vi at vi kan gjøre ved hjelp av abc-formelen, $x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}}$.

Når vi har funnet x1 og x2, kan vi faktorisere polynomet ax2 + bx + c, som a(x − x1)(x − x2).

Eksempel 3:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet 2x2 − 10x + 12.

Vi bruker abc-formelen til å finne polynomets nullpunkter:

$x_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 2 \cdot 12}}{2 \cdot 2}} = {\large \frac{10 \pm \sqrt{4}}{4}} = {\large \frac{10 \pm 2}{4}} = {\large \frac{5 \pm 1}{2}}$

Så

$x_1= {\large \frac{5+1}{2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

$x_2= {\large \frac{5-1}{2}} = {\large \frac{4}{2}}= 2$

Koeffisienten a er 2, så vi får at

 2x2 − 10x + 12 = 2(x − 3)(x − 2).

Vi kan lett kontrollere svaret ved å multiplisere ut parentesuttrykket:

2(x − 3)(x − 2) = 2(x2 − 2x − 3x + 6) = 2(x2 − 5x + 6) = 2x2 − 10x + 12. Som er det vi startet med.

I GeoGebra kan vi faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen Faktoriser i CAS. For å faktorisere polynomet i eksempel 3, for eksempel, skriver vi Faktoriser(2x^2 − 10x + 12) i CAS. GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2), som er det samme som vi fant i eksempel 3.

Eksempel 4:

Vi skal faktorisere andregradspolynomet −x2 + 6x − 9.

Vi bruker abc−formelen til å løse likningen −x2 + 6x − 9 = 0 og derved finne polynomets nullpunkter.

$x_{1, 2} = {\large \frac{−6\pm \sqrt{6^2 −4 \cdot (−1) \cdot (−9)}}{2 \cdot (−1)}} = {\large \frac{−6 \pm \sqrt{0}}{−2}} = {\large \frac{6}{2}} = 3$

Her er både x1 = 3 og x2 = 3.

Koeffisienten a er −1, så vi får at

−x2 + 6x − 9 = −(x − 3)(x − 3).

Som vi kan skrive som −(x − 3)2.

Vi kan kontroller svaret i GeoGebra ved å skrive Faktoriser(−x^2 + 6x – 9) i CAS. GeoGebra svarer med −(x − 3)2.

Oppgave 2:

Faktoriser polynomet 2x2 + 12x + 10 når du vet at x1 = −1 og x2 = −5 er polynomets nullpunkter. 

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Polynomer av høyere grad

I artikkelen om abc-formelen ser vi at en andregradslikning kan ha to forskjellige, to sammenfallende, eller ingen løsninger. Det tilsvarende andregradspolynomet har da to forskjellige, to like eller ingen nullpunkter.

Generelt har et polynom av grad n inntil n nullpunkter. Disse kan vi bruke til å faktorisere polynomet, for hvis xn er et nullpunkt, vil (x − xn) være en faktor. (Strengt tatt har et polynom av grad n nøyaktig n nullpunkter, men noen av disse kan være sammenfallende eller være komplekse tall.)

Kaller vi polynomet p(x), vil grafen til y = p(x) skjære x-aksen i nullpunktene. Dette er illustrert under, der p(x) er fire forskjellige fjerdegradspolynomer.

Fjerdegradspolynomer

4 nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2 + 2
Fire forskjellige nullpunkter

3 nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2
To forskjellige, og to sammenfallende nullpunkter

2 nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2 − 1
To forskjellige nullpunkter

Ingen nullpunkter

p(x) = x4 − 4x2 + 5
Ingen nullpunkter

 

Å finne nullpunktene til polynomer av høyere grad enn 2 er imidlertid ikke liketil, og ikke noe vi skal beskjeftige oss med, med noen få unntak:

Sette x utenfor parentes

Dersom et tredjegradspolynom mangler konstantleddet, kan vi faktorisere det ved å bruke den distributive lov baklengs, og sette x utenfor parentes.

Eksempel 5:

Vi skal faktorisere tredjegradspolynomet 2x3 − 10x2 + 12x.

Vi setter x utenfor parentes: 2x3 − 10x2 + 12x = x(2x2 − 10x + 12).

Inni parentesen har vi nå et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen. Her er polynomet det samme som i eksempel 3, så vi vet at nullpunktene er x1 = 3 og x2 = 2, og at polynomet faktoriseres som 2(x − 3)(x − 2).

Vi har altså at 2x3 − 10x2 + 12x = x(2x2 − 10x + 12) = x(2(x − 3)(x − 2)) = 2x(x − 3)(x − 2).

Det tredje nullpunktet får vi når x utenfor parentesen er 0, x3 = 0.

Skriver vi Faktoriser(2x^3 – 10x^2 + 12x) i CAS, svarer GeoGebra med 2x(x − 3)(x − 2).

Vi kan ikke bruke metoden i eksempel 5 hvis tredjegradspolynomet har et konstantledd, som for eksempel 2x3 − 10x2 + 12x + 1, fordi vi da har et ledd som ikke inneholder x, så vi kan ikke sette x utenfor parentes.

Har vi et fjerdegradspolynom som ikke inneholder ledd med lavere grad enn x2, kan vi sette x2 utenfor parentes. Inni parentesen vil vi da ha et andregradspolynom som vi kan finne nullpunktene til ved å bruke abc-formelen.

Oppgave 3:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x4 + x3 − 6x2. Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Generelt, hvis vi har et polynom av grad n som ikke inneholder ledd med lavere grad enn n−2, kan vi sette xn−2 utenfor parentes og stå igjen med et andregradspolynom inni parentesen.

Erstatte kvadratet av x

Hvis vi har et fjerdegradspolynom som ikke har tredjegradsledd, kan vi erstatte x2 med en variabel i første potens. Vi får da et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til.

Eksempel 6:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 − 13x2 + 36.

x4 kan skrives som (x2)2, så vi kan skrive polynomet som (x2)2 − 13x2 + 36.

Vi erstatter så x2 med en variabel i første potens, la oss kalle den s. Polynomet blir da s2 − 13s + 36.

Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:

$s_{1, 2} = {\large \frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 -4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{13 \pm 5}{2}}$

Så vi får

$s_{1} = {\large \frac{13 + 5}{2}} = {\large \frac{18}{2}} = 9$

$s_{2} = {\large \frac{13 − 5}{2}} = {\large \frac{8}{2}} = 4$

Koeffisienten a er 1, så det betyr at s2 − 13s + 36 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 4).

Siden vi har at s = x2, er dette det samme som (x2 − 9)(x2 − 4).

Så må vi faktorisere andregradspolynomene x2 − 9 og x2 − 4. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke konjugatsetningen baklengs:

x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) og

x2 − 4 = (x + 2)(x − 2)

Så vi har at x4 − 13x2 + 36 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 2)(x − 2) 

Skriver vi Faktoriser(x^4 – 13x^2 + 36) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 2)(x + 2)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.

Oppgave 4:

Faktoriser fjerdegradspolynomet x4 − 10x2 + 9. Sjekk utregningen i GeoGebra.

Se løsningsforslag

Bruke polynomdivisjon

For polynomer av en hvilken som helst grad vil det være slik at hvis xn er et nullpunkt, vil (x − xn) være en faktor i polynomet.

Det betyr at vi hvis vi vet at xn er et nullpunkt i et polynom, kan vi redusere graden til polynom med 1 ved å dividere polynomet med (x − xn), slik det beskrives i artikkelen om polynomdivisjon.

Eksempel 7:

Vi skal faktorisere polynomet −x3 + 4x2 − x − 6, og vet at xn = 2 er ett av polynomets nullpunkter. Da vet vi at −x3 + 4x2 − x − 6 kan skrives som (?)(x − 2), der ? er et eller annet polynom av 2. grad. Dette ukjente polynomet kan vi finne ved polynomdivisjon. I eksempel 1 i artikkelen om polynomdivisjon gjør vi denne utregningen, og finner ut at

(−x3 + 4x2 − x − 6) : (x − 2) = −x2 + 2x + 3.

Så −x3 + 4x2 − x − 6 = (−x2 + 2x + 3)(x − 2).

Så gjenstår det å faktorisere andregradspolynomet −x2 + 2x + 3. Dette polynomets nullpunkter finner vi ved å løse likningen −x2 + 2x + 3 = 0.
Vi tar ikke med utregningene her, men svaret er x1 = −1, x2 = 3. Det betyr at −x2 + 2x + 3 = −(x + 1)(x − 3). Legg merke til minus-tegnet foran parentesene, det kommer av at a i andregradspolynomet er −1.

Nå har vi altså kommet fram til at −x3 + 4x2 − x − 6 = −(x + 1)(x − 3)(x − 2), og polynomet er faktorisert så langt det går.

Oppgave 5:

Faktoriser polynomet −x4 + x3 + 11x2 − 9x − 18 når du vet at x1 = −3 og x2 = 2 er nullpunkter i polynomet.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Polynomdivisjon

Divisjon av flersifrede tall

På barneskolen lærer vi å utføre divisjon av tall med flere sifre.

Et eksempel er vist under. Her skal 372 deles på 31.

Divisjon av tall, trinn 1

Da spør vi hva vi får når vi dividerer sifferet lengst til venstre i dividenden med sifferet lengst til venstre i divisor. Jo, 3 : 3 = 1. Så multipliserer vi divisor med ett-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi 1 · 31 = 31. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

 Divisjon av tall, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende sifrene fra dividenden, og vi har fått en ny dividend.

Divisjon av tall, trinn 3

Så spør vi igjen hva vi får når vi dividerer sifferet lengst til venstre i dividenden med sifferet lengst til venstre i divisor. Jo, 6 : 3 = 2. Vi multipliserer divisor med to-tallet og stiller resultatet under dividenden. Her får vi 2 · 31 = 62. Deretter subtraherer vi dette tallet fra dividenden.

Divisjon av tall, trinn 4

Her står vi igjen med 0, noe som betyr at 372 : 31 = 12. Hvis vi står igjen med noe annet enn 0 til slutt, går ikke divisjonen opp, og vi får en rest.

Divisjon av polynomer

Etter samme mønster som for divisjon av tall kan vi også dividere polynomer. Metoden forutsetter at polynomet er ordnet etter synkende potenser.

Eksempel 1:

Vi skal bruke polynomdivisjon til å beregne (−x3 + 4x2 − x − 6) : (x − 2):

Divisjon av polynomer, trinn 1

Når vi dividerer første ledd i dividenden med første ledd i divisor, får vi −x3 : x = −x2. Vi multipliserer så divisor med −x2 og får −x2 · (x − 2) = −x3 + 2x2. Så stiller vi resultatet under dividenden og subtraherer.

Divisjon av polynomer, trinn 2

Så flytter vi ned de resterende leddene fra dividenden, og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 3

Så dividerer vi igjen første ledd i dividenden med første ledd i divisor, og får 2x2 : x = 2x. Vi multipliserer så divisor med 2x og får 2x · (x − 2) = 2x2 − 4x. Så stiller vi resultatet under dividenden, subtraherer, flytter de resterende leddene ned, og får en ny dividend.

Divisjon av polynomer, trinn 4

Så gjentar vi operasjonen enda en gang. 3x : x = 3. Vi multipliserer divisor med 3 og får 3x − 6. Setter under dividenden og subtraherer. Resultatet blir 0. Divisjonen går altså opp.

Divisjon av polynomer, trinn 5

Oppgave 1:

Utfør polynomdivisjonen (x3 − 1) : ( x − 1).

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Divisjon med rest

Det er naturligvis ikke alltid en divisjon går opp. Da får vi en rest. (x4 + 3x2 − 4) : (x2 + 2x) blir for eksempel
x2 − 2x + 7 med rest −14x − 4. Det vil si at

$\frac{\displaystyle x^4 + 3x^2 − 4}{\displaystyle x^2 + 2x} = x^2 − 2x + 7 \; − \; \frac{\displaystyle 14x + 4}{\displaystyle x^2 + 2x}$

Oppgave 2:

Utfør polynomdivisjonen nevnt over, altså (x4 + 3x2 − 4) : (x2 + 2x).

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
Publisert

Hva er polynomer?

Et polynom er et uttrykk med en sum av ledd, der hvert ledd består av en konstant multiplisert med en variabel opphøyd i et ikke−negativt heltall. Konstantene kaller vi koeffisienter. Den høyeste eksponenten angir graden til polynomet. Vi sorterer leddene fra venstre mot høyre etter synkende eksponenter.

Variabelen kalles ofte x, men det kan finnes tilfeller der vi velger andre variabelnavn.

Eksempel 1:

7x2 − 9x + 4 er et polynom som består av en sum av tre ledd. Selv om vi egentlig subtraherer leddet 9x, kan vi tenke på uttrykket som en sum av ledd der en av koeffisientene er negativ: 7x2 + (−9x) + 4.

Polynomet er av andre grad fordi den høyeste eksponenten er 2. Koeffisienten til andregradsleddet er 7, koeffisienten til førstegradsleddet er −9, og vi har et konstantledd som er 4.

I artikkelen om potensregning ser vi at å opphøye i 1 ikke har noen effekt, og at alle tall opphøyd i 0 blir 1. Tar vi med eksponentene 1 og 0 i polynomet i eksempel 1, blir det 7x2 − 9x1 + 4x0. Vi ser at alle leddene består av en koeffisient multiplisert med en potens av en variabel, der eksponenten er et ikke−negativt heltall, i henhold til definisjonen av et polynom. Men det er ikke vanlig å skrive eksponenten som er 1, den er underforstått. Det er heller ikke vanlig å ta med x0, vi skriver bare den tilhørende koeffisienten, og kaller leddet et konstantledd.

Det er bare eksponentene som må være ikke-negative heltall, koeffisientene kan være alle typer tall. På dette nettstedet arbeider vi imidlertid bare med polynomer der koeffisientene er hele tall.

Et førstegradspolynom skriver vi generelt på formen ax + b, der a og b er vilkårlige tall, og x er en variabel, for eksempel 2x + 3 eller −5x + 4.

Et andregradspolynom skriver vi generelt på formen ax2 + bx + c, der a, b og c er vilkårlige tall, og x er en variabel, for eksempel 7x2 − 9x + 4 som i eksempel 1.

Vi kan lage polynomer av høyere grad ved å legge til et tredjegradsledd, x3, et fjerdegradsledd, x4, og så videre. Hvert ledd multipliserer vi med en koeffisient. I førstegradspolynomet brukte vi a og b som navn på koeffisientene, i andregradspolynomet brukte vi a, b og c. I et tredjegradspolynom kan vi legge til en koeffisient, d, og få uttrykket ax3 + bx2 + cx + d. Slik kan vi fortsette, men tar vi med mange nok ledd, vil vi slippe opp for bokstaver. Vi kaller derfor i stedet koeffisientene i et polynom av grad n for a0, a1 og så videre opp til an. Det generelle uttrykket for et polynom av grad n blir da

anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0

Eksempel 2:

x4 + 6x3 + 7x2 − 5x − 1 er et fjerdegradspolynom. Koeffisientene er henholdsvis a4 = 1, a3 = 6, a2 = 7, a1 = −5 og a0 = −1.

Bortsett fra koeffisienten til leddet av høyeste grad, an, kan hvilken som helst av koeffisientene i et polynom være 0.

Eksempel 3:

−2x5 + 3x er et femtegradspolynom. Koeffisientene er henholdsvis a5 = −2, a4 = 0, a3 = 0, a2 = 0, a1 = 3 og a0 = 0.

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
Publisert

Likninger med ukjent under brøkstrek

Dersom den ukjente står i nevneren i en brøk, vil en god løsningstaktikk gjerne være å, som første steg, sørge for at den ukjente kommer bort fra nevneren. Det gjør vi ved å multiplisere med nevneren på begge sider av likhetstegnet.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = 2$.

Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 2:
$\frac{\displaystyle 8(x + 2)}{\displaystyle x + 2} = 2(x + 2)$

Vi forkorter med x + 2 i brøken:
8 = 2(x + 2)

Vi multipliserer 2-tallet inn i parentesen:
8 = 2x + 4

Vi flytter 2x over til venstre side med fortegnsskifte og 8 over til høyre med fortegnsskifte:
−2x = 4 − 8

Vi regner ut høyre side:
−2x = − 4

Vi dividerer begge sider med −2:
x = 2

Setter vi prøve på svaret, får vi:

V.S.: $\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 2 + 2} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 4} = 2$

Dette er det samme som står på høyre side, så løsningen er riktig.

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3}$.

Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 2:
$\frac{\displaystyle 2(x+2)}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4(x+2)}{\displaystyle x + 3}$

Vi forkorter med x + 2 i brøken på venstre side:
$2 = \frac{\displaystyle 4(x+2)}{\displaystyle x + 3}$

Vi multipliserer begge sider av likningen med x + 3:
$2(x+3) = \frac{\displaystyle 4(x+2)(x+3)}{\displaystyle x + 3}$

Vi forkorter med x + 3 i brøken på høyre side:
2(x + 3) = 4(x + 2)

Vi multipliserer 2- og 4-tallet inn i parentesene:
2x + 6 = 4x + 8

Vi flytter 4x over til venstre side med fortegnsskifte og 6 over til høyre med fortegnsskifte:
2x − 4x = 8 − 6

Vi regner ut begge sider:
−2x = 2

Vi dividerer begge sider med −2:
x = −1

Setter vi prøve på svaret, får vi:

V.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle −1 + 2} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 1} = 2$

H.S.: $\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle −1 + 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 2} = 2$

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

I eksempel 1 så vi at nevneren på venstre side av likningen, x + 2, etter noe omregning ble en faktor på høyre side. I eksempel 2 så vi det samme, i tillegg til at nevneren på høyre side, x + 3, etter noe omregning ble en faktor på venstre side. Generelt, blir utregningen slik, hvis vi har en likning med to brøker:

$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}$

$\Downarrow$

$\frac{\displaystyle a \cdot b}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle c \cdot b}{\displaystyle d}$

$\Downarrow$

$a = \frac{\displaystyle c \cdot b}{\displaystyle d} $

$\Downarrow$

$a \cdot d = \frac{\displaystyle c \cdot b \cdot d}{\displaystyle d} $

$\Downarrow$

$a \cdot d = c \cdot b$

Vi ser at slutteffekten generelt er at nevneren på venstre side blir en faktor på høyre side, og vice versa. Vi går derfor gjerne ikke gjennom alle stegene med å multiplisere og forkorte, men gjør alt i én operasjon ved å kryssmultiplisere i det opprinnelige uttrykket, slik:

Illustrasjon av kryssmultiplisering

Å kryssmultiplisere er etablert som en metode til å løse likninger der den ukjente står i én eller begge nevnerne. Men for å forstå hvorfor denne metoden kan brukes, må vi vite at det vi egentlig gjør er å multiplisere med begge nevnerne på begge sider, og deretter forkorte. Regneoperasjonen som inngår er altså multiplikasjon med samme verdi på begge sider av likningen, som vi i artikkelen om førstegradslikninger lister opp som to av fire «lovlige operasjoner» til å løse likninger.

Eksempel 3:

Vi ser på likningene fra eksempel 1 og 2 igjen.

Vi har:
$\frac{\displaystyle 8}{\displaystyle x + 2} = 2$

Når vi kryssmultipliserer, får vi
8 = 2(x + 2), som vi så arbeider videre med, som i eksempel 1.

Vi har:
$\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 2} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x + 3}$

Når vi kryssmultipliserer, får vi
2(x + 3) = 4(x + 2), som vi så arbeider videre med, som i eksempel 2.

Oppgave 1:

Løs likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x} + 10 = 12$ og sett prøve på svaret.

SkjermfilmSe film der likningen løses

Oppgave 2:

Løs likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2}$. Start med å kryssmultiplisere. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

I eksempel 1 og 2 hadde vi konstanter i tellerne og førstegradsuttrykk i nevnerne. Da vi kryssmultipliserte, fikk vi en førstegradslikning. Hvis vi har førstegradsuttrykk både i den ene telleren og den andre nevneren, får vi en andregradslikning når vi kryssmultipliserer.

Eksempel 4:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x}$.

Vi kryssmultipliserer:
4x(x + 1) = 2 · 4

Vi multipliserer inn 4x i parentesen på venstre side og multipliserer på høyre side:
4x2 + 4x = 8

Vi flytter 8 over til venstre side med fortegnsskifte:
4x2 + 4x − 8 = 0

Vi løser ved hjelp av abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}} = x_{1, 2} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 −4 \cdot 4 \cdot (−8)}}{2 \cdot 4}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{144}}{8}} = {\large \frac{−4 \pm 12}{8}} = {\large \frac{−1 \pm 3}{2}}$

Så
$x_{1}= {\large \frac{−1 + 3}{2}} = 1$

$x_{2}= {\large \frac{−1 − 3}{2}} = −2$

Setter vi prøve på svaret, får vi, når x = 1:

VS.: $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1 + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

H.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4 \cdot 1} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

Når x = −2, får vi:

VS.: $\frac{\displaystyle x + 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle −2 + 1}{\displaystyle 4} = −\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$

H.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4x} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4 \cdot (−2)} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle −8} = −\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}$

I begge tilfeller er venstre og høyre side like, så løsningene er riktige.

Oppgave 3:

Løs likningen $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x}$. Sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
Publisert

abc-formelen

Utlede abc-formelen

I artikkelen om andregradslikninger lærer vi å løse andregradslikninger ved hjelp av kvadratkomplettering. Hvis vi bruker kvadratkomplettering på den generelle andregradslikningen ax2 + bx + c = 0, får vi løsninger som er gyldige for alle koeffisienter a, b og c. Vi finner med andre ord en formel for å løse andregradslikninger, og behøver ikke bruke kvadratkomplettering hver gang. Selve utregningen vises i løsningsforslaget til oppgave 1, formelen er:

$\fbox{$x = \frac{\displaystyle −b \pm \sqrt{b^2 − 4ac}}{\displaystyle 2a}$}$

Den kalles populært «abc-formelen».

Oppgave 1:

Bruk metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen ax2 + bx + c = 0.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Utregningen i oppgave 1 viser hvor nyttig generelle algebraiske manipulasjoner kan være. Vi hadde en nokså tungvint metode for å løse andregradslikninger, så brukte vi denne metoden på den generelle andregradslikningen ax2 + bx + c = 0, og vips hadde vi en formel for å løse alle mulige andregradslikninger. Utregningen var kanskje omstendelig, men belønningen for arbeidet var fantastisk.

Vi skal nå se på et eksempel på bruk av abc-formelen.

Eksempel 1:

I eksempel 5 i artikkelen om andregradslikninger løser vi likningen 3x2 + 18x = −15 ved hjelp av kvadratkomplettering, og finner at x1 = −1 og x2 = −5. Når skal vi løse den samme likningen ved hjelp av abc-formelen.

Vi har:
$3x^2 + 18x = −15$

Flytter −15 over til venstre side med fortegnsskifte:
$3x^2 + 18x + 15 = 0$

Her er koeffisientene a = 3, b = 18 og c = 15. Setter dette inn i abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm \sqrt{18^2 −4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}}$

Regner ut:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm \sqrt{144}}{6}}$

Trekker ut rota:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−18 \pm 12}{6}}$

Forkorter brøken med 6:
$x_{1, 2} = −3 \pm 2$

Vi har altså:
$x_1 = −3 + 2 = −1$

$x_2 = −3 − 2 = −5$

som er det samme som vi fant da vi løste med kvadratkomplettering.

Å bruke abc-formelen er enklere enn kvadratkomplettering, men gir ingen innsikt i problemets natur. Å lære kvadratkomplettering er derfor et viktig steg på veien til å lære å løse andregradslikninger.

Oppgave 2:

Bruk abc-formelen til å løse likningen 2x2 = −10x − 12. Sjekk at du får samme svar som ved kvadratkomplettering i oppgave 4 i artikkelen om andregradslikninger .

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Diskriminant

Når en likning er på formen ax2 + bx + c = 0, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen y = ax2 + bx + c. Løsningen til likningen er da x-verdiene der grafen skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Bildet under viser grafene til

y = x2 + 2x − 3. Blå graf, skjærer x-aksen i −3 og 1.

y = x2 + 4x + 4. Grønn graf, tangerer x-aksen i −2.

y = x2 + 2x + 5. Rød graf, skjærer ikke x-aksen.

 

Andrekradskurver som skjærer, tangerer og ikke skjærer x-aksen

Dette er de tre mulighetene vi har:

    • Den blå grafens skjæringspunkter med x-aksen representerer løsningene til andregradslikningen x2 + 2x − 3 = 0. Setter vi koeffisientene inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot (−3) }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{16}}{2}} = {\large \frac{−2 \pm 4}{2}} = −1 \pm 2$

      Som gir skjæringspunktene x1 = 1, x2 = −3. Vi ser at det er uttrykket under rottegnet som bestemmer hvor mye de to løsningene skiller seg fra hverandre.
       

    • Den grønne grafens tangeringspunkt med x-aksen representerer løsningen til andregradslikningen x2 + 4x + 4 = 0. Setter vi koeffisientene inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 −4 \cdot 1 \cdot 4 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{0}}{2}} = {\large \frac{−4}{2}} = −2$

      I dette tilfellet blir uttrykket under rottegnet lik 0, slik at de to løsningene ikke skiller seg fra hverandre.

      I artikkelen om andregradslikninger sier vi at hvis en andregradslikning har et kvadrat på venstre side og 0 på høyre side av likhetstegnet, har den bare 1 løsning. Vi ser at det er tilfellet her, for likningen kan skrives som (x + 2)2 = 0. På denne formen er det også lett å se at det er x = −2 som gjør at uttrykket på venstre side blir 0.
       

    • Den røde grafen har ingen skjæringspunkter med x-aksen. Setter vi koeffisientene til den tilhørende andregradslikningen, x2 + 2x + 5 = 0, inn i abc-formelen, får vi
      $x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}}$
       
      Vi får et negativt tall under rottegnet, og siden vi ikke kan trekke ut rota av et negativt tall, har likningen ingen løsning.

​Uttrykket under rottegnet i abc-formelen kalles andregradslikningens diskriminant, og avgjør hvordan likningens løsninger er. Vi har:

Diskriminant > 0: 2 løsninger som skiller seg fra hverandre med en verdi lik 2 ganger diskriminanten.

Diskriminant = 0: 1 løsning. Mer presist sagt faller de 2 løsningene sammen i dette tilfellet.

Diskriminant < 0: Ingen løsning.

Komplekse løsninger

Når vi sier at en andregradslikning ikke har løsning, mener vi at den ikke har løsninger blant de reelle tallene. Utvider vi tallsystemet til også å omfatte komplekse tall, vil alle andregradslikninger ha løsninger. Vi erstatter da $\sqrt{−1}$ med den imaginære enheten i.

Vi så over at da vi brukte abc-formelen på andregradslikningen, x2 + 2x + 5 = 0, fikk vi
$x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}}$

Her har vi altså et rota av et negativt tall, $\sqrt{−16}$, som vi ikke kan beregne hvis vi holder oss til reelle tall. Vi kan imidlertid skrive dette uttrykket som $\sqrt{16 \cdot −1} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{−1} = 4 \cdot \sqrt{−1}$, som siden $\sqrt{−1} = i$, kan skrives som $4i$.

Så vi får
$x_{1, 2} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{2^2 −4 \cdot 1 \cdot 5 }}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−2 \pm \sqrt{−16}}{2}} = {\large \frac{−2 \pm 4i}{2}} = −1 \pm 2i$

$x_{1} = −1 + 2i$

$x_{1} = −1 − 2i$

I abc-formelen dannes den imaginære delen av det negative uttrykket under rottegnet. Den imaginære delen vil derfor ha positivt fortegn i den ene løsningen og negativt fortegn i den andre løsningen, men tallverdiene vil være de samme. Den reelle delen er lik i begge løsningene. Det betyr at de to komplekse løsningene alltid er konjugerte.

Oppgave 3:

Bruk abc-formelen til å løse likningen x2 − 2x + 2 = 0.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Gulliksen T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Andregradslikninger

I artikkelen om førstegradslikninger ser vi at førstegradslikninger er algebraiske likninger (polynomlikninger) der den høyeste potensen av den ukjente er 1. Andregradslikninger er algebraiske likninger der den høyeste potensen av den ukjente er 2, for eksempel likningen 3x2 + 6x = − 9. Andregradslikninger kalles også gjerne kvadratiske likninger.

Løse andregradslikninger

Som når vi løser førstegradslikninger, starter vi med å organisere likningen slik at ledd med x havner på venstre side av likhetstegnet, og ledd uten x på høyre, med uttrykkene forenklet så langt som mulig.

Eksempel 1:

Vi skal organisere leddene i andregradslikningen 3x2 + 2 = 2x2 + 6.

Flytter 2x2 over til venstre side med fortegnsskifte og trekker sammen:
x2 + 2 = 6

Flytter 2 over til høyre side med fortegnsskifte og trekker sammen:
x2 = 4

I eksempel 1 har vi isolert uttrykket med x på venstre side. Men i motsetning til i førstegradslikninger, har vi nå x i andre potens. For å finne ut hva x er, må vi trekke ut kvadratrota av begge sider av likningen. Dette er en lovlig operasjon når vi løser likninger, men vi må huske at både $\sqrt a$ og $−\sqrt a$ gir $a$ når vi kvadrerer, så vi må regne ut både en positiv og en negativ rot, noe vi angir med et pluss/minus-tegn, ±.

Eksempel 2:

Vi skal finne løsningen til likningen fra eksempel 1.

Vi har:
$x^2 = 4$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{x^2}=\pm\sqrt4$

Trekker ut røttene:
$x = \pm 2$

Alternativt skriver vi dette som
$x_1 = 2, \, x_2 = −2$

Setter prøve på svaret, og regner først ut venstre side når x = 2:

V.S.: x2 = 22 = 4.

Når x = −2, får vi:

V.S.: x2 = (−2)2 = 4.

H.S.: 4.

I begge tilfeller er V.S. det samme som H.S., så begge løsningene er riktige.

Vi ser at likningen i eksempel 2 har to løsninger. Det finnes også tilfeller der en andregradslikning bare har én løsning, for eksempel x2 = 0, som bare har løsningen x = 0. Og det finnes tilfeller der en andregradslikning ikke har løsninger, for eksempel x2 = −4. Vi skal se nærmere på dette senere.

Oppgave 1:

Løs likningen x2 − 7 = 1.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Likninger med førstegradsledd

Likningen i eksempel 1 og 2 inneholdt bare et andregradsledd, x2, og en konstant, −4. Men en andregradslikning kan også inneholde et førstegradsledd. For eksempel likningen x2 + 4x = −4, som i tillegg til andregradsleddet, x2, og konstantleddet, −4, inneholder førstegradsleddet 4x.

En slik likning kan vi ikke løse ved å trekke ut kvadratrota på begge sider av likhetstegnet, fordi vi har et førstegradsledd i tillegg til andregradsleddet på venstre side. En løsning kan da være å samle alle leddene på venstre side, og bruke en kvadratsetning baklengs, som vist i eksempel 3.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningen $x^2 + 4x = −4$.

Flytter −4 over til venstre med fortegnsskifte:
$x^2 + 4x + 4 = 0$

Bruker første kvadratsetning baklengs ved å skrive $x^2 + 4x + 4 = 0$ som $ (x + 2)^2$:
$ (x + 2)^2 = 0$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 2)^2} = \pm \sqrt{0}$

Trekker ut røttene:
$x + 2 = 0$

Flytter 2 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = −2$

Setter prøve på svaret:

V.S.: x2 + 4x = (−2)2 + 4(−2) = 4 − 8 = −4

H.S.: −4

V.S. det samme som H.S., så løsningen er riktig.

I eksempel 3 ser vi at andregradslikningen bare hadde 1 løsning. Slik er det alltid når vi har et kvadrat på venstre side og 0 på høyre side av likhetstegnet.

Oppgave 2:

Løs likningen x2 + 6x = −9.

Hint: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Se løsningsforslag

Kvadratkomplettering

De fleste andregradsuttrykk kan imidlertid ikke omskrives ved hjelp av en kvadratsetning baklengs. Det finnes for eksempel ikke noe uttrykk som ved hjelp av en kvadratsetning gir x2 + 6x + 5.

Generelt, hvis x er en variabel og k er en konstant, blir (x + k)2 til x2 + 2kx + k2 når vi regner det ut ved hjelp av første kvadratsetning. Vi ser at konstantleddet er k2, og koeffisienten i førstegradsleddet er 2k. Konstantleddet er altså lik halve koeffisienten i førstegradsleddet kvadrert (opphøyd i andre), $({\large \frac{1}{2}} \cdot 2k)^2 = k^2$.

Hvis konstantleddet i et andregradsuttrykk ikke er lik halve koeffisienten i førstegradsleddet kvadrert, kan det ikke skrives om ved hjelp av en kvadratsetning baklengs.

Imidlertid kan vi alltid omforme en andregradslikning slik at vi får et uttrykk på venstre side av likhetstegnet der dette kravet er oppfylt.

Eksempel 4:

Vi skal løse likningen $x^2 + 6x = −5$.

For at vi skal kunne skrive om uttrykket på venstre side ved hjelp av en kvadratsetning baklengs, må vi altså ha et konstantledd som er lik halve koeffisienten til førstegradsleddet kvadrert. Førstegradsleddet her er 6x, så koeffisienten er 6. Halvparten av dette er 3, som kvadrert blir 9. Så vi må addere 9 til uttrykket x2 + 6x. I en likning kan vi legge til samme verdi på begge sider av likhetstegnet, så vi kan skrive likningen som:
$x^2 + 6x + 9 = −5 + 9$

Så regner vi ut høyresiden og får:
$x^2 + 6x + 9 = 4$

Nå kan vi skrive om fra formen x2 + 2kx + k2 til (x + k)2. Her er k2 = 9, så k = 3, og vi får:
$(x+3)^2 = 4$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 3)^2} = \pm \sqrt{4}$

Trekker ut røttene:
$x + 3 = \pm 2$

Flytter 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = \pm 2 − 3$

Det vil si at løsningene er

$ x_1 = 2 − 3 = −1$

$x_2 = −2 − 3 = −5$

Setter prøve på svaret, og regner først ut venstre side når x = −1:

V.S.: x2 + 6x = (−1)2 + 6(−1) = 1 − 6 = −5.

Når x = −5, får vi:

V.S.: x2 = x2 + 6x = (−5)2 + 6(−5) = 25 − 30 = −5.

H.S.: −5.

I begge tilfeller er V.S. det samme som H.S., så begge løsningene er riktige.

Metoden i eksempel 4 kalles kvadratkomplettering, eller fullstendige kvadraters metode. Vi tar altså utgangspunkt i koeffisienten til førstegradsleddet, halverer og kvadrerer den, og legger den til på begge sider av likhetstegnet.

Huskeregel: Halvere, kvadrere, addere.

Illustrasjon av regelen "halvere, kvadrere, addere"

Oppgave 3:

Løs likningen x2 + 2x = 3 ved å bruke metoden med kvadratkomplettering.

Se løsningsforslag

​Hvis andregradsleddet har en annen koeffisient enn 1, dividerer vi den bort først.

Eksempel 5:

Vi skal løse likningen 3x2 + 18x = −15

Her er det en koeffisient som er 3 foran andregradsleddet. Vi benytter da regelen om at vi kan dividere med samme tall på begge sider av en likning, dividerer med 3, og får x2 + 6x = −5, som har samme løsning. Denne likningen løste vi i eksempel 4 og fikk at x1 = −1, x2 = −5.

I alle eksemplene vi har sett på, har koeffisienter og løsninger vært hele tall. Det er bare for å gjøre utregningene oversiktlige. I praksis vil vi i de fleste tilfeller arbeide med likninger der koeffisienter og løsninger ikke er hele tall.

Oppgave 4:

Bruk metoden med kvadratkomplettering til å løse likningen 2x2 = − 10x − 12.

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Kilder

    • Gulliksen T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget
Publisert

Ulikheter

En egenskap ved reelle tall er at de har orden. Det vil si at for to vilkårlige reelle tall, a og b, vil enten a være mindre enn b, lik b, eller større enn b. Dette skriver vi som henholdsvis a < b, a = b og a > b.

I en likning bruker vi likhetstegn for å indikere at venstre og høyre side av likningen skal være like. I en ulikhet bruker vi < eller > for å indikere at venstre side skal være henholdsvis mindre eller større enn høyre. Ønsker vi at venstre side skal være mindre eller lik høyre, bruker vi tegnet ≤. Ønsker vi at venstre side skal være større eller lik høyre, bruker vi tegnet ≥.

For å løse en ulikhet bruker vi samme regler som for å løse likninger. Med ett unntak: Hvis vi multipliserer eller dividerer begge sider av ulikheten med et negativt tall, snus ulikhetstegnet. < byttes altså med > og vice versa. ≤ byttes med ≥ og vice versa. Vi forstår hvorfor det er slik, hvis vi ser hvordan tallinjen er speilet om 0:

Punkter speilet om 0

Her har vi A1 > B1 fordi A1 = 4 og B1 = 2.

Men hvis vi multipliserer begge sider av ulikheten med −1, flyttes B1 til B2 og A1 til A2.

Da har vi A2 < B2 fordi A2 = −4 og B2 = −2.

Eksempel 1:

Vi skal løse ulikheten 17x + 10 > 30 + 27x

Flytter over 27x, skifter fortegn og trekker sammen:
−10x + 10 > 30

Flytter over 10, skifter fortegn og trekker sammen:
−10x > 20

Dividerer med −10 på begge sider og snur ulikhetstegnet:
x < −2

Oppgave 1:

Løs ulikheten 2x + 2 ≤ 3x − 1.

SkjermfilmSe film der ulikheten løses
 

Grafiske løsninger

I artikkelen om førstegradslikninger ser vi at når en likning er på formen ax + b = 0, kan vi løse den grafisk ved å finne punktet der grafen til funksjonen y = ax + b skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Tilsvarende vil en ulikhet på formen ax + b > 0 være området der grafen til y = ax + b ligger over x-aksen, og en ulikhet på formen ax + b < 0 være området der grafen til y = ax + b ligger under x-aksen.

Eksempel 2:

I eksempel 1 har vi, når vi har organisert leddene, ulikheten −10x > 20. Flytter vi 20 over på venstre side med fortegnsskifte, får vi −10x − 20 > 0. Denne ulikheten er på formen ax + b > 0, med a = −10 og b =−20. Løsningen vil derfor være det området der grafen til y = −10x − 20 ligger over x-aksen. I grafen under ser vi at det er området der x < −2, slik vi fant i eksempel 1.

Løsningsområdet til ulikheten −10x > 20

Hvis ulikhetstegnet er ≤ eller ≥, betyr det at punktet der grafen skjærer x-aksen er med i løsningen.

Kilder

 

Publisert

Førstegradslikninger

En algebraisk likning (polynomlikning) der den høyeste potensen av den ukjente er 1, kalles en førstegradslikning. For eksempel er 3x − 2 = x + 2 en førstegradlikning. Vi vet at x kan skrives som x1, så x er i første potens, selv om vi sløyfer å skrive 1-tallet.

En førstegradslikning kalles ofte også en lineær likning.

Løse førstegradslikninger

Vi kan tenke på en førstegradslikning som en skålvekt, der venstre skål inneholder det som står til venstre for likhetstegnet, og høyre skål inneholder det som står til høyre for likhetstegnet:

Skålvekt som illustrerer balanse i likning

Skålvekta er i balanse, og vår jobb er å få elementene organisert slik at den ukjente ligger alene på venstre skål, og vekta fremdeles er i balanse.

Vekta forblir i balanse selv om vi

    • adderer eller subtraherer samme verdi på begge sider.
    • multipliserer eller dividerer med samme verdi på begge sider. (Vi må da passe på å ikke dividere med 0.)

De fire grunnleggende regneoperasjonene nevnt over, er alt vi trenger for å løse en førstegradslikning.

Hvilke regneoperasjoner vi skal gjøre, og i hvilken rekkefølge, når en likning skal løses, vil variere, og det kan ikke gis noen entydig oppskrift. Vi må imidlertid arbeide med å isolere den ukjente som mål. Planløs taktikk fører gjerne til unødvendige og kompliserende regneoperasjoner.

Eksempel 1:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Subtraherer x på begge sider av likhetstegnet:
3x − x − 2 = x − x + 2

Trekker sammen leddene med x:
2x − 2 = 2

Adderer 2 på begge sider av likhetstegnet:
2x − 2 + 2 = 2 + 2

Regner sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet:
x = 2

Vi skal nå være litt mer generelle og tenke oss at vi har vilkårlige tall på begge sider av likhetstegnet: x + b = c. Så ønsker vi å stå igjen med bare x på venstre side. Da adderer vi –b på begge sider: x + b – b = c – b. På venstre side blir b – b null, så vi står igjen med x = c – b. Sammenlikner vi med det vi startet med, ser vi at b-en har flyttet seg over til høyre side og skiftet fortegn. I praksis går vi derfor ikke gjennom den omstendelige prosedyren med å addere eller subtrahere på begge sider, vi flytter bare over og skifter fortegn. Dette er den såkalte «flytte-bytte»-regelen. Regelen er praktisk i bruk, men illustrerer ikke at det vi faktisk gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Fra nå av kommer vi til å bruke «flytte-bytte»-regelen for enkelhets skyld, men husk at det vi egentlig gjør, er å legge til eller trekke fra det samme på begge sider av likhetstegnet.

Utregningen i eksempel 1 vil vi gjøre så kortfattet som i eksempel 2:

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 3x − 2 = x + 2.

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter −2 over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x = 4

Dividerer med 2 på begge sider:
x = 2

Oppgave 1:

Under vises løsningen av en likning i fire trinn. Angi for hvert trinn hvilke regneregler som brukes. Det kan være det brukes flere regler i hvert trinn.

$\begin{align} 3(2x + 3) &= 12 + 3x \\
\; \\
6x + 9 &= 12 + 3x \\
\; \\
6x &= 3 + 3x \\
\; \\
3x &= 3 \\
\; \\
x &= 1 \end{align}$

SkjermfilmSe film der løsningen vises
 

Sette prøve på svar

Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Det gjør vi ved å sette svaret vårt inn som verdi for den ukjente på både venstre og høyre side av den opprinnelige likningen, og kontrollere at vi får samme svar på begge sider.

Eksempel 3:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2, funnet at x = 2, og skal sette prøve på svaret. Vi får

V.S.: 3x − 2 = 3 · 2 − 2 = 4

H.S.: x + 2 = 2 + 2 = 4

Begge sider er lik 4, så løsningen er riktig.

I eksempel 3 ser vi at vi regner ut venstre og høyre side hver for seg. Her står V.S. for «venstre side» og H.S. for «høyre side». Alternativt kan vi regne ut venstre og høyre side parallelt med en vertikal strek imellom. Det vi imidlertid ikke gjør, er å føre prøven med likhetstegn mellom sidene, for vi vet ikke om de er like, det er det vi skal kontrollere.

Eksempel 4:

Vi har løst likningen 3x − 2 = x + 2 feil, funnet at x = 3, og skal sette prøve på svaret:

3x − 2 = x + 2
3 · 3 − 2 = 3 + 2
7 = 5

I eksempel 4 ser vi at vi ender opp med å si at 7 er lik 5. Å sette likhetstegn mellom noe vi ikke vet er likt, kalles misbruk av likhetstegnet, og er noe vi skal unngå.

Oppgave 2:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 og sett prøve på svaret.

SkjermfilmSe film der likningen løses
 

Grafiske løsninger

Generelt har førstegradslikninger formen ax + b = 0, der a og b er vilkårlige tall, for eksempel 3x + 2 = 0. Hvis vi har en førstegradslikning som ikke har denne formen, kan vi omforme den ved å flytte alle leddene til venstre side og forenkle så langt som mulig.

Eksempel 5:

Vi skal skrive likningen fra eksempel 1 på formen ax + b = 0.

Vi har:
3x − 2 = x + 2

Flytter x over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 2 = 2

Flytter 2 over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2x − 4 = 0

Likningen er nå på formen ax + b = 0, med a = 2 og b = −4.

Når en likning er på formen ax + b = 0, kan vi løse den grafisk ved å tegne opp grafen til funksjonen y = ax + b. Løsningen til likningen er da den verdien x har der grafen skjærer x-aksen, det vil si der y = 0.

Grafen til en førstegradsfunksjon er en rett linje, og vi kan tegne den for hånd ved å beregne to punkter på grafen og så trekke en rett linje gjennom punktene ved hjelp av en linjal. Det spiller ingen rolle hvilke punkter vi velger, men vi får en mer presis graf hvis vi legger punktene et stykke fra hverandre. Og å velge x = 0 som ett av punktene gir jo en enkel utregning. Det vi ikke gjør, er å velge mer enn to punkter, det gir en dårligere graf. Vi ser av og til studenter som velger mange punkter for å tegne grafen til en førstegradsfunksjon, og på grunn av unøyaktighet ender de opp med noe som ser ut som en slange som bukter seg mellom punktene.

I eksempel 5 har vi likningen 2x − 4 = 0, den tilhørende førstegradsfunksjonen blir y = 2x − 4. For å finne to punkter på grafen til denne kan vi for eksempel først velge x = 0, da får vi y = 2x − 4 = 2 · 0 − 4 = − 4. Velger vi så x = 4, får vi y = 2x − 4 = 2 · 4 − 4 = 4. Vi har da punktene (0, −4) og (4, 4), og kan tegne en rett linje gjennom dem. Vi vil se at grafen skjærer x-aksen i (2, 0). Løsningen til likningen 3x − 2 = x + 2 er altså x = 2, noe som stemmer med det vi fant ved regning i eksempel 1 og 2.

Vi kan også tegne grafen og finne skjæringspunktet med x-aksen i GeoGebra, slik det er vist under. Her har vi første skrevet 2x − 4 i inntastingsfeltet, og GeoGebra har tegnet opp grafen og kalt den tilhørende funksjonen f. Så har vi skrevet Skjæring(f, xAkse) for å finne punktet der grafen til f skjærer x-aksen. GeoGebra har kalt punktet A, markert det i grafikkfeltet, og angitt koordinatene i algebrafeltet.

Grafen til y = 2x - 4

Vi ser at skjæringspunktet med x-aksen er (2, 0). I dette tilfellet er skjæringspunktet et helt tall, men det kan være at skjæringspunktet ser ut til å være et helt tall, men egentlig ikke er det. I bildet under kan det for eksempel se ut som skjæringen er i x = 2, mens det egentlig er i x = 2,05. For å få den eksakte verdien bruker vi derfor funksjonen Skjæring i GeoGebra.

Skjæringspunkt som ikke er heltall

 

Oppgave 3:

Løs likningen 5x + 3x + 6 – 2 = 7x + 6 grafisk.

SkjermfilmSe film der likningen løses grafisk
 

Likninger med algebraiske symboler

Så langt har vi arbeidet med likninger der den ukjente har vært x, og de andre elementene tall. Men det er ikke noe i veien for at vi kan ha flere algebraiske symboler i en likning. Når vi skal løse en slik likning, må det være klargjort hvilket symbol som representerer den ukjente vi skal løse med hensyn på.

Eksempel 6:

Vi skal løse likningen 2u − v = 4u + v − 2 med hensyn på u. Målet er da å isolere u på venstre side av likhetstegnet.

Flytter 4u over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u − v = v − 2

Flytter −v over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2u = −2v − 2

Dividerer med −2 på begge sider:
u = −v + 1

Vi har nå løst likningen med hensyn på u, for u er isolert på venstre side av likhetstegnet, og uttrykket på høyre side er forenklet så langt det går.

Vil vi sette prøve på svaret, erstatter vi u med løsningen −v + 1 på begge sider av likhetstegnet:

V.S.: 2u − v = 2(−v + 1) − v = −2v + 2 − v = −3v + 2

H.S.: 4u + v − 2 = 4(−v + 1) + v − 2 = −4v + 4 + v − 2 = −3v + 2

Begge sider er lik −3v + 2, så løsningen er riktig.

Oppgave 4:

Løs likningen fra eksempel 6, 2u − v = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sett prøve på svaret.

Se løsningsforslag

Kilder

Publisert

Hva er likninger?

En likning er matematiske uttrykk forbundet med likhetstegn. Et eksempel på en likning er x + 2 = 3. Denne likningen inneholder en variabel, symbolisert med bokstaven x. Å løse denne likningen vil si å finne verdien av x som gjør at vi får 3 når vi adderer 2 til x. Det er lett å se at denne verdien må være 1, men i mer kompliserte tilfeller vil vi ofte ikke kunne se svaret direkte. Det er derfor behov for systematiske metoder for å løse likninger.

Likninger kan inneholde et vilkårlig antall variable, for eksempel inneholder likningen x + y = 4 to variable, symbolisert med x og y. For å kunne finne entydige løsninger for alle variable, kreves det vanligvis et likningssett med like mange likninger som ukjente.

Vi bruker ofte x som symbol for den ukjente hvis vi har en likning med 1 ukjent, x og y hvis vi har en likning med 2 ukjente, og x, y og z hvis vi har en likning med 3 ukjente. Men det er ikke noe krav. I likninger der den ukjente representerer tid, er det vanlig å bruke t som symbol.

Likninger kan også inneholde potenser av variable, for eksempel x2 − 1 = 3. Potensen angir likningens grad, i dette tilfellet 2, vi har en andregradslikning. Dette nettstedet inneholder en egen artikkel om å løse andregradslikninger.

I eksemplene vi har sett, består likningene av polynomer. Slike likninger kalles algebraiske. Likninger som ikke er algebraiske, er transcendente.

Kilder

    • Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
    • Store norske leksikon