Kategori: Algebra

Regneregler

Addere og subtrahere

Skal vi addere eller subtrahere to komplekse tall, adderer eller subtraherer vi de reelle og imaginære delene hver for seg:

$\fbox{Addisjonsregel: $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$}$

$\fbox{Subtraksjonsregel: $(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i$}$

Eksempel 2:

(5 + 3i) + (2 + 4i) = (5 + 2) + (3 + 4)i = 7 + 7i

Eksempel 3:

(5 + 3i) − (2 + 4i) = (5 − 2) + (3 − 4)i = 3 − i

Eksempel 4:

(2 − i) + (−3 − 2i) = (2 + (−3)) + (−1 + (−2))i = −1 − 3i

Eksempel 5:

(2 − i) − (−3 − 2i) = (2 − (−3)) + (−1 − (−2))i = 5 + i

Oppgave 2:

Gitt z₁ = 1 + i og z₂ = 3 − 2i. Beregn z₁ + z₂ og z₁ − z₂.

Multiplisere

For å multiplisere to komplekse tall, bruker vi den vanlige regelen for å multiplisere parenteser:

(a + bi) · (c + di) =
(a · c) + (a · di) + (bi · c) + (bi · di) =
(a · c) + (a · di) + (bi · c) − (b · d) =
(a · c − b · d) + (a · d + b · c)i

I utregningen benyttet vi først at i · i = −1, deretter ordnet vi leddene med den reelle og imaginære delen hver for seg.

Vi har altså

$\fbox{Produktregel: $(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i$}$

Eksempel 6:

(5 + 3i)(2 + 4i) = (5 · 2 − 3 · 4) + (5 · 4 + 3 · 2)i = −2 + 26i

Eksempel 7:

(2 − i)(−3 − 2i) = (2(−3) − (−1)(−2)) + (2(−2) + (−1)(−3))i = −8 − i

Oppgave 3:

Gitt z₁ = 1 + i og z₂ = 3 − 2i. Beregn z₁ · z₂

Dersom vi multipliserer et komplekst tall med tallets konjugerte, får vi et spesialtilfelle, der a erstatter c og −b erstatter d. Produktregelen, her illustrert med rødt for den ene faktoren, blått for den andre, og brunt for kombinasjoner av de to, gir:

(a + bi) · (a + −bi) = (a · a − b(−b)) + (a(−b) + ba)i = (a² + b²) + (0)i = a² + b²

Altså:

$\fbox{Produktregel for konjugerte: $z \overline z = a^2 + b^2$}$

Vi har tidligere sett at $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, det betyr at

$\fbox{$z \overline z = |z|^2$}$

Eksempel 8:

$(3 + 4i)(3 − 4i) = 3^2 + 4^2 = 25$. Det betyr at $|3+4i| = \sqrt{25} = 5$, som stemmer med det vi regnet ut i eksempel 1.

Oppgave 4:

Gitt z = 1 + i. Beregn z · z

Dividere

For å dividere to komplekse tall, skriver vi uttrykket som en brøk, og utvider brøken med nevnerens konjugerte.

$(a + bi) : (c + di) = \frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} = \frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} \cdot \frac{\displaystyle c − di}{\displaystyle c − di} = \frac{\displaystyle (a + bi)(c − di)}{\displaystyle c^2 + d^2}$

I nevneren benyttet vi her produktregelen for konjugerte, og fikk at (c + di)(c − di) = c² + d².

Altså:

$\fbox{Kvotientregel: $\frac{\displaystyle a + bi}{\displaystyle c + di} = \frac{\displaystyle (a + bi)(c − di)}{\displaystyle c^2 + d^2}$}$

Eksempel 9:

$\frac{\displaystyle 2 + 3i}{\displaystyle 4 + 2i} = \frac{\displaystyle (2 + 3i)(4 − 2i)}{\displaystyle 4^2 + 2^2} = \frac{\displaystyle (2 \cdot 4 − 3(−2)) + (2(−2) + 3 \cdot 4)i}{\displaystyle 20} = \frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 10} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}i$.

Her brukte vi først kvotientregelen, deretter produktregelen på de to faktorene i telleren.

Eksempel 10:

$\frac{\displaystyle 2 + i}{\displaystyle 2i} = \frac{\displaystyle (2 + i)(0 − 2i)}{\displaystyle 0^2 + 2^2} = \frac{\displaystyle (2 \cdot 0 − 1(−2)) + (2(−2) + 1 \cdot 0)i}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} − i$.

Oppgave 5:

Gitt z₁ = 1 + i og z₂ = 3 − 2i. Beregn z₁ : z₂

28. april 20177. desember 2024

Kilder

- Stewart, I. & Tall, D. (1993). Complex Analysis. Cambridge University Press
- Fraleigh, F & Beauregard R.A. (1990). Linear Algebra. Addison-Wesley

Forskjellige typer tall

Naturlige tall

De første tallene vi blir kjent med, er vanligvis de positive heltallene, altså 1, 2, 3 og så videre. Disse tallene er lette å representere i form av konkreter, altså virkelige gjenstander. Vi kan for eksempel ha 1 eple, 2 epler, 3 epler og så videre.

Epler som representerer naturlige tall

Disse tallene heter også naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall angis med symbolet $\mathbb N$.

Tar vi også med tallet 0 i mengden, kan vi presisere det ved å bruke symbolet $\mathbb N_0$. Tallet 0 kan konkretiseres ved å tenke på det som «ingenting», for eksempel «ingen epler».

$\mathbb N$ og $\mathbb N_0$ inneholder uendelig mange tall, men sies allikevel å være tellbare.

Hele tall

Adderer vi to naturlige tall, får vi et nytt naturlig tall. For eksempel er 3 + 2 = 5 og 6 + 8 = 14. Men når vi subtraherer to naturlige tall, kan vi risikere å ende opp med noe som ikke er et naturlig tall. For eksempel gir 4 − 7 tallet −3, som ikke er naturlig. For å håndtere dette supplerer vi de naturlige tallene med negative heltall, altså −1, −2, −3 og så videre. Et negativt heltall er altså et naturlig tall med et minustegn foran. Subtraherer vi to naturlige tall, får vi enten et nytt naturlig tall, tallet 0, eller et negativt tall. For eksempel er 6 − 4 = 2, 3 − 3 = 0 og 4 − 7 = −3.

Negative tall er ikke så lette å konkretisere som naturlige tall, vi kan jo ikke ha −3 epler for eksempel. Men et hjelpemiddel kan være et termometer, der vi representerer varmegrader med positive tall og kuldegrader med negative tall.

Termometer som represnterer positive og negative tall

Mengden av naturlige tall, naturlige tall med minus foran og 0, kalles hele tall og angis med symbolet $\mathbb Z$. $\mathbb Z$ inneholder uendelig mange tall, og er tellbar. Underlig nok er det like mange tall i $\mathbb Z$ som i $\mathbb N$. Dette forklarer vi med at hvert element i $\mathbb Z$ kan pares med et element i $\mathbb N$.

Rasjonale tall

Adderer eller subtraherer vi hele tall, får vi alltid et nytt helt tall. Det samme gjelder hvis vi multipliserer to hele tall. Men dividerer vi to hele tall, kan vi få noe som ikke er et helt tall, for eksempel gir 9 : 5 tallet 1,8, som er et desimaltall. I stedet for å angi tallet som desimaltall, kan vi velge å angi det som en brøk, altså dividend og divisor over hverandre med en vannrett strek mellom, for eksempel ${\large \frac{9}{5}}$.

En brøk kan representere et negativt tall, for eksempel $−{\large \frac{1}{2}} = −0,5$ eller $−{\large \frac{4}{2}} = −2$, og en brøk kan representere et positivt tall, for eksempel ${\large \frac{1}{2}} = 0,5$ eller ${\large \frac{4}{2}} = 2$.

Når vi skriver en brøk som desimaltall, kan tallet få et endelig antall sifre, for eksempel ${\large \frac{1}{4}} = 0{,}25$, eller et uendelig antall sifre, for eksempel ${\large \frac{1}{3}} = 0{,}33333\dots\;$ Men hvis brøken gir et uendelig antall sifre, vil sifrene alltid inneholde et mønster som gjentar seg. I ${\large \frac{1}{3}} = 0{,}33333\dots$ repeteres sifferet 3 i det uendelige, i ${\large \frac{1}{7}} = 0{,}14285714285714 \dots$ repeteres siffersekvensen 142857 i det uendelige. For å angi at sifre gjentar seg, setter vi en strek over dem, for eksempel 0,3 og 0,142857.

Mengden av brøker med hele tall i teller og nevner kalles rasjonale tall, og symboliseres med $\mathbb Q$. $\mathbb Q$ Inneholder uendelig mange tall og er tellbar. Det er like mange tall i $\mathbb Q$ som i $\mathbb N$, fordi hvert element i $\mathbb Q$ kan pares med et element i $\mathbb N$.

Irrasjonale tall

Tenker vi oss tallene på ei tallinje, kan vi pakke så tett vi bare vil med heltallsbrøker.

Tallinje med brøker som ligger tett

For et hvilket som helst punkt kan vi finne en heltallsbrøk som er så nærme punktet vi bare vil. Men det betyr ikke at vi alltid kan nå helt fram til selve punktet. Dette gjelder for eksempel tallet π ≈ 3,14159265. Vi kan komme så nærme π vi bare vil, ${\large \frac{31}{10}}$ er nærmere enn 3, ${\large \frac{314}{100}}$ er enda litt nærmere, ${\large \frac{3141}{1000}}$ er enda litt nærmere igjen, og så videre. Men nøyaktig π får vi aldri. Det samme gjelder uendelig mange andre tall, for eksempel $\sqrt 2$. Tall som ikke kan skrives som en heltallsbrøk kalles irrasjonale tall. Sifrene i et irrasjonalt tall vil ikke ha noe mønster som gjentar seg.

Reelle tall

De rasjonale og irrasjonale tallene danner til sammen reelle tall. Mengden av reelle tall symboliseres med $\mathbb R$.

Vi kan altså pakke tallinja uendelig tett med rasjonale tall, men allikevel smette uendelig mange irrasjonale tall inn mellom dem. Det betyr at vi ikke kan pare elementene i $\mathbb R$ med elementene i $\mathbb N$, slik vi kan med $\mathbb Z$ og $\mathbb Q$. $\mathbb R$ er en mengde som ikke er tellbar.

Komplekse tall

Når tallinja er full, skulle vi tro at det ikke var bruk for flere tall. Men la oss si at vi ønsker at andregradslikningen x² = a skal ha en løsning for alle a. Når a er et positivt tall, går det greit, for eksempel gir x² = 4 løsningene x = 2 og x = −2, fordi 2 · 2 = 4 og −2 · (−2) = 4. Men hvis a er et negativt tall, finnes det ingen reelle tall som passer i likningen. Det finnes verken positive eller negative tall vi kan multiplisere med seg selv og få et negativt resultat. Vi introduserer derfor enda en type tall som vi kaller komplekse tall. Mengden av komplekse tall symboliseres med $\mathbb C$, og er ikke tellbar.

For å danne komplekse tall introduserer vi den imaginære enheten i, slik at i² = −1. Da vil likningen x² = a ha en løsning også når a er et negativt tall. For eksempel vil x² = −4 ha løsningene x = 2i og x = −2i, fordi 2i · 2i = 4i²= 4 · (−1) = −4 og (−2i) · (−2i) = 4i² = 4 · (−1) = −4.

Komplekse tall består gjerne av både en reell og en imaginær del, og kan skrives på formen a + bi, der a og b er reelle tall. For eksempel 2 + 3i og 7 − 8i.

For å kunne representere de komplekse tallene grafisk, gir vi tallinja en ny dimensjon, med en horisontal akse som representerer tallenes imaginære del. Vi får da det vi kaller det komplekse planet.

Komplekse tall vist i et kartesisk koordinatsystem

Komplekse tall har ingen orden, slik reelle tall har. Det gir altså ikke mening å si at ett komplekst tall er større enn et annet.

Sammenheng mellom typer av tall

Et naturlig tall er et spesialtilfelle av hele tall. (Positivt fortegn). Et helt tall er et spesialtilfelle av rasjonale tall. (1 i nevneren). Et rasjonalt tall er et spesialtilfelle av reelle tall. (Brøk av heltall). Et reelt tall er et spesialtilfelle av komplekse tall. (Imaginær del lik 0). I mengdenotasjon skrives dette slik:

$\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R \subset \mathbb C$.

Sammenhengen kan også illustreres med et Venn-diagram:

Sammenhengen mellom forskjellige typer tall vist i Venn-diagram

Oppgave 1:

Avgjør om følgende tall er naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, reelle tall eller komplekse tall:

−3, ${\large \frac{2}{5}}$, 8, 3, i, 1,412, $−{\large \frac{2}{5}}$, 2 + 4i.

Oppgave 2:

Lag en skisse der du plasserer følgende tall i det komplekse planet:

1, i, −2, 1 + 3i, 2 − i.

23. januar 201729. desember 2024

Kilder

- Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
- Selvik B. K. & Tveite K. (2000) Tallære. Caspar forlag

Brøkregning

Addere og subtrahere brøk

Å addere brøker med samme nevner er enkelt. Vi adderer tellerne og beholder nevneren.

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle b} = \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b}$}$

Eksempel 1:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 1 + 2}{\displaystyle 5} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 5}$

Dette er illustrert under, med $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 5}$ som gul og $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}$ som rød:

En femdel pluss to femdeler som pizzadiagram

Når vi skal addere tall med forskjellige nevnere, er det fort å tro at vi skal legge sammen tellerne og nevnerne hver for seg. Men generelt er

$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} \ne \frac{\displaystyle a + c}{\displaystyle b + d}$

Eksempel 2:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \ne \frac{\displaystyle 1 + 1}{\displaystyle 2 + 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}$

Vi kan ikke legge sammen brøker som har forskjellige nevnere direkte, i stedet må vi utvide en eller begge brøkene slik at de får samme nevner, en fellesnevner.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Her utvidet vi først brøken ${\large \frac{1}{2}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{4}}$ ved å multiplisere med 2 i teller og nevner.

Eksempel 3 er enkelt, for nevneren i den ene brøken går opp i den andre, 2 går opp i 4, og 4 blir fellesnevner. Men har vi to nevnere som ikke går opp i hverandre, for eksempel ${\large \frac{1}{4}} + {\large \frac{1}{6}}$, må vi finne en fellesnevner begge de to nevnerne går opp i. 4 = 2 · 2 og 6 = 2 · 3. Så minste felles multiplum av 4 og 6 er 2 · 2 · 3 = 12. Vi utvider ${\large \frac{1}{4}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{3}{12}}$ og ${\large \frac{1}{6}}$ til den likeverdige brøken ${\large \frac{2}{12}}$. Og regnestykket blir:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Dette kan illustreres slik:

Addisjon med fellesnevner illustrert som pizzastykker

Dette kan virke tungvint, og det er strengt tatt ikke nødvendig å finne minste felles multiplum. En fellesnevner får vi enkelt ved å multiplisere de to nevnerne:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bd} + \frac{\displaystyle bc}{\displaystyle bd} = \frac{\displaystyle ad + bc}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 4:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 6 + 4 \cdot 1}{\displaystyle 4 \cdot 6} = \frac{\displaystyle 6 + 4}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 10}{\displaystyle 24} = \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 12}$

Ulempen er at vi kan få unødvendig høye tall underveis.

Oppgave 1:

Utfør addisjonen under både ved å finne minste felles multiplum og ved å multiplisere nevnerne direkte. Forkort svaret mest mulig:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 16} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 24}$

Skjermfilm Se film der utregningene vises

Samme prinsipp brukes hvis brøkene inneholder algebraiske uttrykk. Imidlertid kan vi ofte ende opp med noe som er mer komplisert og sammensatt enn det vi startet med. Av og til er vi derfor like godt tjent med å la brøkene stå hver for seg.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} + \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle y^2z^2 + xz}{\displaystyle xy^2}$

Ved addisjon av blanda tall kan vi regne ut heltallene for seg og brøkene for seg.

Eksempel 6:

$2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} + 3 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 2 + 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 4} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} = 5 \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}$

Vi kan også gjøre heltallene om til brøk ved hjelp av fellesnevner, men utregningene blir gjerne unødvendig innviklede.

Subtraksjon av brøk gjøres på samme måte som addisjon, bare at vi subtraherer tellerne i stedet for å addere dem.

Eksempel 7:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4} − \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 12} − \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 12} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$

Multiplisere brøk

Mens addisjon av brøk kan være litt innviklet ved at vi må finne en fellesnevner, er multiplikasjon av brøk liketil. Vi multipliserer bare teller med teller og nevner med nevner:

$\fbox{$\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle bd}$}$

Eksempel 8:

$\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 4}{\displaystyle 2 \cdot 7} = \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle 14} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Eksempel 9:

$\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle z}{\displaystyle y^2} = \frac{\displaystyle z^3}{\displaystyle xy^2}$

Å multiplisere et helt tall med en brøk er også enkelt. Vi multipliserer tallet med telleren og lar nevneren stå.

$\fbox{$a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$}$

Eksempel 10:

$3 \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 3 \cdot 2}{\displaystyle 7} = \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle 7}$

Dette er egentlig samme regel som multiplikasjonsregelen over, for vi kan alltid skrive et tall som en brøk med 1 i nevneren.

Altså: $a \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle 1} \cdot \frac{\displaystyle c}{\displaystyle d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle 1d} = \frac{\displaystyle ac}{\displaystyle d}$

Oppgave 2:

Regn ut og forkort mest mulig:

$−\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

Multiplikasjon av blanda tall er mer komplisert fordi vi har en eller flere addisjoner inne i regnestykket.

Eksempel 11:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

betyr egentlig

$3 \cdot (2 + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2})$

Ved å multiplisere 3-tallet inn i parentesen, får vi

$3 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 6 + \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

En annen metode er å inkludere heltallet i brøken.

Eksempel 12:

$3 \cdot 2 \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = 3 \cdot \frac{\displaystyle 5}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 15}{\displaystyle 2} = 7\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$

Ved matematikk på høyere nivå er det ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter ned en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

Dividere brøk

Divisjon av brøk betyr at det som står under brøkstreken selv er en brøk, vi har altså en brudden brøk.

Eksempel 13:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\;}{\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}}$

Generelt:

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}}$

Uttrykket ser forferdelig komplisert ut, men i virkeligheten er divisjon av brøk veldig enkelt. Vi utvider brøken ved å multiplisere med nevnerens invers, ${\large \frac{d}{c}}$, i teller og nevner. Da blir nevneren i hovedbrøken 1, og vi står igjen med telleren multiplisert med nevnerens invers.

$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}\frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}} = \frac{\;\frac{\displaystyle ad}{\displaystyle bc}\;}{\displaystyle 1^\phantom 1} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$

Å dividere med en brøk er altså det samme som å multiplisere med den inverse (omvendte) brøken:

$\fbox{$\frac{\;\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}\;}{\frac{\displaystyle c}{\displaystyle d}} = \frac{\displaystyle a}{\displaystyle b} \cdot \frac{\displaystyle d}{\displaystyle c^{\tiny \phantom 1}}$}$

Eksempel 14:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

Eksempel 15:

$\frac{\;\frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1}\;}{\frac{\displaystyle z^\phantom 1}{\displaystyle y^2}} = \frac{\displaystyle z^2}{\displaystyle x^\phantom 1} \cdot \frac{\displaystyle y^2}{\displaystyle z^\phantom 1} = \frac{\displaystyle y^2z}{\displaystyle x^\phantom 1}$

Oppgave 3:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$

Oppgave 4:

Regn ut og forkort mest mulig:

$\frac{\;\frac{\displaystyle x^3y}{\displaystyle z^2}\;}{\frac{\displaystyle x^2y^4}{\displaystyle z}}$

23. januar 201716. desember 2024

Siden et tall alltid kan betraktes som en brøk med nevner 1, fungerer samme metode også hvis vi har et helt tall over eller under brøkstreken.

Eksempel 16:

$\frac{\;\displaystyle 2\;}{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}} = 2 \cdot \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$

Eksempel 17:

$\frac{\;\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}\;}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4} \cdot \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} = \frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 8}$

Kilder

- Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget

Brøk

Hva er brøk?

En brøk er et uttrykk på formen ${\large \frac{a}{b}}$, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$, og ${\large \frac{5}{2}}$.

En brøk består av 3 deler, teller, brøkstrek og nevner. Vi refererer ofte til telleren som «oppe», og nevneren som «nede».

Delene av en brøk

I bildet over vises brøkstreken som en horisontal strek. I noen lærebøker og på noen nettsider vil det imidlertid forekomme at brøkstreken er representert ved en skråstrek, «/», fordi dette passer bedre inn i teksten.

I denne artikkelen vil a og b være hele tall, men det er ikke noe krav at teller og nevner skal være hele tall for at vi skal definere noe som en brøk.

En brøk kan vi tenke på som deler av et hele, for eksempel kan vi tenke på ${\large \frac{3}{5}}$ som 3 deler av en helhet på 5:

Brøken 3/5 illustrert som deler av en sirkel

Nevneren i brøken angir hvor mange biter helheten er delt opp i, og telleren hvor mange av disse bitene vi har.

Fordeler med brøk

En brøk er egentlig et divisjonsstykke der brøkstreken erstatter divisjonssymbolet. Utfører vi divisjonen, får vi enten et helt tall eller et desimaltall. For eksempel ${\large \frac{6}{3}}=2$, $−{\large \frac{2}{5}} = −0,4$ og ${\large \frac{2}{3}} \approx 0,67$.

Siden en brøk alltid kan regnes om til et heltall eller desimaltall, kan hele begrepet virke overflødig. Men brøker er svært nyttige. Her er tre grunner til at vi trenger dem:

1. Med brøker kan vi angi størrelser som er mindre enn en enhet uten å bruke desimaltall. Når et desimaltall blir presentert som en brøk av heltall, er det mye lettere å danne seg et bilde av størrelsen enn ved desimaltall. For eksempel er det mye lettere å se for seg hvor mye ${\large \frac{1}{16}}$ pizza er enn hva 0,0625 pizza er.

2. Med brøker kan vi angi en divisjon eksakt uten å bruke rest. I noen tilfeller kan en brøk skrives som et eksakt desimaltall, slik som 2,5, men i andre tilfeller er det overhodet ikke mulig. Sier vi at ${\large \frac{2}{3}} \approx 0{,}67$, er desimaltallet rundet av, i virkeligheten inneholder det en uendelig rekke 6-tall bak komma.

3. Med brøker kan vi angi forhold mellom størrelser. For eksempel kan vi si at forholdet mellom gutter og jenter i en klasse er ${\large \frac{9}{13}}$, eller at forholdet mellom dager med og uten regn en måned var ${\large \frac{12}{19}}$.

Dersom telleren er mindre enn nevneren, har vi en ekte brøk, for eksempel ${\large \frac{2}{3}}$.

Varianter av brøk

Dersom telleren er større eller lik nevneren, har vi en uekte brøk, for eksempel ${\large \frac{11}{3}}$. En uekte brøk vil være større eller lik 1. Da kan vi trekke et heltall ut av brøken og stå igjen med et blanda tall, som består av et heltall og en ekte brøk. For eksempel kan ${\large \frac{11}{3}}$ skrives som ${3 \, \large \frac{2}{3}}$ som blanda tall.

Fordelen med blanda tall er at det er lett å se hvor mange hele som inngår. Men blanda tall har også ulemper. En av dem er at skrivemåten ${3 \, \large \frac{2}{3}}$, eller generelt ${c \, \large \frac{a}{b}}$, bryter med prinsippet fra algebraen om at elementer som stilles ved siden av hverandre skal multipliseres, slik for eksempel $2 {\large \frac{3}{x}}$ betyr $2 \cdot {\large \frac{3}{x}}$. En annen ulempe er at blanda tall gjør brøkregning mer komplisert. Bortsett fra på grunnleggende skolenivå er det da heller ikke vanlig å bruke blanda tall. Vi forkorter en brøk så langt det går, men så lar vi den stå, selv om den er uekte.

En brøk der telleren er lik 1, kalles en stambrøk. For eksempel er ${\large \frac{1}{4}}$ og ${\large \frac{1}{75}}$ stambrøker.

Brøker der teller og/eller nevner selv er en brøk, kalles brudden brøk.

Eksempel 1:

$\frac{\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4}}{\frac{\displaystyle 7}{\displaystyle 3}}$ er en brudden brøk.

Det finnes uendelig mange brøker som har samme tallverdi. Disse kalles likeverdige brøker. For eksempel er ${\large \frac{3}{4}} = {\large \frac{6}{8}} = {\large \frac{−3}{−4}}$ likeverdige brøker.

Forkorte brøk

Alle likeverdige brøker kan reduseres til en brøk der teller og nevner ikke har felles faktorer. Det kalles å forkorte brøken, og gjøres ved å faktorisere teller og nevner og stryke felles faktorer i teller og nevner mot hverandre.

Eksempel 2:

Forkorting av brøk

Her er to 2-tall i telleren strøket mot to 2-tall i nevneren.

Oppgave 1:

Forkort brøken så langt det er mulig:

$\frac{\displaystyle 735}{\displaystyle 882}$

Vi kan bare forkorte faktorer, altså tall som multipliseres, ikke tall som adderes eller subtraheres.

Eksempel 3:

$\frac{\displaystyle 2 + 4}{\displaystyle 2 + 6} \ne \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 6}$

Her kan vi ikke stryke 2-tallet i teller og nevner.

Forkorting er noe mange gjør feil, til og med studenter på universitetsnivå.

Vi kan også forkorte felles faktorer i en brøk som inneholder algebraiske uttrykk ved å stryke faktorer som opptrer både i teller og nevner.

Eksempel 4:

Forkorte brøk med algebraisk innhold

Det er selvfølgelig tungvint og unødvendig å skrive ut potensene på denne måten. I en brøk dividerer vi egentlig telleren på nevneren, og, som det beskrives i artikkelen om potensregning, dividerer vi to potenser med samme grunntall ved å subtrahere eksponentene. Så vi kan ta eksponentene i telleren og trekke fra de motsvarende eksponentene i nevneren.

Eksempel 5:

$\frac{\displaystyle x^4y}{\displaystyle x^2y^5} = \frac{\displaystyle x^{4 − 2}y^{1 − 5}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2y^{−4}}{\displaystyle 1} = \frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle y^4}$

En faktor med negativ eksponent i teller kan vi skifte fortegn på og flytte til nevneren, slik vi har gjort med y⁽⁻⁴⁾ i eksempel 5. Det betyr at vi i praksis kan forkorte ved å trekke den minste eksponenten fra den største, uansett om vi er i teller eller nevner.

Oppgave 2:

Forkort disse to brøkene så langt det går:

$\frac{\displaystyle x^5y^4z^2}{\displaystyle xy^2z^3}$

$\frac{\displaystyle 3x + 5y}{\displaystyle xy^2}$

Utvide brøk

Det motsatte av å forkorte en brøk er å utvide en brøk. Da multipliserer vi med samme tall i teller og nevner.

Eksempel 6:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 4}{\displaystyle 3 \cdot 4} = \frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 12}$

Å utvide en brøk er nødvendig når vi skal addere eller subtrahere brøker med forskjellig nevner.

Oppgave 3:

Utvid brøken under slik at nevneren blir $6x^3$

$\frac{\displaystyle x^2}{\displaystyle 3}$

23. januar 201714. desember 2024

Alle tall forskjellig fra 0 har en multiplikativ invers, som multiplisert med tallet blir 1. For eksempel er inversen til $2$ lik ${\large \frac{1}{2}}$ fordi ${2 \cdot \large \frac{1}{2}} = 1$. Inverse tall kalles også resiproke tall.

Den multiplikative inversen til en brøk finner vi ved å bytte om teller og nevner. For eksempel er inversen til ${\large \frac{3}{2}}$ lik ${\large \frac{2}{3}}$ og generelt er inversen til ${\Large \frac{a}{b}}$ lik ${\Large \frac{b}{a}}$.

Den inverse til en brøk kalles ofte den den omvendte brøk, fordi teller og nevner er byttet om.

Kilder

- Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1. Universitetsforlaget
- Gulliksen, T. (2000). Matematikk i praksis. Universitetsforlaget

Røtter

Kvadratrøtter

En kvadratrot av et tall, a, er et tall som multiplisert med seg selv gir a. For eksempel er 2 en kvadratrot av 4, fordi 2 · 2 = 4.

Å beregne verdien til en rot av et tall kalles ofte å trekke ut rota av tallet.

Kvadratrot skrives med symbolet $\sqrt{\phantom 1}$. Tallet vi skal trekke ut kvadratrota av, plasseres under symbolet. Kvadratrota av 4 skrives for eksempel slik: $\sqrt{4}$.

Alle positive tall har imidlertid to kvadratrøtter, der den ene er et positivt tall og den andre et negativt. For eksempel er −2 en kvadratrot av 4 fordi −2 · (−2) = 4.

For å angi den negative rota, setter vi et minustegn foran rotsymbolet, $−\sqrt{\phantom 1}$. For å angi begge røttene samtidig, setter vi et pluss/minus-symbol foran rottegnet, $\pm \sqrt{\phantom 1}$. Når vi i dagligtale sier «rota av», er det underforstått at vi mener den positive kvadratrota.

Negative tall har ikke kvadratrøtter fordi det ikke finnes tall som multiplisert med seg selv gir et negativt tall. Mer presist sagt, vil det ikke finnes kvadratrøtter blant de reelle tallene. Utvider vi tallsystemet til å omfatte komplekse tall, vil negative tall ha to komplekse kvadratrøtter. Kalkulatorer og dataprogrammer som ikke håndterer komplekse tall, gir en feilmelding hvis vi prøver å trekke ut kvadratrota av et negativt tall.

Kubikkrøtter

En kubikkrot av et tall, a, er et tall som multiplisert med seg selv tre ganger gir a. For eksempel er 2 en kubikkrot av 8, fordi 2 · 2 · 2 = 8.

Kubikkrot kalles også gjerne tredjerot, og skrives med symbolet $\sqrt[\Large 3]{\phantom 1}$, der det er tretallet over selve rot-symbolet viser at det dreier seg om en tredjerot. Tredjerota av 8 skrives for eksempel som $\sqrt[\Large 3]{8}$.

Både positive og negative tall har én kubikkrot. Kubikkrota av et positivt tall er et positivt tall, og kubikkrota av et negativt tall er et negativt tall. For eksempel er $\sqrt[\Large 3]{125} = 5$ fordi 5 · 5 · 5 = 125, og $\sqrt[\Large 3]{−125} = −5$ fordi −5 · (−5) · (−5) = −125. Igjen snakker vi om reelle tall, utvider vi tallsystemet til å omfatte komplekse tall, vil både positive og negative tall ha to komplekse kubikkrøtter.

n-te-røtter

Generelt snakker vi om en n-te-rot av et tall, a, som et tall som multiplisert med seg selv n ganger gir a. For eksempel er 3 en femterot av 243 fordi 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. n-te-rot skrives ved å plassere tallet som n representerer, over selve rotsymbolet, for eksempel slik for femterot: $\sqrt[\Large 5]{\phantom a}$.

Som vi har sett, sløyfer vi imidlertid som regel 2-tallet hvis det dreier seg om kvadratrot, og skriver $\sqrt{\phantom 1}$ i stedet for $\sqrt[\Large 2]{\phantom a}$.

Hvis n er et partall, finnes det to n-te-røtter av positive tall, som vil være ett positivt og ett negativt tall. Men det finnes ingen n-te-røtter av negative tall hvis n er et partall.

Hvis n er et oddetall, finnes det én n-te-rot av både positive og negative tall. n-te-rota av et positivt tall er da et positivt tall, og n-te-rota av et negativt tall er et negativt tall.

Utvider vi tallsystemet til å omfatte komplekse tall, vil imidlertid alle tall unntatt 0 ha nøyaktig n n-te-røtter.

Tallet 0 har bare én n-te-rot, $\sqrt[\Large n]{0} = 0$, uavhengig av n.

I eksemplene vi har brukt, har vi fått hele tall når vi har trukket ut røtter, men ofte vil dette ikke være tilfelle. For eksempel er $\sqrt 2 \approx 1{,}4142$.

Å trekke ut røtter er ofte vanskelig å gjøre for hånd, og vi benytter gjerne en kalkulator eller et dataprogram. I Excel kan vi trekke ut kvadratrøtter med funksjonen rot, for eksempel gir =rot(4) svaret 2. I GeoGebra bruker vi kommandoen sqrt. Skriver vi for eksempel sqrt(4) i inntastingsfeltet, svarer GeoGebra med 2 i algebrafeltet.

Excel har ikke noen funksjon for å trekke ut andre røtter enn kvadratrøtter. For å få til dette må vi benytte at å trekke ut n-te-rot er det samme som å opphøye i ${\large \frac{1}{n}}$, slik det er beskrevet i et senere avsnitt. I GeoGebra kan vi trekke ut n-te-røtter med kommandoen nrot eller nroot. Da må vi først oppgi hva vi skal trekke ut rota av, deretter hvilken rot vi skal trekke ut. For eksempel betyr nrot(8, 3) tredjerota av 8, mens nrot(3, 8) betyr åttenderota av 3.

Regneregler for røtter

Når vi skal trekke ut rota av et produkt, kan vi gjøre dette ved å multiplisere røttene av faktorene:

$\fbox{$\sqrt[\Large n]{ab} = \sqrt[\Large n] a \cdot \sqrt[\Large n] b$}$

Tilsvarende kan vi trekke ut rota av en kvotient ved å dividere rota av dividend med rota av divisor:

$\fbox{${\sqrt[\Large n]\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b}} = \frac{\displaystyle \sqrt[\Large n]a}{\displaystyle \sqrt[\Large n]b}$}$

Tilsvarende regel for sum og differanse finnes imidlertid ikke:

$\sqrt[\Large n]{a + b} \ne \sqrt[\Large n] a + \sqrt[\Large n] b \;\;$ og $\;\;\sqrt[\Large n]{a − b} \ne \sqrt[\Large n] a \, − \sqrt[\Large n] b$

For eksempel er $\sqrt{1 + 4} = \sqrt 5 \approx 2{,}24$ ikke det samme som $\sqrt 1 + \sqrt 4 = 1 + 2 = 3$.

Når vi skal forenkle uttrykk med røtter, bruker vi disse reglene. Vi trekker også ut røtter som gir hele verdier, for eksempel $\sqrt 9 = 3$ og $\sqrt{x^2} = x$. Røtter som ikke gir hele verdier, lar vi stå på rot-form, for eksempel $\sqrt 7$ og $\sqrt{x^3}$.

Eksempel 1:

Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt[\Large 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\Large 3]2}$ mest mulig.

Vi bruker regelen om rota av en kvotient baklengs:

$\frac{\displaystyle \sqrt[\Large 3]{16}}{\displaystyle \sqrt[\Large 3]2} = \sqrt[\Large 3]\frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 2} = \sqrt[\Large 3]8 = 2$.

Vi forenkler også gjerne ved å skille ut røtter av faktorer som gir hele verdier, hvis mulig.

Eksempel 2:

$\sqrt[\Large 3]{16}$ blir ikke et helt tall. Men vi kan forenkle ved å trekke ut faktoren 8:

$\sqrt[\Large 3]{16} = \sqrt[\Large 3]{8 \cdot 2} = \sqrt[\Large 3]{8} \cdot \sqrt[\Large 3]{2} = 2\sqrt[\Large 3]{2}$

Eksempel 3:

Vi skal forenkle $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.

Vi gjør ikke den feilen å si at dette er det samme som $\sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$. For summen av to røtter er ikke det samme som rota av summen. Derimot kan vi skille ut faktoren 4 fra 8, trekke ut rota, og så slå sammen like ledd:

$\sqrt 8 + \sqrt 2 = \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt 2 = \sqrt 4 \cdot \sqrt 2 + \sqrt 2 = 2 \sqrt 2 + \sqrt 2 = 3 \sqrt 2$.

Oppgave 1:

Forenkle $\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2}$ mest mulig.

Rotuttrykk på potensform

Ethvert rotuttrykk kan skrives som en potens, basert på regelen

$\fbox{$\sqrt[\Large n]a^{\phantom 1} = (a)^{\Large \frac{1}{n}}$}$.

Å trekke ut n-te rot er altså det samme som å opphøye i ${\large \frac{1}{n}}$.

Denne regelen er nyttig når vi skal forenkle uttrykk med forskjellige røtter, for eksempel en sjetterot og en tredjerot, slik det er vist i eksempel 4.

Eksempel 4:

Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1}$ mest mulig:

Vi skriver først om røttene til potenser, så bruker vi vanlige regneregler for å forenkle potensene, og til slutt gjør vi potensen om til rot igjen:

$\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1} = {(x^2)}^{\Large \frac{1}{6}} \cdot x^{\Large \frac{1}{3}} = x^{\Large \frac{2}{6}} \cdot x^{\Large \frac{1}{3}} = x^{\Large ( \frac{2}{6} + \frac{1}{3})} = x^{\Large \frac{2}{3}} = \sqrt[\Large 3]{x^2}$

Det er ikke nødvendig å gå veien om potenser, i eksempel 4 kunne vi for eksempel ha regnet slik:

$\sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^\phantom 1} = \sqrt[\Large 6]{x^2} \cdot \sqrt[\Large 6]{x^2} = \sqrt[\Large 6]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[\Large 6]{x^4} = \sqrt[\Large 3]{x^2}$

Men å gå veien om potenser kan gjøre utregningen enklere.

Oppgave 2:

Forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$ mest mulig mest mulig ved å gå veien om potenser.

Hint: Husk at det i kvadratrot egentlig er et 2-tall over rotsymbolet.

16. juli 202311. september 2023

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag

Greske bokstaver

I matematisk tekst brukes det mye greske bokstaver. Dette kan virke fremmedartet og gjøre teksten tunglest, men etter hvert som vi blir vant til bokstavene, tolker vi dem automatisk. Vi er sikkert allerede kjent med π, som er forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel, og μ, som vi bruker som symbol for «mikro», for eksempel i sammensetningen μg, mikrogram.

Det greske alfabetet er vist i tabellen under. Vi ser at noen av bokstavene har to varianter, det varierer i hvilken sammenheng de brukes.

Stor	Liten	Navn	Tilsvarer
Α	α	Alfa	a
Β	β	Beta	b
Γ	γ	Gamma	g
Δ	δ	Delta	d
Ε	ε, ϵ	Epsilon	e
Ζ	ζ	Zeta	z
Η	η	Eta	h
Θ	θ, ϑ	Theta	th
Ι	ι	Iota	i
Κ	κ, ϰ	Kappa	k
Λ	λ	Lambda	l
Μ	μ	My	m
Ν	ν	Ny	n
Ξ	ξ	Ksi	ks eller x
Ο	ο	Omikron	o
Π	π, ϖ	Pi	p
Ρ	ρ, ϱ	Rho	r
Σ	σ, ς	Sigma	s
Τ	τ	Tau	t
Υ	υ	Ypsilon	u
Φ	φ, ϕ	Phi	f
Χ	χ	Khi	kh
Ψ	ψ	Psi	ps
Ω	ω	Omega	o

Vi ser at første bokstav er alfa og siste er omega. Det er fra dette vi har uttrykket «alfa og omega», som betyr «først og sist».

Vi ser også at Σ betyr S, ikke E, som mange vil ha oss til å tro:

Kilder

- Store norske leksikon

28. april 201723. desember 2024

Kvadratsetningene

Multiplisere to parenteser

Den distributive lov sier at for tre vilkårlige tall, a, b og x, har vi at (a + b)x = ax + bx. Dersom vi så lar x bestå av tallene c + d, blir dette a(c + d) + b(c + d).

Bruker vi den distributive lov på hvert av disse uttrykkene igjen, får vi ac + ad + bc + bd.

Vi multipliserer altså to uttrykk i parentes ved å multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre:

$\fbox{$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$}$

Eksempel 1:

(1 + 2)(3 + 4) = 1 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 2 · 4 = 21.

Med tall er dette tungvint, for det er jo mye enklere å si (1 + 2)(3 + 4) = (3)(7) = 21. Men i uttrykk som inneholder noe annet enn tall, for eksempel (x + 2)(x + 3), vil vi måtte benytte regelen over.

Oppgave 1:

Regn ut og forenkle så langt det er mulig: (x + 2)(x + 3).

Første kvadratsetning

Vi har altså generelt at (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Et spesialtilfelle er at de to parentesene er like, slik at vi har (a + b)(a + b). Den generelle formen gjelder allikevel, så når vi multipliserer ut, får vi (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb. Her har vi brukt gul og blå bakgrunnsfarge for å illustrere hva som kommer fra hvilken parentes. Videre kan vi forenkle dette uttrykket ved å skrive
aa = a²ab + ba = ab + ab = 2ab (Her brukte vi kommutative lov til å skrive ba som ab)
bb = b²

Så vi har

aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Vi kan også skrive (a + b)(a + b) som (a + b)²

Setter vi dette sammen, får vi første kvadratsetning:

$\fbox{$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$}$

Eksempel 2:

Vi skal beregne (x + 3)². Vi bruker første kvadratsetning og får
(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x²+ 6x + 9.

Oppgave 2:

Bruk første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)². Forenkle så langt det er mulig.

Andre kvadratsetning

La oss så si at vi har et minustegn i stedet for et plusstegn inni parentesen, og skal regne ut (a − b)².
Dette kan vi skrive som (a + (−b))², og bruke formelen fra første kvadratsetning til å regne ut:

(a + (−b))² = a² + 2a(−b) + (−b)² = a² − 2ab + b²

Dette er andre kvadratsetning:

$\fbox{$(a − b)^2 = a^2 − 2ab + b^2$}$

Legg merke til at det bare er leddet 2ab som har negativt fortegn.

Oppgave 3:

Bruk andre kvadratsetning til å regne ut: (2x − 3y)². Forenkle svaret så langt det er mulig.

Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning)

Konjugatsetningen kalles gjerne tredje kvadratsetning, men det er egentlig ikke en kvadratsetning. For vi kvadrerer ikke et uttrykk i parentes, men multipliserer parentesene (a + b) og (a − b). Uttrykk som (a + b) og (a − b) sies å være konjugerte av hverandre, derav navnet konjugatsetningen.

Bruker vi regelen om å multiplisere to parenteser til å regne ut, får vi:
(a + b)(a − b) = aa + a(−b) + ba + b(−b). Loven for multiplikasjon av negative faktorer og den kommutative lov gir at a(−b) + ba = 0, og uttrykket blir aa − bb, altså a² − b².

Da har vi konjugatsetningen:

$\fbox{$(a + b)(a − b) = a^2 − b^2$}$

Oppgave 4:

Bruk konjugatsetningen til å regne ut: (2x + 3y)(2x − 3y). Forenkle svaret så langt som mulig.

Sjekk gjerne ut en fin geometrisk illustrasjon av kvadratsetningene hos NDLA.

Eksponenter høyere enn 2

I artikkelen om potensregning påpeker vi at $\left(a+b\right)^n \ne a^n + b^n$, og her ser vi altså at hvis eksponenten n er lik 2, har vi $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, første kvadratsetning.

Lar vi n være 3, slik at vi har $(a + b)^3$, kan vi gjøre følgende utregning:

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2 =$

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2) =$

$a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2 =$

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 =$

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Vi har altså funnet ut at

$\fbox{$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$}$

Ta det som en utfordring å forklare hvilke regler vi har brukt i utregningen!

Vi kan multiplisere med (a + b) en gang til og få at

$\fbox{$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$}$

Det finnes en formel, binomialformelen, som beskriver hva (a + b)ⁿ blir for alle mulige n, men det er ikke noe vi skal gå nærmere inn på.

CAS i GeoGebra kan imidlertid gjøre utregningene for oss for enhver x, også hvis vi har mer enn to elementer i parentesen. Hvis vi for eksempel vil regne ut (a + b + c)⁴, skriver vi RegnUt((a + b + c)^4) i CAS.

Oppgave 5:

Regn ut (2x + 5)³ ved å bruke formelen (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, og bruk så CAS til å sjekke om du har regnet riktig.

16. juli 202323. desember 2024

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag

Potensregning

At et symbol multipliseres et antall ganger med seg selv, uttrykker vi gjerne som en potens på formen aⁿ, der a kalles grunntallet og n eksponenten. aⁿbetyr at a skal multipliseres med seg selv n ganger. x³ betyr for eksempel x · x · x.

Eksempel 1:

2 · 2 · 2 = 2³ = 8.

6 · 6 = 6² = 36.

(−2) · (−2) · (−2) = (−2)³ = −8. Et negativt tall opphøyd i et oddetall blir et negativt tall.

(−6) · (−6) = (−6)² = 36. Et negativt tall opphøyd i et partall blir et positivt tall.

Bortsett fra de aller enkleste utgavene kan kalkulatorer regne ut potenser. I Excel og GeoGebra bruker vi symbolet ^, «hatt» til å angi «opphøyd i». For eksempel skriver vi 3² som 3^2.

Oppgave 1:

Regn ut (−5)⁴på kalkulator, i Excel og i GeoGebra.

Regneregler for potenser

Vi skal se på noen regneregler for potenser.

- $a^0 = 1$
  Alle tall opphøyd i 0 blir 1.

- $a^1 = a$
  Å opphøye noe i 1 har ingen effekt. Eksponenter som er lik 1, skriver vi derfor vanligvis ikke.

- $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$
  Å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene.

Eksempel 2:

$2^4 \cdot 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128$

Oppgave 2:

Regn ut ved å bruke regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall.

$3^5 \cdot 3^2$

$3\cdot3^2$

$\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle a^{\large y}} = a^{\large x − y}$
Å dividere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i differansen av eksponentene.

Oppgave 3:

Regn ut ved å bruke regelen for å dividere potenser med samme grunntall.

$\frac{\displaystyle 4^{5}}{\displaystyle 4^{3}}$

$\frac{\displaystyle 4^2}{\displaystyle 4^{−2}}$

${(a^{\large x})}^{\large y} = a^{\large x , \cdot , y}$
Å opphøye en potens i en eksponent er det samme som å opphøye i produktet av eksponentene.

Eksempel 4:

${(2^{3})}^{5} = 2^{3 \, \cdot \, 5} = 2^{15} = 32768$

Oppgave 4:

Regn ut ved å bruke regelen for å opphøye en potens i en eksponent.

${(3^{2})}^{3}$

${(3^{−2})}^{−3}$

$a^{\large x} \cdot b^{\large x} = (a \cdot b)^{\large x}$
Å multiplisere to potenser med samme eksponent er det samme som å multiplisere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.

Eksempel 5:

$2^{3} \cdot 4^{3} = (2 \cdot 4)^{3} = 8^3 = 512$

Oppgave 5:

Regn ut ved å bruke regelen for å multiplisere to potenser med samme eksponent.

$3^{2} \cdot 4^{2}$

$\frac{\displaystyle a^{\large x}}{\displaystyle b^{\large x}} = (\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b})^{\large x}$
Å dividere to potenser med samme eksponent er det samme som å dividere grunntallene først, og deretter opphøye i eksponenten.

Oppgave 6:

Regn ut ved å bruke regelen for å dividere to potenser med samme eksponent.

$\frac{\displaystyle 6^2}{ \displaystyle 3^2}$

$a^{\large x} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a^{\large −x}}$
Vi kan flytte en potens under/over en brøkstrek hvis vi samtidig endrer fortegn på eksponenten.

Eksempel 7:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^{−2}} = 3^2 = 9$

$2^{−3} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^3} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 8}$

Oppgave 7:

Regn ut ved å bruke regelen om å flytte en potens under/over en brøkstrek med fortegnsskifte på eksponenten.

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{−4}}$

$3^{−4}$

For potenser av summer og differanser finnes egne regneregler. Det er generelt slik at

$\left(a+b\right)^n \ne a^n + b^n$ og $\left(a−b\right)^n \ne a^n − b^n$

For eksempel er (3 + 2)² = 5² = 25 ikke det samme som 3² + 2² = 9 + 4 = 13, og (3 − 2)² = 1² = 1 er ikke det samme som 3² − 2² = 9 − 4 = 5. Men det er en vanlig feil blant skoleelever å tro at det finnes slike regler.

Så en oppgave der du må kombinere flere av reglene du har lært:

Oppgave 8:

Forenkle så langt det er mulig: $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$

Algebraiske uttrykk med potenser

Et algebraisk uttrykk kan inneholde potenser. Vi må da være oppmerksomme på at ledd ikke er av samme type hvis potensene er forskjellige. For eksempel er x⁴y og x²y ikke av samme type, og kan ikke trekkes sammen. Men x⁴y og (x²)²y er av samme type fordi (x²)² = x⁴.

Etter at leddene er sortert alfabetisk, er det vanlig å sortere etter synkende potenser.

Ifølge den kommutative lov kan vi fritt bytte om på faktorene i et ledd, ab = ba, for eksempel er y²x³ = x³y².

Eksempel 8:

Vi skal trekke sammen xyx²y + 3y²x³

Vi bytter om faktorene i det første leddet slik at vi samler x og y: xyx²y = xx²yy

Vi bruker reglene for å multiplisere potenser: xx²yy = x¹⁺²y¹⁺¹ = x³y²

Vi bytter om faktorene i det andre leddet: 3y²x³ = 3x³y²

Så xyx²y + 3y²x³ = x³y² + 3x³y²

Dette er to like ledd som vi kan slå sammen, og vi får 4x³y².

Oppgave 9:

Forenkle potensene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: x²y²x + x³y³x⁽⁻¹⁾ − x³y² + xyyyyy⁽⁻¹⁾x

28. april 201723. desember 2024

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
- Selvik, B.K., Rinvold R. & Høines, M.J. (2007). Algebra og funksjonslære. Casper forlag

Regneregler i algebra

For alle reelle og komplekse tall gjelder den kommutative lov, assosiative lov og distributive lov.

Når vi i det følgende sier «elementer» i stedet for «tall», er det fordi lovene også gjelder for symboler som representerer tall.

Kommutative lov

Å kommutere betyr å bytte om.

Den kommutative lov for addisjon sier at hvis vi skal addere to elementer, spiller addendenes rekkefølge ingen rolle, vi kan gjerne bytte dem om.

$\fbox{$a + b = b + a$}$

Dette er illustrert med to reelle tall i figuren under. Her ser vi at linja med a lagt før b er like lang som linja med b lagt før a.

Illustrasjon av kommutative lov for addisjon

Tilsvarende gjelder for multiplikasjon. Skal vi multiplisere to elementer, spiller faktorenes rekkefølge ingen rolle, vi kan gjerne bytte dem om.

$\fbox{$ab = ba$}$

Dette er illustrert med to reelle tall i figuren under. Her ser vi at rektangelet med a som grunnlinje og b som høyde har samme areal som rektangelet med b som grunnlinje og a som høyde. Det er bare rotert 90 grader.

Illustrasjon av kommutative lov for multiplikasjon

Den kommutative lov gjelder ikke for subtraksjon eller divisjon.

Assosiative lov

Å assosiere betyr å forene eller ledsage.

Den assosiative lov for addisjon sier at hvis vi skal addere tre elementer, spiller det ingen rolle hvilke to vi adderer først, rekkefølgen vi assosierer elementene i, er likegyldig.

$\fbox{$a + (b + c) = (a + b) + c$}$

Dette er illustrert med reelle tall i figuren under. Her ser vi at linja med a + b lagt før c er like lang som linja med a lagt før b + c.

Illustrasjon av assosiative lov for addisjon

Tilsvarende gjelder for multiplikasjon. Skal vi multiplisere tre elementer, spiller det ingen rolle hvilke to vi multipliserer først.

$\fbox{$a(bc) = (ab)c$}$

Dette blir tredimensjonale figurer som best illustreres med klosser.

Den assosiative lov gjelder ikke for subtraksjon eller divisjon.

Distributive lov

Å distribuere betyr å fordele.

Den distributive lov sier at hvis vi skal multiplisere et element med to addender, kan vi først multiplisere med hver av addendene og deretter addere produktene. Vi distribuerer altså elementet til addendene.

$\fbox{$a(b + c) = ab + ac$}$

Dette er illustrert med reelle tall i figuren under, der vi ser at rektangelet med a som grunnlinje og b + c som høyde er satt sammen av ett rektangel med a som grunnlinje og b som høyde, og ett med a som grunnlinje og c som høyde.

Illustrasjon av distributive lov

Den distributive lov gjelder også for subtraksjon.

Har vi flere ledd inni parentesen, multipliserer vi faktoren foran parentesen med hvert av leddene.

Eksempel 1:

Vi skal regne ut 2(6xy − 2x + 4).

Vi multipliserer 2 med hvert ledd og får 12xy − 4x + 8.

Eksempel 2:

Vi skal regne ut 2x(3y + z − 4).

Vi multipliserer 2x med hvert ledd og får 6xy + 2xz − 8x.

Oppgave 1:

Multipliser ut parentesene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: 6x(2y + 3z − 1 + y).

Negative faktorer

Produktet av en negativ og en positiv faktor er negativt. Produktet av to negative faktorer er positivt.

$\fbox{$(−a)b = a(−b) = −(ab) = −ab$}$

$\fbox{$(−a)(−b) = ab$}$

Eksempel 3:

Vi multipliserer −2x og 3y, og får −6xy:
−2x · 3y = −6xy

Eksempel 4:

Vi multipliserer 2x og −3y, og får −6xy:
2x · −3y = −6xy

Det er imidlertid en konvensjon at en ikke lar to operatorer «støte sammen», slik som · og − her. Vi setter derfor en parentes rundt den negative faktoren:
2x · (−3y) = −6xy

Vi kan også skrive uttrykket uten multiplikasjonstegn:
2x(−3y) = −6xy

Eksempel 5:

Vi multipliserer −2x og −3y, og får 6xy:
−2x(−3y) = 6xy

Oppgave 2:

Multipliser ut parentesene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: −3x(2y + 3z − 1 − y).

Oppgave 3:

Multipliser ut parentesene og trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: 5m² − 3n −3(m² + n) − (−m² − n).

9. januar 20171. desember 2024

Identitetselement

Et identitetselement (nøytralt element) er et element som ikke medfører noen endring når det kombineres med et annet element. Identitetselementet for addisjon er 0, det vil si at for et vilkårlig element, a, er a + 0 = a. For multiplikasjon er identitetselementet 1, det vil si at for et vilkårlig element, a, er a · 1 = a.

Invers

En invers (resiprok) til et element, a, er det elementet som kombinert med a gir identitetselementet. For addisjon er inversen –a, altså er a + (–a) = 0. For multiplikasjon er inversen a^(–1), altså er aa^(–1) = 1. a^(–1) kan også skrives som ${\large \frac{1}{a}}$, altså er $a \cdot {\large \frac{1}{a}} = 1$. Vi forutsetter da at a ≠ 0.

Kilder

- Sydsæter, K. (2001). Elementær algebra og funksjonslære. Gyldendal Norsk Forlag
- Birkeland, P.A., Breiteig, T. & Venheim, R. (2011). Matematikk for lærere 1
- Stewart, I. & Tall, D. (1993). Complex Analysis. Cambridge University Press
- Store norske leksikon

Elementær algebra

Algebra og aritmetikk

Den grenen av matematikken vi først møter gjennom skolen, er aritmetikk. I aritmetikken arbeider vi stort sett med tall, vi lærer for eksempel at 3 + 3 = 6. I algebra beveger vi oss over på et mer abstrakt plan, og arbeider med symboler. Som symboler bruker vi gjerne bokstaver. Vi kan for eksempel si at a + a = 2 · a. Bokstavene henter vi både fra vårt vanlige latinske alfabet og det greske alfabetet.

Algebraiske symboler

Hvis vi i aritmetikken sier at 3 + 3 = 2 · 3, forteller vi at å addere tre og tre er det samme som å multiplisere to og tre. Men hvis vi lar a symboliserer et vilkårlig tall, og sier at a + a = 2 · a, sier vi at å addere to like tall er det samme som å multiplisere tallet med to, uansett hvilket tall det er.

Ordet algebra kommer fra det arabiske ordet al-jabr, og betyr sammensetning eller gjenoppretting.

Når vi multipliserer symboler, eller tall og symboler, er det ikke vanlig å skrive multiplikasjonstegn. I stedet setter vi tall og symboler inntil hverandre. For eksempel skriver vi a · b som ab og 2 · a som 2a. Mellom tall må vi imidlertid beholde multiplikasjonstegnet, vi kan for eksempel ikke skrive 2 · 3 som 23.

Algebraiske uttrykk

Ofte setter vi symbolene sammen i algebraiske uttrykk. Et eksempel på et algebraisk uttrykk er 3xy − 3x + 2xy + 5x. Hver gruppe av symboler og tall kalles ledd i uttrykket, i dette eksempelet er leddene 3xy, −3x, 2xy og 5x. Tallene i hvert ledd kalles koeffisienter. I vårt eksempel er koeffisientene 3, −3, 2 og 5. Ledd der bare koeffisientene er forskjellige, kalles ledd av samme type. Ledd av samme type kan trekkes sammen ved addisjon og subtraksjon.

Det er vanlig å sortere leddene alfabetisk etter sammentrekningen.

Eksempel 1:

Vi skal trekke sammen og forenkle 3yz − 4x + 2yz + 5x så mye som mulig.

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

3yz + 2yz − 4x + 5x

Vi trekker sammen like ledd:

5yz + 1x

Vi organiserer leddene alfabetisk og sløyfer 1-tallet. Koeffisienter som er lik 1, skrives vanligvis ikke. Vi skriver for eksempel bare x i stedet for 1x:

x + 5yz

I eksempel 1 har vi vist utregningen i mer detalj enn en vanligvis gjør. Med litt øvelse vil vi kunne gjøre mange av regneoperasjonene i hodet.

Oppgave 1:

Trekk uttrykket sammen så langt det er mulig: 4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z.