Kategori: Matematikk

Publisert

Løsningsforslag, GeoGebra

Introduksjon

​Oppgave 1:

Vi skal sette inn et punkt A i (1, 2) og et punkt C i ( 4, 3) ved å skrive i inntastingsfeltet, og deretter trekke en linje mellom punktene ved å velge «Linjestykke mellom to punkt» fra verktøylinja. 

Vi skriver først (1, 2), deretter C = (4, 3) i inntastingsfeltet. Så velger vi «Linjestykke mellom to punkt» og klikker på de to punktene etter tur.

Menyvalg for å sette inn linjestykke mellom to punkt

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke GeoGebra til å tegne grafen til funksjonen f(x) = 4x3 − 48x2 + 144x, og justere enhetene på aksene slik at hele grafen får plass i grafikkfeltet.

Vi skriver følgende i inntastingsfeltet:

funksjon(4x^3 – 48x^2 + 144x, 0, 6)

Så går vi til Innstillinger-dialogboksen og endrer akseverdiene til om lag

x-min = −2

x-maks = 8

y-min = −50

y-maks = 150

Grafen er vist under:

Tredjegradskurve med begrensning i x-verdier

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Tilbake til oppgaven

Funksjonsanalyse

Oppgave 2:

Vi skal ta utgangspunkt i funksjonen f(x) = x3 + 2x2 − x − 2, og bruke GeoGebra til å

    1.  Finne ekstremalpunktene til funksjonen.
      Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: x^3 + 2x^2 – x – 2.
      Ekstremalpunktene finner vi ved å skrive: ekstremalpunkt(f) i inntastingsfeltet.
      GeoGebra angir at funksjonen har et maksimalpunkt i (−1,55, 0,63) og et minimalpunkt i (0,22, −2,11).
       
    2. Finne funksjonens vendepunkt.
      Vi skriver: vendepunkt(f) i inntastingsfeltet.
      GeoGebra angir at funksjonen har et vendepunkt i (−0,67, −0,74).
       
    3. Løse likningen x3 + 2x2 − x − 2 = 0.
      Vi finner den tilhørende funksjonens nullpunkter ved å skrive: nullpunkt(f) i inntastingsfeltet.
      GeoGebra angir at nullpunktene er (−2, 0), (−1, 0) og (1, 0).
      Løsningen er altså x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1.
      En annen løsningsmetode kan være å finne skjæringspunktene mellom f(x) og x-aksen.

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal finne eventuelle asymptoter til funksjonene

    1. $f(x) = 3 + \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle x + 4}$
      Vi skriver: 3 + 2 / (x + 4) i inntastingsfeltet.
      Vi skriver: asymptote(f) i inntastingsfeltet.
      GeoGebra viser ei liste med y = 3 og x = −4 i algebrafeltet, og tegner disse to asymptotene i grafikkfeltet.
       
    2. $g(x) = x^2 + 3x − 2$
      Vi skriver: 3x^2 + 3x – 2 i inntastingsfeltet.
      Vi skriver: asymptote(g) i inntastingsfeltet.
      GeoGebra viser ei tom liste i algebrafeltet. Funksjonen har ingen asymptoter.

Vi har her forutsatt at det ikke er noen funksjoner registrert fra før, slik at navnene automatisk blir f og g. 

​Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Basert på målingene i tabellen under skal vi bruke glidere i GeoGebra til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon, f(t), som kan brukes som modell for forsøket.

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80
    1. Ved å eksperimentere med glidere for a og b, finner vi at funksjonen f(t) = 5t + 10 ser rimelig bra ut. Her er det imidlertid rom for variasjon, så det kan godt være du har funnet noe som er bedre.
       
    2. f(0) = 10. Vannet holdt 10 grader da forsøket startet.
       
    3. Stigningstallet a = 5, derfor stiger temperaturen med 5 grader per minutt.
       
    4. Funksjonsforskriften kan ikke brukes til å anslå hvilken temperatur vannet vil ha etter 30 minutter. f(30) = 160, og modellen er bare gyldig opp til 100 grader.

Tilbake til oppgaven

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Delt funksjonsforskrift

Oppgave 1:

Vi skal bruke kommandoen dersom i GeoGebra til å plotte funksjonen $f(x) = \begin{cases} x+2, & x < 1 \\ 2x+1, & x \ge 1 \\ \end{cases}$.

Vi kan enten bruke x < 1 som kriterium og skrive dersom(x < 1, x + 2, 2x + 1) i inntastingsfeltet, eller vi kan bruke x ≥ 1 som kriterium og skrive dersom(x >= 1, 2x + 1, x + 2).

Plottet ser i begge tilfeller slik ut:

Plott av delt funksjonsforskrift med to verdier

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke kommandoen dersom i GeoGebra til å plotte funksjonen $f(x) = \begin{cases} 1, & x < 1 \\ 2, & 1 \le x < 2 \\ 3, & 2 \le x \\ \end{cases}$.

Det finnes flere måter å velge kriteriene på, men vi kan for eksempel skrive dersom(x < 1, 1, 1 ≤ x < 2, 2, 3).

Plottet ser slik ut:

Plott av delt funksjonsforskrift med tre verdier

Tilbake til oppgaven

Derivasjon

Oppgave 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å finne første- og fjerdederiverte til funksjonen f(x) = 3x5 + 2x4 − 3x3 − x2 + 2x − 1.

Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: 3x^5 + 2x^4 – 3x^3 – x^2 + 2x – 1.

Vi skriver: f′(x) eller derivert(f) i inntastingsfeltet.

GeoGebra tegner grafen i grafikkfeltet og angir funksjonsforskriften i algebrafeltet: f′(x) = 15x4 +8x3 − 9x2 − 2x + 2.

Vi skriver: f′′′′(x) eller derivert(f, 4) i inntastingsfeltet.

GeoGebra tegner grafen i grafikkfeltet og angir funksjonsforskriften i algebrafeltet: f′′′′(x) = 360x + 48.

Tilbake til oppgaven

Integrasjon

Oppgave 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å beregne integralet $\int 3x^2dx$.

Vi skriver funksjonsforskriften i inntastingsfeltet: 3x^2.

GeoGebra viser funksjonsforskriften f(x) = 3x2 i algebrafeltet og grafen til f(x) i grafikkfeltet.

Vi skriver integralkommandoen i inntastingsfeltet: integral(f).

GeoGebra oppretter den integrerte funksjonen, g, viser funksjonsforskriften g(x) = x3 i algebrafeltet og grafen til g(x) i grafikkfeltet.

Hvis vi ikke har bruk for den opprinnelige funksjonen, kan vi hoppe over den, og skrive integral(3x^2).

Vi kan også åpne CAS («Vis» – «CAS») og skrive integral(3x^2) hvis vi ikke er interessert i grafen.

Tilbake til oppgaven

Trigonometri

Oppgave 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å illustrere definisjonen av cosinus.

Vi bruker samme oppskrift som for illustrasjon av sinus, vist i eksempel 1. De første fire punktene blir like. Men i punkt 5 skal vi lage et linjestykke fra C som står vinkelrett på y-aksen. Dette punktet vil ha x-koordinat 0, og samme y-koordinat som C: (0, y(C)). Så vi skriver: linjestykke(C, (0, y(C))).

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bygge ut det vi laget i oppgave 1 til å tegne grafen til cosinus. Vi skal følge oppskriften på å tegne grafen til sinus, fra eksempel 2.

Vi baserer oss på de 5 trinnene i eksempel 2, men I punkt 2 skal vi bruke x-koordinaten, ikke y-koordinaten til C og skriver: x(C). Denne verdien representerer cosinus, GeoGebra kaller den g i algebrafeltet. I punkt 3 bruker vi denne verdien når vi lager et punkt som har y-koordinat lik cosinus til vinkelen og skriver: (d, g). GeoGebra kaller punktet E, og vi kan sette sporing på det på samme måte som i eksempel 2.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal plotte punktet r = 1, θ = 60° i GeoGebra. Det gjør vi ved å skrive (1; 60°) i inntastingsfeltet.

Tilbake til oppgaven

Vektorer og avbildninger

Oppgave 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å:

  • sette inn vektoren $\vec a$ med startpunkt i (0, 0) og sluttpunkt i (4, 3).
    Vi skriver a = (4, 3) i inntastingsfeltet. Alternativt setter vi inn fra menyen «Vektor», klikker i (0, 0) og (4, 3), endrer navnet etterpå og skjuler punktene.
    GeoGebra setter inn vektoren a = [4, 3] med startpunkt i (0, 0) og sluttpunkt i (4, 0).
     
  • sette inn vektoren $\vec b$ med startpunkt i (4, 3) og sluttpunkt i (6, −1).
    Vi skriver b= vektor((4, 3), (6, -1)) i inntastingsfeltet. Alternativt bruker vi menyen «Vektor» som i forrige punkt.
    GeoGebra setter inn vektoren b = [2, −4] med startpunkt i (4, 3) og sluttpunkt i (6, −1).
     
  • beregne vektoren $\vec s = \vec a + \vec b$
    Vi skriver s = a + b i inntastingsfeltet.
    GeoGebra setter inn vektoren s = [6, −1] med startpunkt i (0, 0) og sluttpunkt i (6, −1).
     
  • beregne vektoren $\vec d = \vec a − \vec b$
    Vi skriver d = a – b i inntastingsfeltet.
    GeoGebra setter inn vektoren d = [2, 7] med startpunkt i (0, 0) og sluttpunkt i (2, 7).
     
  • beregne lengden $| \vec a |$
    Vi skriver |a| eller lengde(a) eller abs(a) i inntastingsfeltet.
    GeoGebra setter inn tallet c = 5 i algebrafeltet.
     
  • beregne prikkproduktet $\vec a \cdot \vec b$
    Vi skriver a*b i inntastingsfeltet.
    GeoGebra setter inn tallet e = −4 i algebrafeltet.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke GeoGebra til å lage en trekant med hjørner i (3, 2), (6, 2) og (4, 4), flytte trekanten −2 enheter i x-retning og 3 enheter i y-retning, og deretter rotere den flyttede trekanten 60 grader om punktet (0, 4).

Vi velger «Mangekant» fra menyen, klikker i (3, 2), (6, 2), (4, 4) og deretter i (3, 2) igjen. GeoGebra setter inn en trekant med hjørner i disse punktene.

Vi velger «Vektor» fra menyen og setter inn en vektor som er [−2, 3], for eksempel ved å klikke i punktene (0, 0) og (−2, 3). Vi velger så «Flytt objekt med vektor» fra menyen, klikker på trekanten, deretter på vektoren. GeoGebra lager en ny trekant med hjørner i (1, 5), (4, 5) og (2, 7).

Vi setter inn et punkt i (0, 4) ved å velge «Nytt punkt» fra menyen og klikke i (0, 4). Vi velger så «Roter objekt om punkt med fast vinkel», klikker på den nye trekanten, deretter punktet i (0, 4) og skriver 60 i dialogboksen som kommer opp.

Tilbake til oppgaven

Dynamisk geometri

Oppgave 1:

Vi skal lage en vilkårlig trekant og bruke den til å illustrere sinussetningen, det vil si at forholdet mellom sinus til en vinkel i en trekant og lengden på den motstående siden er likt for alle vinkler og sider i en trekant.

Vi velger «Mangekant» og klikker ut tre punkter der trekantens hjørner skal være, så klikker vi tilbake i det første punktet. Alternativt bygger vi trekanten opp ved hjelp av linjer.

Vi velger «Vinkel» og klikker parvis på de sidene vi skal opprette en vinkel mellom, hvert par i retning mot klokka.

Vi har nå en trekant med sider a, b, c og vinkler α, β, γ. Hvilke vinkler som er motstående til hvilke sider vil variere med rekkefølgen vi satte dem inn i. I det følgende antar vi at α er motstående med a, β med b og γ med c.

Vi oppretter tre variable med hvert sitt forhold mellom sinus til vinkel og sidelengde. De kan hete hva som helst, vi kaller dem fa, fb og fc. I inntastingsfeltet skriver vi
fa = sin(α)/a
fb = sin(β)/b
fc = sin(γ)/c.

De greske bokstavene henter vi fra symbolmenyen som dukker opp til høyre for inntastingsfeltet når vi setter markøren i det.

fa, fb og fc dukker opp i algebrafeltet, alle har samme verdi.

Vi velger «Tekst», klikker der boksen skal stå og skriver inn en ledetekst, for eksempel «Forhold a: «. Så setter vi inn det tilhørende objektet, som vi har kalt fa, ved å hente det fra «Objekt»-menyen i tekstboksen. NB! Dette må hentes fra menyen, vi kan ikke bare skrive inn navnet på det. Vi gjør tilsvarende for de andre to objektene.

Nå kan vi klikke på pila til venstre i verktøylinja, ta tak i et av hjørnene i trekanten og dra. Når trekanten endrer form, endrer forholdstallene seg, men de tre er alltid like.

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila

Tilbake til oppgaven

Regresjon

Oppgave 1:

Vi skal bruke regresjon i GeoGebra til å finne forskriften til en lineær funksjon som kommer så nærme punktene i lista under som mulig.

Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

Vi henter fram regnearkfeltet hvis det ikke allerede er framme: «Vis» – «Regneark».

Vi skriver inn lista med målinger i regnearket, kvarter i kolonne A og kilometer i kolonne B.

Vi markerer tallene, høyreklikker og velger «Lag» – «Liste med punkt».

GeoGebra lager ei liste som heter Liste1.

Vi skriver: reglin(Liste1) i inntastingsfeltet.

GeoGebra foreslår funksjonsforskriften y = 20,11x − 0,11 i algebrafeltet og tegner den tilhørende grafen i grafikkfeltet.

Matematisk er nok denne nøyaktig, men vi ser at det ikke representerer situasjonen helt godt. Den sier at når turen starter har familien kjørt 0,11 kilometer feil vei.

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruk funksjonen regpot i GeoGebra til å finne en potensfunksjon som beskriver situasjonen i tabellen under.

Tid (sekunder) 1 2 3 4 5
Distanse (meter) 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5

Vi henter fram regnearkfeltet hvis det ikke allerede er framme: «Vis» – «Regneark».

Vi skriver inn lista med målinger i regnearket, tid i kolonne A og distanse i kolonne B.

Vi markerer tallene, høyreklikker og velger «Lag» – «Liste med punkt».

GeoGebra lager ei liste som heter Liste1.

Vi skriver: regpot(Liste1) i inntastingsfeltet.

GeoGebra foreslår funksjonsforskriften f(x) = 4,9x2 i algebrafeltet og tegner den tilhørende grafen i grafikkfeltet.
Funksjonsforskriften er helt korrekt, formelen for fritt fall er $d = {\large \frac{1}{2}}gt^2$, der d er falt distanse, t er tida og g er tyngdens akselerasjon som er om lag 9,8.

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

Tilbake til oppgaven

Statistikk

Oppgave 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å lage et søylediagram som viser fordeling av følgende karakterer:1, 4, 5, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 3, 3, 1, 3, 2, 5, 6, 3, 1, 4, 2. Søylebredden skal være 0,75.

Metode 1:

Vi skriver tallene inn i et celleområde i regnearket i GeoGebra, for eksempel A1:E5. I inntastingsfeltet skriver vi så søylediagram(A1:E5, 0.75). GeoGebra lager søylediagrammet under:

Søylediagram

Metode 2:

Karakterene fordeler seg slik:

 Karakter  1   2   3   4   5   6 
 Frekvens   4  5   5  7  3  1

Vi skriver karakterene i én kolonne i regnearket i GeoGebra, for eksempel A1:A6 og frekvensen i en annen, for eksempel B1:B6. I inntastingsfeltet skriver vi så søylediagram(A1:A6, B1:B6, 0.75). GeoGebra lager samme søylediagram som ved metode 1.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke GeoGebra til å lage et histogram som viser fordeling av karakterene fra oppgave 1, med intervaller 1-2, 3, 4 og 5-6.

Karakterene er fordelt slik:

 Karakter 1 – 2 3 4 5 – 6
 Frekvens  9 5 7 4

Det er sagt at intervallgrensene skal være 0,5-2,5, 2,5-3,5, 3,5-4,5 og 4,5-6,5. Så vi skriver 0.5, 2,5, 3.5, 4.5, 6.5 i én kolonne, for eksempel i cellene A1 – A5. Frekvensen, altså 9, 5, 7, 4 skriver vi en annen kolonne, for eksempel i cellene B1 – B4. Intervallbredden beregner vi så for hvert intervall. Vi skriver = A2 – A1 for eksempel i celle C1, tar tak i hjørnet og drar ned til C4. Til slutt beregner vi søylehøyden for hvert intervall. Vi skriver = B1 / C1 for eksempel i celle D1, tar tak i hjørnet og drar ned til D4. 

I inntastingsfeltet skriver vi så histogram(A1:A5, D1:D4). GeoGebra lager histogrammet under:

Histogram

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal lage et boksplott av dataene 6, 25, 15, 8, 29, 14, 27, 30, 0, 29, 0, 2, 23, 125, 5, 30, 20, 10, 14, sentrert rundt y = 1 og med total bredde 1.

    1. Basert på rådataene.
      Vi skriver boksplott(1, 0.5,{6, 25, 15, 8, 29, 14, 27, 30, 0, 29, 0, 2, 23, 125, 5, 30, 20, 10, 14}), eller legger inn dataene i regneark-delen. Legger vi dataene i celle A1 – A19, skriver vi etterpå boksplott(1, 0.5, A1:A19).
       
    2. Basert på at laveste verdi er 0, første kvartil 6, median 15, tredje kvartil 29 og største verdi 125.
      Vi skriver boksplott(1, 0.5, 0, 6, 15, 29,125).

I begge tilfeller lager GeoGebra boksplottet under:

Boksplott

Tilbake til oppgaven

Sannsynlighetskalkulatoren

Oppgave 1:

X betegner antall kron i 8 kast med en juksemynt der sannsynligheten for kron er 0,6, og vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til beregninger.

Hvis den ikke alt er framme, tar vi opp sannsynlighetskalkulatoren ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Vi velger «Binomisk fordeling» og setter «n» = 8 og «p» = 0,6.

Vi skal så beregne 

    1. ​Fordelingens forventningsverdi og standardavvik.
      Vi leser av at forventningen er μ = 4,8 og standardavviket er σ ≈ 1,3856.
       
    2. P(X = 4)
      Vi velger «Intervall» og setter 4 både som øvre og nedre grense. Alternativt drar vi begge pilene inn under kolonne 4. GeoGebra svarer 0,2322. Dette er illustrert under:
      Beregning av binomiske sannsynligheter i GeoGebra
       
    3. P(X ≤ 2)
      Vi velger «Venstresidig» og setter 2 som øvre grense. Alternativt drar vi pila inn under kolonne 2. GeoGebra svarer 0,0498.
       
    4. P(X > 6)
      I en diskret fordeling har vi at P(X > x) = P(X ≥ x + 1).
      Så P(X > 6) = P(X ≥ 7).
      Vi velger «Høyresidig» og setter 7 som nedre grense. Alternativt drar vi pila inn under kolonne 7. GeoGebra svarer 0,1064.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

I en forening med 65 medlemmer er 13 negative til et forslag, og vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til beregninger.

Hvis den ikke alt er framme, tar vi opp sannsynlighetskalkulatoren ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Vi velger «Hypergeometrisk fordeling» og setter «populasjon» = 65, «n» = 13 og «utvalg» = 20.

Vi skal finne fordelingens forventning og standardavvik, noe vi leser av til å være μ = 4 og σ ≈ 1,5.

Så skal vi finne sannsynligheten for at

    1. Ingen av representantene er negative.
      Vi velger «Intervall» og setter 0 både som øvre og nedre grense. Alternativt drar vi begge pilene inn under kolonne 0. GeoGebra svarer 0,0044.
       
    2. Én av representantene er negativ.
      Vi velger «Intervall» og setter 1 både som øvre og nedre grense. Alternativt drar vi begge pilene inn under kolonne 1. GeoGebra svarer 0,035.
       
    3. To eller flere av representantene er negative.
      Vi velger «Høyresidig» og setter 2 som nedre grense. Alternativt drar vi pila inn under kolonne 2. GeoGebra svarer 0,9605.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

I en vannprøve er det i gjennomsnitt to hoppekreps. Vi antar at mengden hoppekreps er poissonfordelt, og skal bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til beregninger.

Hvis den ikke alt er framme, tar vi opp sannsynlighetskalkulatoren ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Vi velger «Poissonfordeling» og setter «μ» = 2. 

Så skal vi finne sannsynligheten for at en annen, like stor vannprøve inneholder

  1. Ingen hoppekreps.
    Vi velger «Intervall» og setter 0 både som øvre og nedre grense. Alternativt drar vi begge pilene inn under kolonne 0. GeoGebra svarer 0,1353 
     
  2. Én hoppekreps.
    Vi velger «Intervall» og setter 1 både som øvre og nedre grense. Alternativt drar vi begge pilene inn under kolonne 1. GeoGebra svarer 0,2707.
     
  3. To eller flere hoppkreps.
    Vi velger «Høyresidig» og setter 2 som nedre grense. Alternativt drar vi pila inn under kolonne 2. GeoGebra svarer 0,594.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

På en eksamen er resultatene normalfordelt, N(14, 22). Laveste poengsum for å stå er 12 poeng, og vis skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne hvor stor del av de som tar eksamenen som kan forventes å ikke stå.

Hvis den ikke alt er framme, tar vi opp sannsynlighetskalkulatoren ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Vi velger «Normalfordeling» og setter «μ» = 14 og «σ» = 2.

Vi velger «Venstresidig» og setter 12 som øvre grense. Alternativt drar vi pila inn under kolonne 12. GeoGebra svarer 0,1587.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 99 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at standardavviket til produksjonen er σ = 5,8.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-estimat av et gjennomsnitt», og setter

    • «Konfidensnivå» til 0.99, fordi vi skal ha et 99 %-intervall.
    • «Gjennomsnitt» til 217, fordi gjennomsnittsproduksjonen er 217 enheter.
    • «σ» til 5.8, fordi standardavviket til produksjonen er 5,8.
    • «N» til 6, fordi vi har målinger fra 6 dager.

Beregning av 99 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, n-foredeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [210,9008, 223,0992]. Dette regner vi ut for hånd i oppgave 4 i artikkelen om estimering. 

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 90 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager X = 217 enheter og at utvalgsstandardavviket er beregnet til S = 6.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-estimat av et gjennomsnitt», og setter

    • «Konfidensnivå» til 0.9, fordi vi skal ha et 90 %-intervall.
    • «Gjennomsnitt» til 217, fordi gjennomsnittsproduksjonen er 217 enheter.
    • «s» til 6, fordi utvalgsstandardavviket er 6.
    • «N» til 6, fordi vi har målinger fra 6 dager.

Beregning av 90 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, t-foredeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [212,0642, 221,9358].

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for at en vilkårlig mobillader er defekt, når det blant 2000 stikkprøver ble funnet 35 defekte.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-estimat av en andel», og setter

    • «Konfidensnivå» til 0.95, fordi vi skal ha et 95 %-intervall.
    • «Treff» til 35 fordi 35 av laderne er defekte.
    • «N» til 2000 fordi det er tatt 2000 stikkprøver.

Beregning av 90 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, binomisk modell

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [0,0118, 0,0232]. Dette regner vi ut for hånd i oppgave 9 i artikkelen om estimering. 

Tilbake til oppgaven

Oppgave 8:

Vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om henholdsvis 20 av 100 og 200 av 1000 seksere ved terningkast tyder på at terningen gir for mange seksere.

Den alternative hypotesen blir HA: p > 1/6, og nullhypotesen H0: p = 1/6.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test av en andel», og setter

    • «Nullhypotese p =» til 1/6 fordi nullhypotesen er at mynten er rettferdig, med en sannsynlighet for sekser på ${\large \frac{1}{6}}$. GeoGebra regner 1/6 om til desimaltall.
    • «Alternativ hypotese» til «>» fordi den alternative hypotesen er at terningen gir for mange seksere.
    • «Treff» til 20 fordi kastene i første undersøkelse har gitt 20 seksere.
    • «N» til 100 fordi det er gjort totalt 100 kast i første undersøkelse.

Hypotesetest i sannsynlighetskalkulator, binomisk modell, 20 av 100

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 0,8935. Med et lite avvik, som antakelig skyldes avrundingsfeil, regner vi dette ut for hånd i oppgave 1 i artikkelen om hypotesetesting. Siden Z ≈ 0,8935 < zα = z0,05 ≈ 1,6449, kan vi konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,1858. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Vi endrer så

    • «Treff» til 200 fordi kastene i andre undersøkelse har gitt 200 seksere.
    • «N» til 1000 fordi det er gjort totalt 1000 kast i andre undersøkelse.

Hypotesetest i sannsynlighetskalkulator, binomisk modell, 200 av 1000

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 2,8254. Med et lite avvik, som antakelig skyldes avrundingsfeil, regner vi dette ut for hånd i oppgave 2 i artikkelen om hypotesetesting. Siden Z ≈ 2,8254 > zα = z0,05 ≈ 1,6449, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0024. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 9:

Vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om angitt gjennomsnittlig ventetid på 30 sekunder på en telefontjeneste er satt for lavt når 15 oppringninger gir en gjennomsnittlig ventetid på 37 sekunder, med et standardavvik på 14.

Den alternative hypotesen blir HA: μ > 30, og nullhypotesen H0: μ = 30.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-test av en andel», og setter

    • «Nullhypotese μ =» til 30 fordi dette er den angitte ventetiden.
    • «Alternativ hypotese» til «>» fordi den alternative hypotesen er at ventetiden er høyere enn angitt.
    • «Gjennomsnitt» til 37 fordi den gjennomsnittlige ventetiden er 37 sekunder.
    • «s» til 14 fordi utvalgsstandardavviket er 14.
    • «N» til 15 fordi det er gjort 15 målinger.

Hypotesetest i sannsynlighetskalkulator, målemodell, ukjent standardavvik

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 1,9365. Siden t ≈ 1,9365 > tα = t0,05 (15−1) ≈ 1,7613, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0366. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 10:

Vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på mengden sukker to maskiner tilsetter en matvare. 60 stikkprøver av maskin X gir et snitt på 10,107 gram sukker, og 75 stikkprøver av maskin Y gir et snitt på 10,061 gram sukker. Standardavvikene er kjent som, 0,11 gram for maskin X og 0,13 gram for maskin Y.

Den alternative hypotesen blir HA: μ1 = μ2, og nullhypotesen H0: μ1 ≠ μ2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test mellom gjennomsnitt», og setter

        • «Nullhypotese μ1 − μ2» til 0 fordi nullhypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene er like.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere maskin X og setter

        • «Gjennomsnitt» til 10.107 fordi gjennomsnittsmengden for maskin X er 10,107.
        • «σ» til 0.11 fordi maskin X opererer med et standardavvik på 0,11.
        • «N» til 60 fordi det er gjort 60 målinger på maskin X.

Vi lar «Utvalg 2» representere maskin Y og setter

        • «Gjennomsnitt» til 10.061 fordi gjennomsnittsmengden for maskin Y er 10,061.
        • «σ» til 0.13 fordi maskin Y opererer med et standardavvik på 0,13.
        • «N» til 75 fordi det er gjort 75 målinger på maskin Y.

Hypotesetest i to utvalg sannsynlighetskalkulator, målemodell, kjent standardavvik

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 2,2261. Dette regner vi ut for hånd i oppgave 1 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden Z ≈ 2,2261 > zα/2 = z0,025 ≈ 1,9600, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,026. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 11:

Vi skal bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på antall defekte sømmer på bukser produsert ved to produksjonslinjer når det ved produksjonslinje X er 147 av 2500 defekter, og ved produksjonslinje Y er 151 av 2000 defekter.

Den alternative hypotesen blir HA: p1 = p2, og nullhypotesen H0: p1 ≠ p2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test. Forskjell mellom andeler», og setter

    • «Nullhypotese p1 − p2» til 0 fordi nullhypotesen er at andelene defekte i de to utvalgene er like.
    • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at andelene defekte i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere produksjonslinje X og setter

    • «Treff» til 147 fordi antall defekte ved produksjonslinje X er 147.
    • «N» til 2500 fordi det er undersøkt 2500 sømmer ved produksjonslinje X.

Vi lar «Utvalg 2» representere produksjonslinje Y og setter

    • «Treff» til 151 fordi antall defekte ved produksjonslinje Y er 151.
    • «N» til 2000 fordi det er undersøkt 2000 sømmer ved produksjonslinje Y.

Hypotesetest i to utvalg sannsynlighetskalkulator, binomisk modell

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ −2,1541. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 4 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden |Z| ≈ 2,1541 > zα/2 = z0,025 ≈ 1,9600, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0252. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Tilbake til oppgaven

CAS

Oppgave 1:

Vi skal bruke CAS i GeoGebra til å forenkle uttrykkene

    1. 4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z
       
    2. 5m2 − 3n − 3(m2 + n) − (−m2 − n)
       
    3. $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$
       
    4. x2y2x + x3y3x−1 − x3y2 + xyyyyy−1x

Vi åpner CAS hvis det ikke allerede er åpent, og skriver

    1. 4xy + 8z – 3xy + 5x – 3z. GeoGebra forenkler uttrykket til xy + 5x + 5z.
       
    2. 5m^2 – 3n – 3(m^2 + n) – (-m^2 – n). GeoGebra forenkler uttrykket til 3m2 −5n.
       
    3. (a^2)^3 a^4 / (a^3)^2. GeoGebra forenkler uttrykket til a4.
       
    4. x^2y^2x + x^3y^3x^-1 – x^3y^2 + x*y*y*y*y*y^-1x. GeoGebra forenkler uttrykket til 2x2y3.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bruke CAS til å forenkle uttrykkene

    • $\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}$
       
    • $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$

Vi åpner CAS hvis det ikke allerede er åpent, og skriver

    • nrot(x^4, 3) nrot(x, 3). GeoGebra svarer imidlertid bare med $\sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}\sqrt[\Large 3]{x^4}$.
      Vi bruker derfor kommandoen forenkle, og skriver
      forenkle(nrot(x^4, 3) nrot(x, 3)). GeoGebra forenkler nå uttrykket til $x \sqrt[\Large 3]{x^2}$.
       
    • forenkle(sqrt(a) nrot(a^3, 4) a / nrot( a^5, 8)). GeoGebra forenkler uttrykket til $a \sqrt[\Large 8]{a^5}$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal bruke CAS til å regne ut (x + 5)3.

Vi åpner CAS hvis det ikke allerede er åpent, og skriver inn regnut((x + 5)^3). GeoGebra svarer x3 + 15x2 + 75x + 125.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal bruke CAS til å løse likningssettet:

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Vi åpner CAS og legger inn likningene, én i hver rute. Deretter markerer vi alle likningene ved å klikke på rute «1», holde nede <skift> og klikke på rute «3». Så klikker vi på «Løs» eller «Nøs Numerisk». Siden løsningene er hele tall, spiller det i dette tilfellet ikke noen rolle hva vi velger. GeoGebra viser løsningen x = −15, y = 8, z = 2.

Alternativt skriver vi løs({ x + 3y – 2z = 5, 3x + 5y + 6z = 7, 2x + 4y + 3z = 8}, {x, y, z}) i CAS. Vi kan også skrive nløs i stedet for løs.

Tilbake til oppgaven

Dynamiske ark

Oppgave 1:

Basert på ei GeoGebra-fil om derivasjon skal vi lage dynamiske ark.

Vi velger «Fil» – «Eksporter» – «Dynamisk ark som webside …».

Vi velger fanen «Eksporter som webside».

Vi skriver: «Derivasjon 1» i feltet «Tittel».

Vi klikker på «Eksporter».

Vi velger hva eksportfila skal ligge, for eksempel på «C:\Temp», og skriver derivasjon_1 i «Filnavn».

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Basert på dynamiske fila vi laget i oppgave 1 skal vi eksperimentere med hva vi kan gjøre av endringer.

Vi kan skyve på punktet A, men ikke skru av eller på sporing eller gjøre andre endringer.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

    1. Vi skal gjenta det vi gjorde i oppgave 1, men tillate høyreklikking.
      Vi bruker samme metode som i oppgave 1, men etter at vi har valgt «Eksporter som webside» og før vi klikker «Eksporter», klikker vi på fanen «Avansert» og huker av for «Tillat høyreklikking, zooming og tastaturredigering».
       
    2. Vi skal gjenta det vi gjorde i oppgave 1, men nå skal også meny- og verktøylinjer er tilgjengelige.
      Vi gjør det samme som i punkt 1, men vi huker nå også av for «Vis menylinje» og «Vis verktøylinje».

​Tilbake til oppgaven

Publisert

Løsningsforslag, bevis

Visuelle bevis

Oppgave 1:

Vi skal lage et visuelt bevis for første kvadratsetning, altså at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Vi tegner et kvadrat av ruter med sidelengde a + b:

Illustrasjon av 1. kvadratsetning

Kvadratet har areal (a + b) · (a + b) = (a + b)2. Vi ser at dette arealet består av a2, markert med rødt, b2, markert med blått, og 2ab, markert med gult. Vi ser altså at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Tilbake til oppgaven

Ugyldige bevis

Oppgave 1:

Vi skal gjøre en vurdering av om formelen n2 − n + 41, der n er et heltall større eller lik 0, fungerer som en primtallsgenerator. Vi vet at n fra 0 til 20, gir primtall. Prøver vi n fra 21 til 40, får vi også primtall.

Prinsippet om at eksempler ikke er gyldige bevis, gjelder imidlertid også her. Med n = 41, får vi 1681, som ikke er et primtall, men kan faktoriseres som 41 · 41. For større n veksler det om vi får primtall eller ikke.

Det er ganske lett å skjønne at n = 41 ikke gir primtall, fordi formelen gir n2 − n + 41 = 412 − 41 + 41 = 412, som kan deles på 41.

Per 2025 finnes det ingen kjente primtallsgeneratorer.

Tilbake til oppgaven

Uttømmende bevis

Oppgave 1:

Vi skal bevise at det finnes nøyaktig ett heltall i intervallet [20, 25], som består av nøyaktig fire primtallsfaktorer.

Vi bruker et uttømmende bevis og faktoriserer heltallene mellom 20 og 25:

20 = 2 · 2 · 5

21 = 3 · 7

22 = 2 · 11

23 = 23

24 = 2 · 2 · 2 · 3

25 = 5 · 5

Vi ser at 24 og ingen andre av tallene oppfyller kravet, og påstanden er derved bevist.

Tilbake til oppgaven

Bevis ved moteksempel

Oppgave 1:

Vi skal bevise at påstanden «alle sammensatte tall større enn hundre består av minst tre primtallsfaktorer» er uriktig.

Det gjør vi ved et moteksempel: 106 er et sammensatt tall, men inneholder bare 2 primtallsfaktorer. 106 = 2 · 53.

Tilbake til oppgaven

Algebraisk bevis

Oppgave 1:

Vi skal forklare hva som er problemet med det følgende «beviset» for at summen av to partall alltid er delelig med 4, og forklare hva det egentlig er vi har bevist.

«Vi lar 2t være et vilkårlig partall. Summen av to partall blir da 2t + 2t = 4t, som er delelig med 4.»

Problemet er at vi representerer to tall som kan være ulike, med like symboler. Når vi bruker 2t som symbol for begge tallene, betyr det at tallene er like. Så det vi har bevist, er at et partall addert med seg selv er delelig med 4. For eksempel 2 + 2 og 6 + 6.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal bevise at summen av to oddetall er et partall.

Et oddetall er et tall på formen 2t + 1 der t er et heltall. Velger vi n og m som symboler for vilkårlige heltall, vil 2n + 1 og 2m + 1 være to vilkårlige oddetall.

Summen av to oddetall kan da skrives som (2n + 1) + (2m + 1) = 2n + 2m + 1 + 1 = 2(n + m + 1). Siden uttrykket i parentesen er et heltall, ser vi at summen er på formen 2t, og derved et partall.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal bruke et algebraisk bevis til å begrunne at vi alltid får 37 når vi dividerer et tresifret tall der sifrene er like, med summen av sifrene.

Lar vi a representere hvilket som helst av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9, og skriver telleren på utvidet form, får vi
a · 100 + a · 10 + a = a(100 + 10 + 1) = 111a.

Nevneren blir a + a + a = 3a.

Så den generelle brøken blir ${\large \frac{111a}{3a}}$, som kan forkortes til 37. Vi får altså alltid 37 uansett hvilket siffer a representerer.

Tilbake til oppgaven

Dueslagprinsippet

Oppgave 1:

Vi spør hvor mange, m, sokker vi må ha blant n varianter for at minst to skal være like. Dueslagprinsippet sier at dette vil vi ha når m > n. Siden n = 5, og minste m > 5 er 6, må vi ha minst seks sokker.

Tilbake til oppgaven

Implikasjon og ekvivalens

Oppgave 1:

Vi skal finne feilen i et «bevis» for at −1 = 1.

«Beviset» består av en kjede med implikasjoner. Men én av implikasjonene er feil.

At $\sqrt{(2 − 1)^2 }= \sqrt{(1 − 2)^2}$ medfører ikke at 2 − 1 = 1 − 2.

Følgende implikasjon er riktig: a = b ⇒ a2 = b2. Men vi kan ikke snu implikasjonspila og si a2 = b2 ⇒ a = b, fordi også a = −b ⇒ a2 = b2.

Implikasjonskjeden er brutt. Vi ser her hvordan en eneste implikasjonsfeil ødelegger logikken i en hel kjede av implikasjoner som ellers er riktige.

Tilbake til oppgaven

Bevis ved selvmotsigelse

​Oppgave 1:

Vi påsto at det ikke fantes hele, positive tall, a og b, slik at a2 − b2 = 12.fordi vi, både når vi faktoriserte 12 som 4 · 3 og 12 · 1, endte opp med en a som ikke var et heltall.

Vi har imidlertid ikke tatt for oss alle måtene 12 kan faktoriseres på. Vi kan også ha 12 = 6 · 2 og da får vi

(a + b)(a − b) = (6)(2) = 12.

Vi må altså ha
a + b = 6
a − b = 2

Summerer vi de to likningene, får vi 2a + 0b = 8, det vil si at a = 4. Og vi ser at vi da får b = 2.

Det finnes altså a og b som er heltall, vi har ikke motsagt den opprinnelige forutsetningen, og beviset faller sammen. Vi har at 42 − 22 = 16 − 4 = 12.

Tilbake til oppgaven

Induksjonsbevis

Oppgave 1:

Vi skal bevise at

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

for alle n ≥ 1.

I trinn 1 viser vi da at påstanden er riktig for n0 = 1, det vil si at summen av kvadrattallene fra og med 12 til og med 12 blir 1. Og formelen gir

$\frac{\displaystyle 1(1 + 1)(2\cdot1+1)}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 1 \cdot 2 \cdot 3} {\displaystyle 6} = 1$

så påstanden er riktig for n0 = 1.

Formelen vi skal bevise sier at hvis

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {\color{brown}n}^2 = \frac{\displaystyle {\color{brown}n}({\color{brown}n} + 1)(2{\color{brown}n}+1)}{\displaystyle 6}$

er

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + ({\color{brown}{n + 1}})^2 = \frac{\displaystyle ({\color{brown}{n + 1}})(({\color{brown}{n + 1}}) + 1)(2({\color{brown}{n +1}})+1)}{\displaystyle 6}$

(For å tydeliggjøre har vi markert siste ledd i rekka med brunt.)

Regner vi ut telleren i brøken, ser vi at den blir

$\frac{\displaystyle (n+1)(n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$

I trinn 2 skal vi vise at dette er riktig. Vi har altså

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6}$

Vi adderer et nytt ledd på begge sider av likhetstegnet:

$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2= \frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1)}{\displaystyle 6} + (n+1)^2$

Vi skriver uttrykket på høyre side som en enkelt brøk:

$\frac{\displaystyle n(n + 1)(2n+1) + 6(n+1)^2}{\displaystyle 6}$

Vi setter n + 1 utenfor parentes:

$\frac{\displaystyle (n + 1)\Big(n(2n+1) + 6(n+1)\Big)}{\displaystyle 6}$

Inni den store parentesen regner vi ut parenteser og trekker sammen like ledd :

$\frac{\displaystyle (n + 1)(2n^2+7n+6)}{\displaystyle 6}$

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

$\frac{\displaystyle (n + 1) \cdot 2(n+2)(n+\frac{3}{2})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+2\cdot\frac{3}{2})}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle (n + 1) (n+2)(2n+3)}{\displaystyle 6}$

Som er det uttrykket formelen sa vi skulle få.

Tilbake til oppgaven

Publisert

Løsningsforslag, mer om statistikk

Sentralgrenseteoremet

Oppgave 1:

Vi skal finne sannsynligheten for at en orkidedyrker klarer å produsere minst 3200 blomsterstengler når han har 2500 planter, og i gjennomsnitt 20 % av plantene ikke får blomsterstengler, 40 % får én stengel, 30 % to stengler, og 10 % tre stengler.

Dersom X er antall stengler per plante, har vi altså at P(X = 0) = 0,2, P(X = 1) = 0,4, P(X = 2) = 0,3 og P(X = 3) = 0,1. Dersom Y er antall stengler totalt, skal vi finne P(Y ≥ 3200).

Vi beregner forventning og varians for X:

E(X) = 0 · 0,2 + 1 · 0,4 + 2 · 0,3 + 3 · 0,1 = 1,3.

E(X2) = 02 · 0,2 + 12 · 0,4 + 22 · 0,3 + 32 · 0,1 = 2,5.

Var(X) = E(X2) − [E(X)]2 = 2,5 − (1,3)2 = 0,81.

Altså μ = E(X) = 1,3, og σ2 = Var(X) = 0,81.

n = 2500, langt over tommelfingerregelen på «> 30». Så dersom antall stengler på en plante er uavhengig av de andre, har vi ifølge sentralgrenseteoremet at summen er tilnærmet normalfordelt. Standardavviket og variansen til Y blir 2500 ganger standardavviket og variansen til X, siden vi har 2500 planter.

Y ~ N(2500 · 1,3, 2500 · 0,81) = N(3250, 2025) = N(3250, 452).

Så skal vi finne P(Y ≥ 3200). Vi skriver =1-norm.fordeling(3200; 3250; 45; sann) i Excel eller 1- fordelingnormal(3250, 45, 3200) i GeoGebra og får 0,8667.

Det er altså om lag 86,67 % sannsynlighet for at han klarer å produsere nok stengler.

Vi kan også finne normaltilnærmngen ved å bruke normalfordelingstabellen. Vi gjør da først en standardisering, og finner at P(Y ≥ 3200) = 1 − P(Y < 3200) tilsvarer $1 – G({\large \frac{3200 – 3250}{45}}) \approx 1 – G(-1{,}11) = G(1{,}11)$. Så går vi inn i tabellen, rad 1,1, kolonne 0,01, der det står 0,8665.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi har en juksemynt med sannsynlighet p = 0,6 for kron, og vil finne sannsynligheten for å få 125 eller færre kron i 200 kast. Det er oppgitt at sannsynligheten for dette er ca. 0,7858.

Vi skal avgjøre om en normaltilnærming kan forventes å være god i dette tilfellet. En normaltilnærming anses å være god hvis np(1 − p) ≥ 10. Vi har n = 200, p = 0,6, så vi får np(1 − p) = 200 · 0,6(1 − 0,6) = 48, så vi forventer at normaltilnærmingen er god.

Vi har at når X ~ bin(n, p), er normaltilnærmingen N(np, np(1 − p)), det vil si N(200 · 0,6, 200 · 0,6(1 − 0,6) = N(120, 48).

Hvis vi så skriver =norm.fordeling(125; 120; rot(48); sann) i Excel eller fordelingnormal(120, sqrt(48), 125) GeoGebra, får vi 0,7648.

Dette er en feil på ${\large \frac{0{,}7858 – 0{,}7648}{0{,}7858}} \approx 0{,}0268$, ca. 2,6 % for lavt.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

I oppgave 2 brukte vi normaltilnærming for å finne sannsynligheten for å få 125 eller færre kron i 200 kast med en mynt med sannsynlighet p = 0,6 for kron. Nå skal vi gjøre tilnærmingen om igjen med heltallskorreksjon.

Normalfordelingen er den samme som i oppgave 2, N(120, 48), men vi skal erstatte 125 med 125 + 0,5 = 125,5.

Hvis vi skriver =norm.fordeling(125,5; 120; rot(48); sann) i Excel eller fordelingnormal(120, sqrt(48), 125.5) i GeoGebra, får vi 0,7864.

I forhold til den riktige verdien på 0,7858, er feilen ${\large \frac{0{,}7858 – 0{,}7864}{0{,}7858}} \approx -0{,}0007$, ca. 0,1 % for høyt.

Tilnærmingen er altså blitt bedre, med bare 0,1 % feil i forhold til 2,6 % feil uten heltallskorreksjon.

Tilbake til oppgaven

Estimering

Oppgave 1:

Basert på at en bedrift på 6 tilfeldige dager produserer 210, 220, 210, 225, 220 og 217 støtfangere, skal vi gi et forventningsrett estimat for dagsproduksjonen av støtfangere.

Som estimat bruker vi gjennomsnittet: $\mu = \overline X = {\large \frac{210 + 220 + 210 + 225 + 220 + 217}{6}} = 217$.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Basert på at en bedrift på 6 tilfeldige dager produserer 210, 220, 210, 225, 220 og 217 støtfangere, som i oppgave 1, og at standardavviket til produksjonen er σ = 5,8, skal vi angi estimert gjennomsnitt i form av en rapportering.

I oppgave 1 fant vi at gjennomsnittlig dagsproduksjon var 217 støtfangere.

I en rapportering angir vi estimert verdi pluss/minus standardavviket til estimatoren.

Standardavviket til estimatoren er $\frac{\displaystyle \sigma}{\displaystyle \sqrt n} = \frac{\displaystyle 5{,}8}{\displaystyle \sqrt 6} \approx 2{,}37$.

Så en rapportering av estimatet til gjennomsnittlig produksjon blir

$217 \pm \frac{\displaystyle 5{,}8}{\displaystyle \sqrt{6}} \approx 217 \pm 2{,}37$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Basert på at en bedrift på 6 tilfeldige dager produserer 210, 220, 210, 225, 220 og 217 støtfangere, som i oppgave 1, skal vi estimere standardavviket til produksjonen og presentere estimert gjennomsnitt i form av en rapportering.

Vi fant i oppgave 1 at gjennomsnittsproduksjonen var 217 enheter

Vi estimerer standardavviket med utvalgsstandardavviket, som blir

 $\hat \sigma = S = \sqrt{\large \frac{(210 −217)^2 + (220 − 217)^2 + (210 −217)^2 + (225 − 217)^2 + (220 − 217)^2 + (217 − 217)^2}{5}} = 6$.

Og en rapportering blir

$217 \pm \frac{\displaystyle 6}{\displaystyle \sqrt{6}} \approx 217 \pm 2{,}45$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Basert på at dagsproduksjonen av støtfangere i seks forskjellige dager er henholdsvis 210, 220, 210, 225, 220 og 217 enheter, som i oppgave 1, og at standardavviket til produksjonen er er σ = 5,8, skal vi angi et 95 % og 99 % konfidensintervall for gjennomsnittet til produksjonen.

Et 95 % konfidensintervall er gitt ved

$\overline X \pm 1{,}96 \cdot \frac{\displaystyle \sigma}{\displaystyle \sqrt n} = 217 \pm 1{,}96 \cdot {\large \frac{5{,}8}{\sqrt{6}}} \approx [212{,}36, \: 221{,}64]$

Et 99 % konfidensintervall er gitt ved

$\overline X \pm 2{,}58 \cdot \frac{\displaystyle \sigma}{\displaystyle \sqrt n} = 217 \pm 2{,}58 \cdot {\large \frac{5{,}8}{\sqrt{6}}} \approx [210{,}89, \: 223{,}11]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal bruke (normal) kvantiltabellen til å finne et 97 % konfidensintervall for gjennomsnittsvekta av laks når 13 laks er veid med et gjennomsnitt på 4,14 kg, og standardavviket til vekta i populasjonen er er σ = 0,7.

I et 97 % konfidensintervall er ${\large \frac{\alpha}{2}} = {\large \frac{1 − 0{,}97}{2}} = 0{,}015$. Vi slår opp ${\large \frac{\alpha}{2}} = 0{,}015$ i kvantiltabellen, der det står 2,1701.

Et 97 % konfidensintervall er da gitt ved

$\overline X \pm 2{,}17 \cdot \frac{\displaystyle \sigma}{\displaystyle \sqrt n} = 4,14 \pm 2{,}17 \cdot {\large \frac{0{,}7}{\sqrt{13}}} \approx [3{,}72, \: 4{,}56]$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal bruke Excel til å beregne et 98 % konfidensintervall for gjennomsnittsproduksjonen av støtfangere, som på seks tilfeldige dager er 210, 220, 210, 225, 220 og 217 enheter, når vi vet at standardavviket til produksjonen er σ = 5,8.

Vi skriver =konfidens.norm(1-0,98; 5,8; 6) i Excel, og får ut 5,51.

Vi har tidligere beregnet at gjennomsnittsproduksjonen er 217 enheter.

Et 98 prosent konfidensintervall blir derfor om lag

[217 − 5,51, 217 + 5,51 = [211,49, 222,51]

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Basert på at 6 tilfeldige observasjoner gir at gjennomsnittlig antall produserte støtfangere er X = 217 og at produksjonens standardavvik er S = 6, skal vi lage og sammenlikne et 95 % konfidensintervall basert på normalfordeling, med et basert på t-fordeling.

I et 95 % konfidensintervall er ${\large \frac{\alpha}{2}} = {\large \frac{1 − 0{,}95}{2}} = 0{,}025$.

Vi vet fra tidligere at

${\large z_{0{,}025}} \approx 1{,}96$, eller vi slår det opp i (normal) kvantiltabellen.

Basert på normalfordelingen får vi derfor følgende 95 % konfidensintervall:

$217 \pm 1{,}96 \cdot {\large \frac{6}{\sqrt{6}}} \approx [212{,}2, \: 221{,}8]$

Siden vi har 6 observasjoner, får vi v = 6 − 1 = 5 frihetsgrader. 

Vi slår opp ${\large t_{0{,}025 \, (5)}}$ i (t) kvantiltabellen, og finner 2,571.

Basert på t-fordelingen får vi derfor følgende 95 % konfidensintervall:

$217 \pm 2{,}57 \cdot {\large \frac{6}{\sqrt{6}}} \approx [210{,}7, \: 223{,}3]$

Konfidensintervallet blir en del bredere med t-fordeling enn med normalfordeling, dette skyldes at usikkerheten er stor når standardavviket er estimert ut fra så lite som 6 målinger.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 8:

Basert på 6 tilfeldige observasjoner med gjennomsnitt 217 og utvalgsstandardavvik 6 skal vi lage et 95 % konfidensintervall basert på t-fordeling ved hjelp av Excel.

I Excel skriver vi =konfidens.t(1-0,95; 6; 6) og får ut 6,30.

Så et 95 % konfidensintervall blir

217 ± 6,30 ≈ [210,7, 223,3]

Som er det samme som vi fant da vi gjorde beregningen for hånd i oppgave 7.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 9:

Basert på at 35 av 2000 tilfeldige ladere er målt til å være defekte, skal vi estimere sannsynligheten for at en vilkårlig lader er defekt, og finne et 95 % konfidensintervall for denne sannsynligheten.

Et forventningsrett estimat for sannsynligheten for at en lader er defekt vil være andelen defekte ladere i utvalget. Altså:

$\hat p = {\large \frac{35}{2000}} = 0{,}0175$, altså 1,75 %.

Estimert standardavvik til estimatoren blir

$\sqrt{\large \frac{\hat p(1− \hat p)}{n}} = \sqrt{\large \frac{0{,}0175(1 − 0{,}0175)}{2000}} \approx 0{,}0029$.

En rapportering av sannsynligheten for at en lader er defekt blir da

0,0175 ± 0,067

I et 95 % konfidensintervall er ${\large \frac{\alpha}{2}} = {\large \frac{1 − 0{,}95}{2}} = 0{,}025$.

Vi vet fra tidligere at

${\large z_{0{,}025}} \approx 1{,}96$, eller vi slår det opp i (normal) kvantiltabellen.

Så et 95 % konfidensintervall blir

0,0175 ± 1,96 · 0,0029 ≈ [0,0118, 0,0232], mellom 1,18 % og 2,32 %.

Tilbake til oppgaven

Hypotesetesting

Oppgave 1:

Basert på at hundre terningkast gir 20 seksere, skal vi sette opp nullhypotese og alternativ hypotese for at terningen gir for mange seksere, og teste hypotesen med et signifikansnivå på 5 %.

Den alternative hypotesen er at terningen gir for mange seksere, det vil si at sannsynligheten for å få seks er mer enn en sjettedel, slik den er på en rettferdig terning. Kaller vi sannsynligheten for å få en sekser for p, har vi

$H_A: p > \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$.

Nullhypotesen blir da at terningen er rettferdig, med sannsynlighet lik en sjettedel for å få en sekser:

$H_0: p = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$.

Grensen for forkastningsområdet blir zα = z0,05 ≈ 1,6449, som vi finner ved å slå opp 0,05 i (kvantil)normalfordelingstabellen. Alternativt kan vi finne denne verdien ved å skrive =norm.s.inv(1 – 0,05) i Excel eller inversnormalfordeling(0, 1, 1 – 0.05) i GeoGebra.

Testobservatoren blir

$Z = \frac{\displaystyle X − np_0}{\displaystyle \sqrt{np_0(1 − p_0)}} = \frac{\displaystyle 20 − 100 \cdot \frac{1}{6}}{\displaystyle \sqrt{100 \cdot \frac{1}{6} \Big(1 − \frac{1}{6} \Big)}} \approx 0{,}8944$.

Siden Z ≈ 0,8944 $\ngtr$ zα ≈ 1,6449, kan vi ikke forkaste nullhypotesen på signifikansnivå 5 %. 20 seksere i 100 kast gir altså ikke grunnlag for å si at terningen gir for mange seksere.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal utføre samme test som i oppgave 1, men nå basert på at 1000 terningkast gir 200 seksere. Hypotesene blir de samme, og grensen for forkastningsområdet det samme, zα = z0,05 ≈ 1,6449.

Testobservatoren blir nå

$Z = \frac{\displaystyle X − np_0}{\displaystyle \sqrt{np_0(1 − p_0)}} = \frac{\displaystyle 200 − 1000 \cdot \frac{1}{6}}{\displaystyle \sqrt{1000 \cdot \frac{1}{6} \Big(1 − \frac{1}{6} \Big)}} \approx 2{,}8284$.

Z ≈ 2,8284 > zα ≈ 1,6449. Testobservatoren ligger langt inni forkastningsområdet, og vi forkaster nullhypotesen på signifikansnivå 5 %. 200 av 1000 seksere gir altså grunnlag for å si at terningen gir for mange seksere.

Sammenlikninger vi med oppgave 1, ser vi at det relative antallet seksere er det samme i begge tilfeller: $\frac{\displaystyle 20}{\displaystyle 100} = \frac{\displaystyle 200}{\displaystyle 1000} = 0{,}2$. Men å få 200 seksere på 1000 kast er altså mye mindre sannsynlig enn å få 20 på 100 kast. Det kommer av at den forventede spredningen, altså standardavviket, blir mindre jo flere forsøk vi gjør. 200 av 1000 seksere vil faktisk gi forkastning av nullhypotesen på så lite signifikansnivå som 0,25 %.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal sette opp og gjennomføre en hypotesetest med et signifikansnivå på 1 % på om oljeinnholdet i dressingpakker er over 10 ml, når gjennomsnittet i 25 pakker er målt til 10,3 ml, og produksjonen har et standardavvik på 0,65 ml.

Hypotesene blir HA: μ > 10, H0: μ = 10.

Vi har X = 10,3, og σ = 0,65.

Vi vet fra eksempel 3 at grensen for forkastningsområdet er zα = z0,05 ≈ 1,6449.

Testobservatoren blir:

$Z = \frac{\displaystyle \overline X − \mu_0}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt n}} = \frac{\displaystyle 10{,}3 − 10}{\displaystyle \frac{0{,}65}{\sqrt{25}}} \approx 2{,}31$.

Siden Z ≈ 2,31 $\ngtr$ zα ≈ 2,3263, kan vi ikke forkaste nullhypotesen på 1 % signifikansnivå. Målingene indikerer altså ikke at dressingene i snitt inneholder mer enn 10 ml. olje.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Basert på at 15 målinger av svartid på en servicetelefon gir et gjennomsnitt på 37 sekunder med et standardavvik på 14 sekunder skal vi sette opp og gjennomføre en hypotesetest på signifikansnivå 5 % på om oppgitt gjennomsnittlig ventetid på 30 sekunder er lav.

Hypotesene blir HA: μ > 30, H0: μ = 30.

Siden vi baserer oss på utvalgsstandardavviket, bruker vi t-fordeling i testen. Antall frihetsgrader blir 15 − 1 = 14. For å finne grensen til forkastningsområdet slår vi opp i (kvantil) t-fordelingstabellen, med t0,05 (14), der det står 1,761. Alternativt kan vi finne denne verdien ved å skrive =t.inv(1 – 0,05; 14) i Excel eller inverstfordeling(14, 1 – 0.05) i GeoGebra.

Testobservatoren blir

$T = \frac{\displaystyle \overline X − \mu_0}{\displaystyle \frac{S}{\sqrt n}} = \frac{\displaystyle 37 − 30}{\displaystyle \frac{14}{\sqrt{15}}} \approx 1{,}94$.

Siden T ≈ 1,94 > t0,05 (14) ≈ 1,761, kan vi forkaste nullhypotesen, og har på 5 % signifikansnivå grunnlag for å si at gjennomsnittlig ventetid er over 30 sekunder.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Basert på at innholdet i 30 glass syltetøy i gjennomsnitt er målt til 47,7 % bær, med et standardavvik på 5,7 %, skal vi sette opp og gjennomføre hypotesetester på signifikansnivå 5 % og signifikansnivå 1 % på om syltetøyet inneholder mindre enn fabrikantens påstand om minst 50 % bær.

Hypotesene blir HA: μ < 50, H0: μ = 50.

Siden vi baserer oss på utvalgsstandardavviket, bruker vi t-fordeling i testen. Antall frihetsgrader blir 30 − 1 = 29. For å finne grensene til forkastningsområdene slår vi opp i (kvantil) t-fordelingstabellen, med henholdsvis t0,05 (29), der det står 1,699, og t0,01 (29), der det står 2,462. Alternativt kan vi finne disse verdiene ved å skrive henholdsvis  =t.inv(1 – 0,05; 29) og =t.inv(1 – 0,01; 29) i Excel, eller henholdsvis inverstfordeling(29, 1 – 0.05) og inverstfordeling(29, 1 – 0.01) i GeoGebra.

Siden vi har en venstresidig test, blir grensene −1,699 og −2,462.

Testobservatoren blir

$T = \frac{\displaystyle \overline X − \mu_0}{\displaystyle \frac{S}{\sqrt n}} = \frac{\displaystyle 47{,}7 − 50}{\displaystyle \frac{5{,}7}{\sqrt{30}}} \approx −2{,}21$.

Siden T ≈ −2,21 < −t0,05 (29) ≈ −1,699, kan vi på 5 % signifikansnivå forkaste nullhypotesen og akseptere hypotesen om at syltetøyet har for lite bær.

Men siden T ≈ −2,21 $\nless$ −t0,01 (29) ≈ −2,462, kan vi på 1 % nivå ikke forkaste nullhypotesen.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Basert på 15 stikkprøver av sukkermengde med en vekt på gjennomsnittlig 82,5 gram og et standardavvik på 0,6 gram skal vi sette opp og gjennomføre en hypotesetest på signifikansnivå 1 % på om gjennomsnittlig sukkermengde er 83 gram.

Siden vi baserer oss på utvalgsstandardavviket, må vi bruke t-fordeling i testen, med 15 − 1 = 14 frihetsgrader. For å finne grensene til forkastningsområdet slår vi opp i (kvantil) t-fordelingstabellen, med t0,01/2 (14) = t0,005 (14), der det står 2,977. Alternativt kan vi finne denne verdien ved å skrive =t.inv(1 – 0,005; 14) i Excel eller inverstfordeling(14, 1 – 0.005) i GeoGebra.

Testobservator blir $T = \frac{\displaystyle \overline X − \mu_0}{\displaystyle \frac{S}{\sqrt n}} = \frac{\displaystyle 82{,}5 − 83}{\displaystyle \frac{0{,}6}{\sqrt{15}}} \approx −3{,}227$.

Siden |T| ≈ 3,227 > t0,005 (14) ≈ 2,977, kan vi på 1 % signifikansnivå forkaste nullhypotesen og akseptere hypotesen om at sukkermengden ikke er korrekt.

Tilbake til oppgaven

Samvariasjon

Oppgave 1:

Vi har gitt to datasett X og Y med 4 korresponderende verdier:

X1 = 242 X2 = 266 X3 = 218 X4 = 234
Y1 = 363 Y2 = 399 Y3 = 327 Y4 = 351

og skal beregne

  1. Gjennomsnittet i hvert av settene.
      
    $\overline X = \frac{\displaystyle 242 + 266 + 218 + 234}{\displaystyle 4} = 240$
     
    $\overline Y = \frac{\displaystyle 363 + 399 + 327 + 351}{\displaystyle 4} = 360$
     
  2. Standardavviket i hvert av settene.
     
    Summen av kvadratavvikene i X er
     
    (242 − 240)2 + (266 − 240)2 + (218 − 240)2 + (234 − 240)2 = 1200
     
    Og standardavviket blir
     
    $S_X = \sqrt {\frac{\displaystyle 1200}{\displaystyle 4-1}} = 20$
     
    Summen av kvadratavvikene i Y er
     
    (363 − 360)2 + (399 − 360)2 + (327 − 360)2 + (351 − 360)2 = 2700
     
    Og standardavviket blir
     
    $S_Y = \sqrt {\frac{\displaystyle 2700}{\displaystyle 4-1}} = 30$
     
  3. Kovariansen mellom settene.
     
    Summen av produktene av avstandene mellom verdi og gjennomsnitt i settene er
     
    (242 − 240)(363 − 360) + (266 − 240)(399 − 360) + (218 − 240)(327 − 360) + (234 − 240)(351 − 360) = 1800
     
    Og kovariansen blir
     
    $Cov(X, Y) =  \frac{\displaystyle 1800}{\displaystyle 4-1} = 600$
     
  4. Korrelasjonskoeffisienten mellom settene.
     
    $R(X, Y) =  \frac{\displaystyle Cov(X, Y)}{\displaystyle S_X S_Y} = \frac{\displaystyle 600}{\displaystyle 20 \cdot 30} = 1$

Tolkningen av korrelasjonskoeffsienten er at vi har perfekt samvariasjon. Hvis vi kontrollregner, ser vi at det stemmer, for hvert element i Y er lik det tilhørende elementet i X multiplisert med 1,5.

Tilbake til oppgaven

Sammenlikne datasett

Oppgave 1:

En bedrift sammenlikner to maskiner for å se om det er forskjell i mengden sukker de tilsetter i en matvare. Maskin X arbeider med et standardavvik på 0,11 og maskin Y med et standardavvik på 0,13. 

60 prøver av maskin X gir et snitt på 10,107 gram sukker, 75 prøver av maskin Y gir et snitt på 10,061 gram sukker.

Så skal vi sette opp hypoteser og gjennomføre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om de to maskinene tilsetter forskjellig mengde sukker.

Vi har altså X = 10,107, Y = 10,061, σX = 0,11, σY = 0,13, nX = 60, nY = 75.

Hypotesene blir HA: μX ≠ μY , H0: μX = μY .

Testobservatoren blir

$Z = \frac{\displaystyle 10{,}107 − 10{,}061}{\displaystyle \sqrt{\frac{(0{,}11)^2}{60} + \frac{(0{,}13)^2}{75}}} \approx 2{,}2261$

Siden vi har en tosidig test, skal vi forkaste nullhypotesen hvis |Z| > zα/2

Med 5 % signifikansnivå blir α/2 = 0,05/2 = 0,025.

Vi slår opp i (kvantil)normalfordelingstabellen med α = 0,025, der det står 1,9600. Alternativt kan vi finne denne verdien ved å skrive =norm.s.inv(1 – 0,025) i Excel eller inversnormalfordeling(0, 1, 1 – 0.025) i GeoGebra.

Siden |Z| ≈ 2,2261 > zα/2 ≈ 1,9600, kan vi forkaste vi nullhypotesen. Undersøkelsen bekrefter at det er forskjell på sukkermengdene.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Frukthøsten til 13 kirsebærtrær av type X og 12 kirsebærtrær av type Y er vist i tabellen under, og vi skal sette opp og gjennomføre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om de to typene trær gir forskjellig mengde frukt.

 Type X 44 44 56 46 47 38 58 53 49 35 46 30 41 
 Type Y 35 47 55 29 40 39 32 41 42 57 51 39   

Hypotesene blir HA: μX ≠ μY , H0: μX = μY .

Vi har altså nX = 13, nY = 12.

Fra kalkulator eller PC får vi:

X = 45,1538

Y = 42,25

SX ≈ 7,9984

SY ≈ 8,7399

Vi beregner:

$S_P = \sqrt \frac{\displaystyle {S_X}^2(n^{\phantom 1}_X − 1) + {S_Y}^2(n^{\phantom 1}_Y − 1)}{\displaystyle n^{\phantom 1}_X + n^{\phantom 1}_Y − 2} \approx \sqrt \frac{\displaystyle {7{,}9984}^2(13 − 1) + {8{,}7399}^2(12 − 1)}{\displaystyle 13 + 12 − 2} \approx 8{,}3612$

Testobservatoren blir da

$T = \frac{\displaystyle \overline X − \overline Y}{\displaystyle S_P \sqrt{\frac{1}{n^{\phantom 1}_X} + \frac{1}{n^{\phantom 1}_Y}}} \approx \frac{\displaystyle 45{,}1538 − 42{,}25}{\displaystyle 8{,}3612 \sqrt{\frac{1}{13} + \frac{1}{12}}} \approx 0{,}8675$.

Siden vi har en tosidig test, skal vi forkaste nullhypotesen hvis |T| > tα/2 (v)

Med 5 % signifikansnivå blir α/2 = 0,05/2 = 0,025

Vi slår opp i (t) kvantiltabellen med a = 0,025 og v = 13 + 12 − 2 = 23, der det står 2,069. Alternativt kan vi finne denne verdien ved å skrive =t.inv(1 – 0,025; 23) i Excel eller inverstfordeling(23, 1 – 0.025) i GeoGebra.

Siden |T| ≈ 0,8675 $\ngtr$ tα/2 ≈ 2,069, kan vi ikke forkaste nullhypotesen. Undersøkelsen gir ikke grunnlag for å si at den ene typen trær gir mer kirsebær enn den andre.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Basert på blodtrykket til 15 pasienter før og etter bruk av en medisin, vist i tabellen under, skal vi sette opp og gjennomføre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om medisinen som en bieffekt reduserer blodtrykket.

 Før 70 80 72 76 76 76 72 78 82 64 74 92 74 68 84 
 Etter 78 72 62 70 58 66 68 52 64 72 74 60 74 72 74

Her gir det bare mening å gjøre en parvis test. Vi beregner først differansen mellom før og etter:

 Differanse 2 8 10 6 18 10 4 26 18 −8 0 32 0 −4 10 

Vi kaller «før» for X, «etter» for Y og differansen for D.

Hypotesene blir HA: μX > μY , H0: μX ≤ μY .

Fra kalkulator eller PC får vi:

X = 8,8

SD ≈ 10,9753

Testobservatoren blir

$T = \frac{\displaystyle \overline D}{\displaystyle S_D \frac{1}{\sqrt n}} \approx \frac{\displaystyle 8{,}8}{\displaystyle 10{,}975 \frac{1}{\sqrt{15}}} \approx 3{,}1054$.

Siden vi har en ensidig test, skal vi forkaste nullhypotesen hvis |T| > tα (v)

Med 5 % signifikansnivå blir α = 0,05

Vi slår opp i (t) kvantiltabellen med a = 0,05 og v = 15 − 1 = 14, der det står 1,761. Alternativt kan vi finne denne verdien ved å skrive =t.inv(1 – 0,05; 14) i Excel eller inverstfordeling(14, 1 – 0.05) i GeoGebra.

Siden |T| ≈ 3.1054 > tα (v) ≈ 1,761, kan vi forkaste nullhypotesen. Testen gir absolutt grunnlag for å si at medisinen gir redusert blodtrykk.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

En bedrift skal undersøke om det er forskjell i sannsynlighetene for defekter ved to produksjonslinjer for bukser. De finner 147 av 2500 defekte ved første produksjonslinje og 151 av 2000 ved andre. Vi skal sette opp og på 5 % signifikansnivå teste en hypotese om at sannsynligheten for defekter er forskjellig ved de to linjene.

Vi kaller sannsynligheten for defekt ved linje 1 for p1 og sannsynligheten for defekt ved linje 2 for p2. Hypotesene blir

HA: p1 ≠ p2 mot H0: p1 = p2.

Vi har n1 = 2500, n2 = 2000, X1 = 147, X2 = 151.

Vi estimerer

$\hat p_1 = \frac{\displaystyle 147}{\displaystyle 2500} =  0{,}0588$.

$\hat p_2 = \frac{\displaystyle 151}{\displaystyle 2000} = 0{,}0755$.

$\hat p = \frac{\displaystyle 147 + 151}{\displaystyle 2500 + 2000} \approx 0{,}0662$.

Og vi får

$Z \approx \frac{\displaystyle 0{,}0588 − 0{,}0755}{\displaystyle \sqrt{0{,}0662(1 − 0{,}0662)(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2500} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2000})}} \approx −2{,}239$.

Siden vi har en tosidig test, skal vi forkaste nullhypotesen hvis |Z| > zα/2

Med 5 % signifikansnivå blir α/2 = 0,05/2 = 0,025.

I (kvantil)normalfordelingstabellen finner vi at z0,025 ≈ 1,9600. Alternativt kan vi finne denne verdien ved å skrive =norm.s.inv(1 – 0,025) i Excel eller inversnormalfordeling(0, 1, 1 – 0.025) i GeoGebra.

Siden |Z| ≈ 2,239 > zα/2 ≈ 1,9600, forkaster vi nullhypotesen og aksepterer den alternative hypotesen om at det er forskjell i sannsynligheten for defekt ved de to linjene.

Tilbake til oppgaven