Kategori: Matematikk

Publisert

Løsningsforslag, polynomer

Faktorisere polynomer

Oppgave 3:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 + x3 − 6x2.

Vi setter x2 utenfor parentes: x4 + x3 − 6x2 = x2(x2 + x − 6).

 Vi bruker abc-formelen til å finne andregradspolynomets nullpunkter.

$x_{1, 2} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{1^2 −4 \cdot 1 \cdot (−6)}}{2 \cdot 1}} = {\large \frac{−1 \pm \sqrt{25}}{2}} = {\large \frac{−1 \pm 5}{2}}$

Så

$x_{1} = {\large \frac{−1 + 5}{2}} = {\large \frac{4}{2}} = 2$

$x_{2} = {\large \frac{−1 − 5}{2}} = {\large \frac{−6}{2}} = −3$

Koeffisienten a er 1, så vi får at x2 + x − 6 = (x − 2)(x − (−3)) = (x − 2)(x + 3).

Vi har altså at x4 + x3 − 6x2 = x2(x2 + x − 6) = x2(x − 2)(x + 3).

Skriver vi Faktoriser(x^4 + x^3 − 6x^2) CAS, svarer GeoGebra med x2(x − 2)(x + 3).

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal faktorisere fjerdegradspolynomet x4 − 10x2 + 9. Dette kan skrives som (x2)2 − 10x2 + 9. 

Vi erstatter x2 med s. Polynomet blir da s2 − 10s + 9.

Dette er et andregradspolynom vi kan finne nullpunktene til med abc-formelen:

$s_{1, 2} = {\large \frac{−(−10) \pm \sqrt{(−10)^2 −4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}} ={\large \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2}} = {\large \frac{10 \pm 8}{2}} = 5 \pm 4$

Så vi får

$s_{1} = 5 + 4 = 9$

$s_{1} = 5 + 4 = 9$

Koeffisienten a er 1, så det betyr at x4 − 10x2 + 9 kan faktoriseres som (s − 9)(s − 1).

Siden vi har at s = x2, er dette det samme som (x2 − 9)(x2 − 1).

Så må vi faktorisere andregradspolynomene x2 − 9 og x2 − 1. Det kan vi gjøre ved å bruke abc-formelen til å finne nullpunktene til de to polynomene, men det er enklere å bruke konjugatsetningen baklengs:

x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) og

x2 − 1 = (x + 1)(x − 1)

Så vi har at x4 − 10x2 + 9 kan faktoriseres som (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1).

Skriver vi Faktoriser(x^4 − 10x^2 + 9) i CAS, svarer GeoGebra (x − 3)(x − 1)(x + 1)(x + 3), som er det samme, faktorene kommer bare i en annen rekkefølge.

Tilbake til oppgaven

Publisert

Løsningsforslag, likninger og ulikheter

Førstegradslikninger

Oppgave 4:

Vi skal løse likningen 2u − v = 4u + v − 2, med hensyn på v, og sette prøve på svaret. Målet er da å isolere v på venstre side av likhetstegnet.

Flytter v over på venstre side, skifter fortegn og trekker sammen:
2u − 2v = 4u − 2

Flytter 2u over på høyre side, skifter fortegn og trekker sammen:
−2v = 2u − 2

Dividerer med −2 på begge sider:
v = −u + 1

Det var imidlertid oppgitt at dette var den likningen vi løste med hensyn på u og fikk at u = −v + 1. Vi kan derfor ta utgangspunkt i dette svaret, og løse med hensyn på v.

Vi har:
 u = −v + 1

Flytter v over på venstre side og skifter fortegn:
v + u = 1

Flytter u over på høyre side og skifter fortegn:
v = −u + 1

For å sette prøve på svaret erstatter vi v med løsningen −u + 1 på begge sider av likhetstegnet:

V.S.: 2u − v = 2u − (−u + 1) = 2u + u − 1 = 3u − 1.

H.S.: 4u + v − 2 = 4u + (−u + 1) − 2 = 3u − 1.

Begge sider er lik 3u − 1, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Andregradslikninger

Oppgave 2:

Vis skal løse likningen x2 + 6x = −9.

Flytter −9 over til venstre side med fortegnsskifte:
$x^2+6x−9 = 0$

Benytter hintet og skriver $x^2+6x−9 = 0$ som $(x+3)^2= 0$:
$(x+3)^2= 0$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 3)^2} = \pm \sqrt{0}$

Trekker ut røttene:
$x + 3 = 0$

Flytter 3 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = −3$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen x2 + 2x = 3 ved å bruke metoden med kvadratkomplettering.

For å komplettere kvadratet på venstre side må vi legge til halvparten av førstegradskoeffisienten kvadrert. Koeffisienten er 2, så halvparten er 1, og halvparten kvadrert er 1.

Legger til 1 på begge sider:
$x^2 + 2x + 1 = 3 + 1$

Regner ut høyresiden:
$x^2 + 2x + 1 = 4$

Nå kan vi skrive om fra formen x2 + 2kx + k2 til (x + k)2. Her er k2 = 1, så k = 1, og vi får:
$(x + 1)^2 = 4$

Setter rot-tegn på begge sider:
$\sqrt{ (x + 1)^2} = \pm \sqrt{4}$

Trekker ut røttene:
$x + 1 = \pm 2$

Flytter 1 over til høyre side med fortegnsskifte:
$x = \pm 2 − 1$

Det vil si at løsningene er

$ x_1 = 2 − 1 = 1$

$x_2 = −2 − 1 = −3$

Tilbake til oppgaven

Likninger med ukjent under brøkstrek

Oppgave 2:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2}$ og sette prøve på svaret.

Vi kryssmultipliserer:
2(x − 2) = 1(6x − 16)

Vi multipliserer inn i parentesene:
2x − 4 = 6x − 16

Vi flytter 6x over til venstre side med fortegnsskifte og −4 over til høyre side med fortegnsskifte:
2x − 6x = −16 + 4

Vi trekker sammen på begge sider:
− 4x = −12

Vi dividerer med −4 på begge sider:

x = 3

Vi setter prøve på svaret:

V.S.: $\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6x − 16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 6 \cdot 3 −16} = \frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 2} = 1$

H.S.: $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle x − 2} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3 − 2} = 1$

Venstre og høyre side er like, så løsningen er riktig.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal løse likningen $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x}$ og sette prøve på svaret.

Vi kryssmultipliserer:
x(x + 2) = (2x + 4)(x − 3)

Vi multipliserer inn x på venstre side og multipliserer sammen parentesene på høyre side:
x2 + 2x = 2x2 − 2x − 12

Vi flytter alle ledd over til venstre side med fortegnsskifte:
x2 + 2x − 2x2 + 2x + 12 = 0

Vi organiserer og trekker sammen like ledd:
−x2 + 4x + 12 = 0

Vi løser ved hjelp av abc-formelen:
$x_{1, 2} = {\large \frac{−b \pm \sqrt{b^2 −4ac}}{2a}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{4^2 − 4 \cdot(−1) \cdot 12}}{2 \cdot(−1)}} = {\large \frac{−4 \pm \sqrt{64}}{−2}} = {\large \frac{−4 \pm 8}{−2}} = 2 \pm 4$

Så
x1 = 2 + 4 = 6
x2 = 2 − 4 = −2

Setter vi prøve på svaret, får vi når x = 6:

VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle 6+2}{\displaystyle 6 − 3} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3} $

H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot 6 + 4}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 16}{\displaystyle 6} = \frac{\displaystyle 8}{\displaystyle 3}$

Når x = −2, får vi:

VS.: $\frac{\displaystyle x+2}{\displaystyle x − 3} = \frac{\displaystyle −2+2}{\displaystyle −2 − 3} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −5} = 0$

H.S.: $\frac{\displaystyle 2x + 4}{\displaystyle x} = \frac{\displaystyle 2 \cdot (−2) + 4}{\displaystyle −2} = \frac{\displaystyle 0}{\displaystyle −2} = 0$

I begge tilfeller er venstre og høyre side like, så løsningene er riktige.

Tilbake til oppgaven

Publisert

Løsningsforslag, grunnleggende algebra

Regneregler i algebra

Oppgave 1:

Vi skal multiplisere ut parentesen og trekke uttrykket 6x(2y + 3z − 1 + y) sammen så langt det er mulig.

Vi multipliserer 6x med hvert ledd inni parentesen:

12xy + 18xz − 6x + 6xy

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

12xy + 6xy + 18xz − 6x

Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:

− 6x + 18xy + 18xz

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal multiplisere ut parentesene og trekke uttrykket −3x(2y + 3z − 1 − y) sammen så langt det er mulig.

Vi multipliserer −3x med hvert ledd inni parentesen:

−6xy − 9xz + 3x + 3xy

Vi organiserer leddene slik at like ledd kommer etter hverandre:

−6xy + 3xy − 9xz + 3x 

Vi trekker sammen like ledd og organiserer alfabetisk:

3x − 3xy − 9xz

Tilbake til oppgaven

Potensregning

Oppgave 1:

Vi skal regne ut (−5)4 på kalkulator, i Excel og i GeoGebra.

Akkurat hva vi skriver på kalkulator, vil være avhengig av modell, men prinsippet er stort sett det samme. På min Casio fx-82ES PLUS trykker jeg på tastene
( – 5 ) x■ 4 =
Kalkulatoren svarer 625.

I Excel skriver vi =(-5)4 i ei celle. Excel beregner uttrykket til 625.

I GeoGebra skriver vi (-5)^4 i inntastingsfeltet. GeoGebra svarer med a = 625 i algebrafeltet.

Det er viktig å være oppmerksom på at vi må skrive parentes rundt −5. Det er en konvensjon at opphøying utføres før fortegnsskifte, så −54 blir tolket som −(54) som er −625. Excel følger riktignok ikke denne konvensjonen, så -5^4 blir tolket som (−54). Parentesene er derfor strengt tatt overflødige, men for prinsippet skyld bør vi allikevel bruke dem. Og kanskje kommer Excel til å følge konvensjonen i en senere versjon.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i summen av eksponentene:

$3^5 \cdot 3^2 = 3^{5 + 2} = 3^7 = 2187$

$3 \cdot 3^2 = 3^1 \cdot 3^{2} = 3^{1+2} = 3^3 = 27$
Her har vi brukt at når det står et grunntall uten eksponent, har vi egentlig en eksponent som er 1.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 3:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere potenser med samme grunntall, det vil si at vi opphøyer i differansen av eksponentene:

$\frac{\displaystyle 4^{5}}{\displaystyle 4^{3}} = 4^{5−3} = 4^2 = 16$

$\frac{\displaystyle 4^2}{\displaystyle 4^{−2}} = 4^{2 − (−2)} = 4^4 = 256$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 4:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å opphøye en potens i en eksponent, det vil si at opphøyer i produktet av eksponentene:

$(3^{2})^{3} = 3^{2\cdot 3} = 3^6 = 729$

$(3^{−2})^{−3} = 3^{−2(−3)} = 3^6 = 729$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å multiplisere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi multipliserer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:

$3^{2} \cdot 4^{2} = (3\cdot 4)^2 = 12^2 = 144$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 6:

Vi skal regne ut ved å bruke regelen for å dividere to potenser med samme eksponent, det vil si at vi dividerer grunntallene først, og deretter opphøyer i eksponenten:

$\frac{\displaystyle 6^2}{ \displaystyle 3^2} = \Big(\frac{\displaystyle 6}{ \displaystyle 3}\Big)^2 = 2^2 = 4$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 7:

Vi skal regne ved å bruke regelen om å flytte en potens under/over en brøkstrek med fortegnsskifte på eksponenten:

$\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2^{−4}} = 2^4 = 16$

$3^{−4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3^4} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 81}$

Tilbake til oppgaven

Kvadratsetningene

Oppgave 2:

Vi skal bruke første kvadratsetning til å regne ut: (3x + 5y)2 og forenkle så langt som mulig.

Første kvadratsetning sier at (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. I parentesen i oppgaven har vi 3x i stedet for a, og 5y i stedet for b, så vi får:

(3x + 5y)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 5y + (5y)2 = 9x2 + 30xy + 25y2

Vi ser at når vi opphøyer 3x i andre, så er det både 3-tallet og x som skal opphøyes, og tilsvarende når vi opphøyer 5y i andre, så er det både 5-tallet og y som skal opphøyes. Dette er egentlig i henhold til regelen ax · bx = (a · b)x, slik det er beskrevet i artikkelen om potensregning. I vårt tilfelle bruker vi regelen baklengs, og sier at (3 · x)2 = 32 · x2 = 9x2 og (5 · y)2 = 52 · y2 = 25y2.

Tilbake til oppgaven

Oppgave 5:

Vi skal bruke formelen (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 til å regne ut (2x + 5)3, og sjekke resultatet i CAS.

I parentesen i oppgaven har vi 2x i stedet for a, og 5 i stedet for b, så vi får:

(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · 5 + 3 · 2x · 52 + 53 = 8x3 + 3 · 4x2 · 5 + 3 · 2x · 25 + 125 = 8x3 + 60x2 + 150x + 125

I CAS skriver vi RegnUt((2x + 5)^3), og GeoGebra gir svaret 8x3 + 60x2 + 150x + 125, så vi har regnet riktig.

Tilbake til oppgaven

Røtter

Oppgave 1:

Vi skal forenkle $\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2}$ mest mulig.

Vi bruker regelen om rota av et produkt baklengs:

$\sqrt[\Large 4]{8} \cdot \sqrt[\Large 4]{2} = \sqrt[\Large 4]{8 \cdot 2} = \sqrt[\Large 4]{16} = 2$

Tilbake til oppgaven

Oppgave 2:

Vi skal forenkle $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5}}$ mest mulig ved å gå veien om potenser.

Vi skriver først rotuttrykkene om til potenser. Vi husker at a egentlig betyr a1:

$\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} } = \frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}}$

Så flytter vi potensen under brøkstreken opp samtidig som vi skifter fortegn på eksponenten:

$\frac{\displaystyle a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 }{\displaystyle a^{\large (\frac{5}{8})}} = a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})}$

Så benytter vi at å multiplisere to potenser med samme grunntall er det samme som å opphøye grunntallet i summen av eksponentene:

$a^{\large (\frac{1}{2}) } \cdot a^{\large (\frac{3}{4})} \cdot a^1 \cdot a^{\large (−\frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 1 – \frac{5}{8})} = a^{\large (\frac{13}{8})}$

Så regner vi tilbake til rot-form:

$a^{\large (\frac{13}{8})} = \sqrt[\Large 8]{a^{13}}$

Gjør vi utregningen med GeoGebra, får vi imidlertid svaret $a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$. Vi skal se hvordan vi kommer fram til dette.

Vi deler opp eksponenten i $a^{\large (\frac{13}{8})}$ i en sum av brøker:

$a^{\large (\frac{13}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})}$

Vi bruker regelen $a^{\large x} \cdot a^{\large y} = a^{\large x + y}$ baklengs:

$a^{\large (\frac{8}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8})} = a^{\large (\frac{8}{8})} \cdot a^{(\large \frac{4}{8})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})}$

Vi regner om fra potensform til brøkform:

$a^{1} \cdot a^{\large (\frac{1}{2})} \cdot a^{(\large \frac{1}{8})} = a \;\sqrt{a} \;\sqrt[\Large 8]{a}$

Tilbake til oppgaven

Publisert

Tallsystemer

Titallsystemet

Vi mennesker er vant med å regne med 10 som grunntall, vi bruker titallsystemet (desimalsystemet). Dette kommer formodentlig av at mennesker har 10 fingre, og derved er i stand til å representere 10 ulike sifre uten ekstra hjelpemidler. De 10 sifrene er symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Tallsystemet vårt er et posisjonssystem, hvor verdien til hvert siffer avhenger av hvor i tallet sifferet er plassert. I tallet 782, for eksempel, representerer sifferet 7 «syv hundre», 8 representerer «åtti», og 2 representerer «to». Sifferet lengst til høyre representerer enere, det neste tiere, deretter hundrere, etc.

Vi ser at sifferverdien, altså 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9, multipliseres med tallsystemets grunntall, altså 10, opphøyd i sifferets posisjonsnummer. Enerplassen regnes som posisjon null. 782 betyr for eksempel altså 7 · (10)2 + 8 · (10)1 + 2 · (10)0 = 7 · 100 + 8 · 10 + 2 · 1.

Totallsystemet

Et annet viktig posisjonssystem er totallsystemet (binærsystemet), der vi bruker 2 som grunntall. I totallsystemet brukes bare to sifre, 1 og 0, og de ulike posisjonene representerer 1, 2, 4, 8, og så videre, i stedet for titallsystemets 1, 10, 100, 1000, etc. Helt analogt med titallsystemet multipliseres sifferverdien (0, 1) med tallsystemets grunntall (2) opphøyd i sifferets posisjonsnummer. 1101 betyr for eksempel 1 · 23+ 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 13 i titallsystemet.

For å angi hvilket tallsystem vi arbeider i, bruker vi et lite subskript. 2 for totallsystemet, 10 for titallsystemet, etc. For eksempel betyr 11012 = 1310 at 1101 i totallsystemet er lik 13 i titallsystemet.

Siden det bare er to sifre i totallsystemet, kan vi lett representere tall fysisk ved å la 1 bety at noe er til stede og 0 at noe ikke er til stede. Dette er illustrert på bildet under, ved hjelp av egg i en eggekartong. Her ligger det egg i de fire posisjonene lengst til venstre, mens de to til høyre er tomme. Tallet dette symboliserer blir derved 1111002. Skulle vi representert det samme i titallsystemet, måtte vi innført et innfløkt system der for eksempel rødt egg betydde 1, blått egg 2, grønt egg 3, etc.

Egg som illustrerer 111100 i totallsystemet
 

Datamaskiner representerer tall som fysiske enheter, selv om det ikke er egg. I RAM-minne, for eksempel, betyr «elektriske ladning» 1, og «ingen ladning» 0. Skulle vi operert i titallsystemet, måtte vi holdt rede på 10 forskjellige ladningsnivåer, like innviklet som 10 fargede egg.

En annen stor fordel med totallsystemet er at regneoperasjonene er svært enkle. Regnereglene for addisjon er slik:

0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 og 1 i mente

Multiplikasjon i totallsystemet er like enkelt. Gangetabellen ser slik ut:

  0 1 10
0 0 0 0
1 0 1 10
10 0 10 100

På grunn av den enkle måten å representere tall på og de enkle regnereglene arbeider de aller fleste datamaskiner i totallsystemet, de er binære.

Skal vi gjøre operasjoner på flere tall, kan vi ta for oss to tall av gangen. For å addere tre tall for eksempel, adderer vi først to av dem, og deretter adderer vi summen til det siste tallet.

Regneeksempler

Akkurat som i titallsystemet adderer vi to binære tall ved å summere kolonne for kolonne, fra høyre mot venstre. Eksemplet under viser skritt for skritt prosedyren med å utføre addisjonen 101012 + 11012 = 100102. I titallsystemet tilsvarer det 2110 + 1310 = 3410.

Addisjon i totallsystemet

Multiplikasjon kan vi også utføre på samme måte som i titallsystemet. Vi multipliserer tallet til venstre med hvert siffer av tallet til høyre, setter resultatene under hverandre, og summerer. Eksemplet under viser skritt for skritt prosedyren med å utføre multiplikasjonen 1010012 · 1102 = 111101102. I titallsystemet tilsvarer dette 4110 · 610 = 24610.

Multiplikasjon i totallsystemet

Sekstentallsystemet

Totallsystemet er kjekt for datamaskiner, men ikke så lett for mennesker å håndtere, fordi sekvensene av ettall og nuller fort blir lange og tungvinte. For mennesker er titallsystemet mye mer praktisk. Det er for eksempel atskillig enklere å tolke tallet 128583 i titallsystemet, enn motparten i totallsystemet: 11111011001000111.

Totallsystemet brukes derfor sjelden i skriftlig materiale. Men hvis vi ønsker å vise hvordan tall representeres i en datamaskin, er titallsystemet heller ikke særlig velegnet. Dersom vi f.eks. øker tallet 11112 med 1, får vi 100002, en endring som overhodet ikke gjenspeiles i at 1510 blir til 1610.

Vi slår derfor i stedet sifrene i totallsystemet sammen i grupper på fire, og representerer hver gruppe med ett enkelt symbol. En slik gruppe på fire sifre kan representere 16 forskjellige tall, og et slikt tallsystem kalles derfor sekstentallsystemet (heksadesimalsystemet). For de første10 sifrene brukes de vanlige symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Men så eksisterer det ikke flere tallsymboler. En kunne selvfølgelig oppfunnet nye symboler for å representere de neste 6 sifrene, men i stedet har en valgt å bruke bokstavene A, B, C, D, E og F. Dette er illustrert i tabellen under.

00002 = 016 00012 = 116 00102 = 216 00112 = 316
01002 = 416 01012 = 516 01102 = 616 01112 = 716
10002 = 816 10012 = 916 10102 = A16 10112 = B16
11002 = C16 11012 = D16 11102 = E16 11112 = F16

I sekstentallsystemet vil en endring fra 11112 til 100002, vises ved at F16 blir til 1016. I motsetning til titallsystemet, gjenspeiler sekstentallsystemet at sifrene i totallsystemets posisjon 0, 1, 2 og 3 er blitt satt til 0, og sifferet i posisjon 4 er blitt satt til 1.

Sekstentallsystemet er et posisjonssystem hvor sifferverdien, det vil si 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E og F, multipliseres med tallsystemets grunntall, altså 16, opphøyd i sifferets posisjonsnummer. 3F6 betyr for eksempel 3 · 162 + 15 · 161 + 6 · 160 = 3 · 256 + 15 · 16 + 6 · 1 = 1014 i titallsystemet.

Omregning mellom tallsystemene

Fra totallsystemet til titallsystemet

Multipliser sifferet lengst til høyre med 20, neste siffer med 21, neste med 22, etc., og adder resultatet.
Eksempel: 101012 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 = 1 · 1 + 0 · 2 + 1 · 4 + 0 · 8 + 1 · 16 = 2110.

Fra titallsystemet til totallsystemet

Del tallet på to. Blir det en rest, skriv 1. Blir det ingen rest, skriv 0. Stryk resten og del på to på nytt. Skriv 1 eller 0 til venstre for forrige siffer, alt etter om det ble rest eller ikke.
Gjenta operasjonen inntil det står null igjen.

Eksemplet under viser hvordan vi regner om 1310 til 11012.

Desimalt   Rest?   Binært
13 : 2  = 6,5    Ja   1
6 : 2  = 3,0    Nei   01
3 : 2  = 1,5    Ja   101
1 : 2  = 0,5    Ja   1101
0           

Fra totallsystemet til sekstentallsystemet

Grupper sifrene 4 og 4, fra høyre mot venstre. Dersom siste gruppe har færre enn fire sifre, fyll på med nuller til venstre. Regn om ifølge tabellen i avsnittet om sekstentallsystemet.

Eksempel: 111110110010001112 = 0001 1111 0110 0100 01112 = 1F64716.

Fra sekstentallsystemet til totallsystemet

Ta utgangspunkt i tabellen i avsnittet om sekstentallsystemet og erstatt hvert siffer med de tilhørende fire sifrene i totallsystemet. Ledende nuller kan strykes.

Eksempel: 2F316 = 0010 1111 00112 = 10111100112.

Fra sekstentallsystemet til titallsystemet

Multipliser sifferet lengst til høyre med 160, neste siffer med 161, neste med 162, og så videre, og adder resultatet. Husk at A16 = 1010, B16 = 1110, C16 = 1210, D16 = 1310, E16 = 1410, F16 = 1510.

Eksempel: 2F3C16 = 12 · 160 + 3 · 161 + 15 · 162 + 2 · 163 = 12 · 1 + 3 · 16 + 15 · 256 + 2 · 4096 = 1209210

Fra titallsystemet til sekstentallsystemet

Det enkleste er nok å regne om til totallsystemet først, og deretter til sekstentallsystemet, som beskrevet i avsnittene over. Vi kan imidlertid bruke teknikken for å regne om fra ti- til totallsystemet til å regne om direkte til sekstentallsystemet. Men vi må dele på seksten, og i stedet for å skrive 1 når vi får rest, skriver vi resten multiplisert med seksten.

Eksemplet under viser hvordan vi regner om 1209210 til 2F3C16.

Desimalt Oppmultiplisert rest   Heksadesimalt
12092 : 16  = 755,75    0,75  * 16= 12    C
755 : 16  = 47,1875    0,1875  * 16 = 3   3C
47 : 16  = 2,9375    0,9375  * 16 = 15   F3C
2 : 16  = 0,125    0,125  * 16 = 2   2F3C
0             

Omregning med kalkulator

Windows har en kalkulator-app som vi får fram ved å åpne Windows-menyen og skrive «kalkulator». Denne kan brukes til å regne om mellom totallsystemet (binært), åttetallsystemet (oktalt), titallsystemet (desimalt) og sekstentallsystemet (heksadesimalt).

Første gang kalkulatoren hentes fram, vises den i modus «Standard», dette endrer vi til «Programmerer» i menyen øverst til venstre.

Windows-kalkulator i programmerings-modus

HEX, DEC, OCT og BIN er til å velge tallsystem med, henholdsvis sekstentallsystemet, titallsystemet, åttetallsystemet og totallsystemet. Vil vi regne om fra titallsystemet til sekstentallsystemet, for eksempel, klikker vi på DEC, skriver inn tallet, og klikker på HEX. Vil vi regne om fra totallsystemet til titallsystemet, klikker vi på BIN, skriver inn tallet, og klikker på DEC. Kalkulatoren deaktiverer knapper med tall som ikke er gyldige i et gitt tallsystem. Velger vi BIN, er derfor bare 0 og 1 aktivert. Velger vi OCT, aktiveres i tillegg 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Med DEC kommer også 8 og 9, og med HEX A, B, C, D, E og F.

Kilder

    • Bård Kjos: Innføring i informasjonsteknologi. Tapir Akademisk forlag, Trondheim 2005
Publisert

Dynamiske ark i GeoGebra

Av og til kan det være nyttig å lage ei GeoGebra-fil som brukerne kan eksperimentere med uten å hente den inn i selve GeoGebra-programmet. Det kan vi gjøre ved å eksportere dynamiske ark som en webside. Gjør vi arkene tilgjengelige på Internett, kan hvem som helst åpne dem.

For å eksportere gjør vi følgende:

  1. Velger «Fil» – «Eksporter» – «Dynamisk ark som webside…».
     
  2. Velger fanen «Eksporter som webside».
     
  3. Skriver inn en tittel.
     
  4. Klikker på «Eksporter».
     
  5. Velger hva eksportfila skal hete og hvor den skal ligge.

Det kan være at vi må gi tillatelser for at det dynamiske arket skal kjøre, det får vi i så fall spørsmål om.

Det er også mulig at dynamiske ark ikke fungerer i alle nettlesere. 32-bits Internet Explorer ser ut til å gi problemer, men i 64-bits og Google Chrome fungerer det fint.

Det kan også skape problemer om det dynamiske arket er lagret på en nettverksdisk.

Oppgave 1:

GeoGebra-filLast ned GeoGebra-fila fra eksempel 1 i artikkelen om derivasjon
 

Lagre et dynamisk ark fra GeoGebra-fila på din egen PC. La tittelen være «Derivasjon 1» og filnavnet «derivasjon_1».

Se løsningsforslag

Oppgave 2:

Åpne den dynamiske fila du laget i oppgave 1 og eksperimenter med hva du kan gjøre av endringer.

Se løsningsforslag

Hva som er tillatt i et dynamisk ark bestemmes under eksporten. Hvis vi i punkt 3 i oppskriftslista klikker på fanen «Avansert», får vi opp en dialogboks med forskjellige valgmuligheter.

Oppgave 3:

  1. Gjenta det du gjorde i oppgave 1, men tillat høyreklikking. La tittelen være» Derivasjon 2″ og filnavnet «derivasjon_2».
     
  2. Gjenta det du gjorde i oppgave 1, men gjør nå også meny- og verktøylinjer er tilgjengelige. La tittelen være «Derivasjon 3» og filnavnet «derivasjon_3».

Se løsningsforslag

Oppgave 4:

Åpne de dynamiske arkene «derivasjon_2» og «derivasjon_3» fra oppgave 3 og undersøk hva du kan gjøre som du ikke kunne med «derivasjon_1» fra oppgave 1.

Det finnes ikke noe entydig løsningsforslag, men har du tillatt høyreklikking, kan du for eksempel skru av og på sporing og endre funksjonsforskriften. Åpner du for meny- og verktøylinje begynner det hele å likne et vanlig GeoGebra-vindu. Du har ikke inntastingsfelt, men det er også noe det går an å huke av for i fanen «Avansert».

Kilder

Publisert

CAS i GeoGebra

I GeoGebra kan vi bruke verktøyet CAS, Computer Algebra System til å utføre beregninger på symboler. Det vil si at CAS ikke bare er i stand til å gjøre aritmetikk, som å beregne at 2 + 3 = 5, men også utføre generelle algebraiske utregninger, som at a · a = a2.

Vi får fram CAS-vinduet ved å velge «Vis» – «CAS». Vi skriver så inn uttrykket vi vil forenkle og trykker linjeskift-tasten. (Enter)

I bildet under har vi skrevet inn 3xy − 3x + 2xy + 5x, og GeoGebra har trukket uttrykket sammen så langt det går.

Bruk av CAS i GeoGebra

Oppgave 1:

Bruk CAS i GeoGebra til å forenkle uttrykkene

        1. 4xy + 8z − 3xy + 5x − 3z
           
        2. 5m2 − 3n − 3(m2 + n) − (−m2 − n)
           
        3. $\frac{\displaystyle {(a^{\large 2})}^{\large 3}a^{\large 4}}{\displaystyle {(a^{\large 3})}^{\large 2}}$
           
        4. x2y2x + x3y3x−1 − x3y2 + xyyyyy−1x
           
          Hint: Hvis vi skriver inn uttrykket xyyyyy direkte, vil CAS tolke dette som ett langt variabelnavn. For å indikere at vi skal ha variabelen x multiplisert med variabelen y fem ganger, må vi skylle symbolene med multiplikasjons-operatoren stjerne, *.

Se løsningsforslag

Rotuttrykk

I GeoGebra beregner vi kvadratrøtter med kommandoen sqrt. For eksempel betyr sqrt(2) kvadratrota av 2. For andre former for røtter bruker vi kommandoen nrot eller nroot. Da må vi først oppgi hva vi skal trekke ut rota av, deretter hvilken rot vi skal trekke ut. For eksempel betyr nrot(8, 3) tredjerota av 8, mens nrot(3, 8) betyr åttenderota av 3.

Disse kommandoene kan vi skrive både i inntastingsfeltet og i CAS. Forskjellen er at inntastingsfeltet brukes mest til funksjonsforskrifter, for eksempel vil uttrykket sqrt(x^3) i inntastingsfeltet gi et plott av grafen til funksjonen $f(x)=\sqrt{x^3}$, mens det i CAS vil bli forenklet til $\sqrt x \, x$.

Eksempel 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å forenkle uttrykket $\sqrt 8 + \sqrt 2$ mest mulig.

I CAS skriver vi sqrt(8) + sqrt(2), og GeoGebra forenkler uttrykket til $3 \sqrt 2$.

Dersom ikke uttrykket blir forenklet så langt vi ønsker, kan vi bruke kommandoen forenkle. For eksempel forenkle(sqrt(8) + sqrt(2)).

Oppgave 2:

Bruk CAS til å forenkle uttrykkene

1: $\sqrt[\Large 3]{x^4} \cdot \sqrt[\Large 3]{x^{\phantom 1}}$

2: $\frac{\displaystyle \sqrt{a^\phantom 1} \cdot \sqrt[\Large 4]{a^3} \cdot a}{\displaystyle \sqrt[\Large 8]{a^5} }$

Se løsningsforslag

Potenser av parentesuttrykk

Hvis vi vil bruke CAS i GeoGebra til å regne ut potenser av parentesuttrykk, for eksempel (a + b)2, bruker vi kommandoen regnut, for eksempel regnut((a + b)^2) for å illustrere første kvadratsetning.

CAS er spesielt nyttig ved mer kompliserte uttrykk, for eksempel (a + b + c)4, som kan være omstendelige å regne ut for hånd.

Oppgave 3:

Bruk CAS til å regne ut (x + 5)3.

Se løsningsforslag

Faktorisere polynomer

Vi kan faktorisere polynomer ved hjelp av kommandoen faktoriser. For å faktorisere polynomet 2x2 − 10x + 12, for eksempel, skriver vi faktoriser(2x^2 − 10x + 12). GeoGebra svarer med 2(x − 3)(x − 2). GeoGebra finner ikke faktorer som er komplekse tall.

Løse likninger

Vi kan bruke CAS til å løse likninger. Vi skriver da inn likningsuttrykket og trykker på «Løs» eller «Løs numerisk».

"Løs" og "Løs numerisk" i CAS

Forskjellen på «Løs» og «Løs numerisk» er at hvis løsningen involverer brøker eller rotuttrykk, vises disse med «Løs», mens de med «Løs numerisk» rundes av til desimaltall.

Vi kan også bruke kommandoen løs eller nløs for å gjøre det samme.

Løse likningssett

Vi kan også løse likningssett med CAS. Den letteste måten å gjøre det på er å legge inn likningene én for én, markere alle, og så klikke på «Løs» eller «Nøs Numerisk».

Eksempel 2:

Vi skal løse likningen 5x = 3 i CAS. Vi skriver inn 5x = 3. Trykker vi på «Løs», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = {\large \frac{3}{5}} {\Large \rbrace}$. Trykker vi på «Løs numerisk», svarer GeoGebra ${\Large \lbrace} x = 0.6 {\Large \rbrace}$.

Alternativt skriver vi løs(5x = 3) eller nløs(5x = 3).

Vi kan også skrive kommandoen løs eller nløs og oppgi likningene mellom krøllparenteser, samt de ukjente vi skal løse for mellom krøllparenteser.

Eksempel 3:

Vi skal løse likningssettet

2x + 3y + z = 37
3x + 2y + 3z = 45
3x + y + z = 33

I CAS legger vi inn likningene, én i hver rute. Deretter markerer vi alle likningene ved å klikke på rute «1», holde nede <skift> og klikke på rute «3». Så klikker vi på «Løs» eller «Nøs Numerisk». Siden løsningene er hele tall, spiller det i dette tilfellet ikke noen rolle hva vi velger. GeoGebra viser løsningen x = 8, y = 6, z = 3.

Løsning av likningssett i CAS

Alternativt skriver vi løs({2x + 3y + z = 37, 3x + 2y + 3z = 45, 3x + y + z = 33}, {x, y, z}). Vi kan også skrive nløs i stedet for løs.

Oppgave 4:

Bruk CAS til å løse likningssettet

(I) x + 3y − 2z = 5
(II) 3x + 5y + 6z = 7
(III) 2x + 4y + 3z = 8

Se løsningsforslag

Kilder

Publisert

Sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra

GeoGebra har en egen sannsynlighetskalkulator som vi får fram ved å klikke på «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator».

Kalkulatoren har to hovedfaner, «Fordeling» og «Statistikk». Vi ser først på fanen «Fordeling», der vi kan beregne sannsynligheter i forskjellige fordelinger.

Fane «Fordelinger»

Bildet under viser en framstilling av sannsynligheten for antall kron i et kast med 5 mynter.

Illustrasjon av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra

Forventning og standardavvik angis altså med de greske bokstavene μ og σ.

«Venstresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er mindre eller lik en verdi. «Intervall» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X ligger på og mellom to verdier, og «Høyresidig» brukes hvis vi skal finne sannsynligheten for at X er større eller lik en verdi.

De aktuelle verdiene kan vi enten skrive i utfyllingsfeltene nederst, eller sette ved å dra i pilene i underkant av kolonnene.

Binomisk fordeling

Vi skal nå illustrere hvordan vi gjør beregninger i en binomisk modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.

Eksempel 1:

Vi skal beregne forskjellige sannsynligheter for antall kron ved kast med 7 mynter. Hvis sannsynlighetskalkulatoren ikke er framme, tar vi den fram ved å velge «Vis» – «Sannsynlighetskalkulator», fane «Fordeling».

Vi har en binomisk sannsynlighetsmodell. n = 7 fordi vi gjør 7 kast, og p = 0,5 fordi sannsynligheten for suksess er 0,5. Vi velger «Binomisk fordeling» og setter «n» til 7 og «p» til 0.5. GeoGebra regner ut at fordelingens forventningsverdi er μ = 3,5 og standardavviket σ ≈ 1,3229:

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne binomisk sannsynlighet

Så skal vi finne

  1. Sannsynligheten for 3 kron.
    Vi klikker på symbolet for «Intervall» og angir 3 som både øvre og nedre grense. GeoGebra svarer 0,2734.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for intervallsannsynlighet
     
  2. Sannsynligheten for 1 kron eller mindre.
    Vi klikker på symbolet for «Venstresidig» og angir 1 som øvre grense. GeoGebra svarer 0,0625.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for venstresidig sannsynlighet
     
  3. Sannsynligheten for 5 kron eller mer.
    Vi klikker på symbolet for «Høyresidig» og angir 5 som nedre grense. GeoGebra svarer 0,2266.
    Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for høyresdidig intervall

I stedet for å angi X-verdiene ved å skrive inn tall kan vi også dra i pil-symbolene under kolonnene.

Oppgave 1:

La X betegne antall kron i 8 kast med en juksemynt der sannsynligheten for kron er 0,6. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne

  1. ​Fordelingens forventningsverdi og standardavvik.
     
  2. P(X = 4)
     
  3. P(X ≤ 2)
     
  4. P(X > 6)
    NB! Legg merke til at vi spør etter «større enn 6», ikke «større eller lik 6».

Se løsningsforslag

Hypergeometrisk fordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en hypergeometriskmodell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Hypergeometrisk fordeling».

Parameterne heter imidlertid noe annet enn det vi kaller dem i artikkelen om hypergeometrisk fordeling. Grunnmengden N heter «populasjon», mengden spesielle elementer, M, heter «n» og antall vi trekker, n, heter «utvalg».

Eksempel 2:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for å få en hånd med akkurat 2 spar når vi trekker 5 kort fra en full stokk.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne hypergeometrisk sannsynlighet

«Populasjon» er antall kort totalt, altså 52, «n» er antall spar totalt, altså 13 og «utvalg» er antall kort vi trekker, altså 5.
Så angir vi et intervall som både begynner og slutter med 2, og får som svar at sannsynligheten er om lag 0,2743.

Denne beregningen gjør vi med formler i eksempel 1 i artikkelen om hypergeometrisk fordeling.

Oppgave 2:

I en forening med 65 medlemmer er 13 negative til et forslag.

Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne fordelingens forventning og standardavvik.

Anta at vi velger 20 representanter tilfeldig fra gruppen. Bruk sannsynlighetskalkulatoren til å finne sannsynligheten for at

  1. Ingen av representantene er negative.
     
  2. Én av representantene er negativ.
     
  3. To eller flere av representantene er negative.

Disse beregningene gjør vi for hånd i oppgave 1 i artikkelen om hypergeometrisk fordeling.

Se løsningsforslag

Poissonfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en poissonfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Poissonfordeling».

Her heter imidlertid ikke hyppigheten λ, men μ. Det er et naturlig valg, siden forventningsverdien i en poissonfordeling er lik λ.

Eksempel 3:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for 7 trær i et skogsområde når λ = 8, som vi regner ut i eksempel 1 i artikkelen om poissonfordeling.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne poissonsannsynlighet

Vi får som svar at sannsynligheten er om lag 0,1396.

Oppgave 3:

I en vannprøve er det i gjennomsnitt to hoppekreps. Anta at mengden hoppekreps er poissonfordelt, og bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at en annen, like stor vannprøve inneholder

  1. Ingen hoppekreps.
     
  2. Én hoppekreps.
     
  3. To eller flere hoppekreps.

Disse beregningene gjør vi for hånd i oppgave 1 i artikkelen om poissonfordeling.

Se løsningsforslag

Normalfordeling

Når vi skal gjøre beregninger i en normalfordelt modell ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra, velger vi naturligvis «Normalfordeling».

Vi må da fylle ut fordelingens forventning, «μ», og standardavvik, «σ».

Eksempel 4:

Bildet under viser hva vi fyller ut for å beregne sannsynligheten for at en person er mellom 170 og 180 cm når forventningen er 177 cm og standardavviket 7 cm. Vi ser at GeoGebra finner verdien 0,5072.
Dette regner vi ut ved hjelp av tabeller i eksempel 3.3 i artikkelen om normalfordelingen. Da får vi 0,5077, som ikke er helt korrekt på grunn av avrundingsfeil i standardiseringen.

Sannsynlighetskalkulatoren stilt inn for å beregne normalfordelt sannsynlighet

Oppgave 4:

På en eksamen er resultatene normalfordelt med en forventning på 14 poeng og et standardavvik på 2 poeng, N(14, 22). For å stå må en oppnå mer enn 12 poeng. Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne hvor stor del av de som tar eksamenen, som kan forventes å ikke stå.

Dette regner vi ut for hånd i oppgave 2 i artikkelen om normalfordelingen.

​Se løsningsforslag

Diskret fordeling med normaltilnærming

I en diskret sannsynlighetsfordeling kan vi samtidig vise en tilnærmet normalfordeling ved å klikke på knappen med den røde normalfordelingskurven. Bildet under viser en binomisk fordeling med 20 forsøk og suksess-sannsynlighet 0,6, der den tilhørende normalfordelingen er tegnet inn.

Sannsynlighetskalkulatoren viser både binomisk og normalfordelt sannsynlighet

Fane «Statistikk»

Under fanen «Statistikk» kan vi beregne konfidensintervaller og utføre hypotesetester. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og klikker på fanen «Statistikk».

Valg av statistikkfunksjon i sannsynlighetskalkulator

Konfidensintervaller for forventningsverdier

Kjent standardavvik

Hvis standardavviket i en populasjon er kjent, bruker vi menyvalget «Z-estimat av et gjennomsnitt» til å beregne konfidensintervaller for forventningsverdier. Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, populasjonsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 5:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for gjennomsnittet i en populasjon med kjent standardavvik lik 0,7. Vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-estimat av et gjennomsnitt», og setter

        • «Konfidensnivå» til 0.95, fordi vi skal ha et 95 %-intervall.
        • «Gjennomsnitt» til 4.14, fordi gjennomsnittet er 0,14.
        • «σ» til 0.7, fordi standardavviket er 0,7.
        • «N» til 13, fordi vi har 13 målinger.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, n-fordeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,7595, 4,5205]. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 4 i artikkelen om estimering.

«SF» representerer standardavviket til estimatoren, ${\large \frac{0{,}7}{\sqrt {13}}} \approx 0{,}1941$.

Oppgave 5:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 99 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at produksjonen har standardavvik σ = 5,8.

​Se løsningsforslag

Ukjent standardavvik

Hvis standardavviket i en populasjon er ukjent, og vi baserer oss på utvalgsstandardavviket, bruker vi menyvalget «T-estimat av et gjennomsnitt» til å beregne konfidensintervaller for forventningsverdier. Så angir vi ønsket konfidensnivå, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 6:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for et gjennomsnitt i en populasjon der vi har målt 13 elementer, og funnet et gjennomsnitt på 4,14 og et utvalgsstandardavvik på 0,71.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-estimat av et gjennomsnitt», og setter

        • «Konfidensnivå» til 0.95, fordi vi skal ha et 95 %-intervall.
        • «Gjennomsnitt» til 4.14, fordi gjennomsnittet er 4,14.
        • «s» til 0.7, fordi utvalgsstandardavviket er 0,7.
        • «N» til 13, fordi det er gjort 13 målinger.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, t-fordeling

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [3,711, 4,569]. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 7 i artikkelen om estimering.

«SF» representerer standardavviket til estimatoren, ${\large \frac{0{,}71}{\sqrt {13}}} \approx 0{,}1969$.

Oppgave 6:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 90 % konfidensintervall for dagsproduksjonen av støtfangere, basert på at gjennomsnittet målt over seks dager er X = 217 enheter og at utvalgsstandardavviket er beregnet til S = 6.

​Se løsningsforslag

Konfidensintervaller for sannsynligheter

For å beregne et konfidensintervall for en sannsynlighet bruker vi menyvalget «Z-estimat av en andel». Så angir vi ønsket konfidensnivå, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner grensene i konfidensintervallet.

Eksempel 7:

Vi skal finne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for kron hos en mynt som har gitt kron i 33 av 50 kast.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-estimat av en andel», og setter

        • «Konfidensnivå» til 0.95, fordi vi skal ha et 95 %-intervall.
        • «Treff» til 33 fordi kastene har gitt 33 kron.
        • «N» til 50 fordi det totalt er gjort 50 kast.

Beregning av 95 % konfidensintervall i sannsynlighetskalkulator, binomisk modell

GeoGebra beregner at konfidensintervallet er om lag [0,5287, 0,7913]. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 9 i artikkelen om estimering.

«SF» representerer standardavviket til estimatoren, $\sqrt{\large \frac{0{,}66(1 – 0{,}66)}{50}} \approx 0{,}067$.

Oppgave 7:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å beregne et 95 % konfidensintervall for sannsynligheten for at en vilkårlig mobillader er defekt, når det blant 2000 stikkprøver ble funnet 35 defekte.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester

I hypotesetester må vi angi verdi for nullhypotesen, og om testen er venstre- høyre-, eller tosidig, noe som gjøres ved å velge henholdsvis <, > eller ≠ for den alternative hypotesen. I tillegg oppgir vi måledataene våre. GeoGebra beregner da testens Z-verdi, og noe som kalles P-verdi. Hvis P-verdien er mindre enn testens signifikansnivå, forkaster vi nullhypotesen og aksepterer den alternative hypotesen.

Tester for sannsynlighet

En hypotesetest for sannsynlighet gjør vi ved menyvalget «Z-test av en andel».

Så angir vi verdien til p i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test, antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 8:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en mynt som gir 524 kron i 1000 kast har større sannsynlighet enn 0,5 for å få kron.

Den alternative hypotesen blir HA: p > 0,5, og nullhypotesen H0: p = 0,5.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test av en andel», og setter

        • «Nullhypotese p =» til 0.5 fordi nullhypotesen er at mynten er rettferdig, med en sannsynlighet for kron på 0,5.
        • «Alternativ hypotese» til «>» fordi den alternative hypotesen er at mynten gir for mange kron.
        • «Treff» til 524 fordi kastene har gitt 524 kron.
        • «N» til 1000 fordi det er gjort totalt 1000 kast.

Hypotesetest i binomisk modell

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,5179. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 2 i artikkelen om hypotesetesting. Siden Z ≈ 1,5179 < zα = z0,05 ≈ 1,6449, kan vi konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0645. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 8:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om henholdsvis 20 av 100 og 200 av 1000 seksere ved terningkast tyder på at terningen gir for mange seksere.

​Se løsningsforslag

Tester for forventningsverdier

Kjent standardavvik

En hypotesetest for forventningsverdi når standardavviket er kjent, gjør vi ved menyvalget «Z-test av et gjennomsnitt». Så angir vi verdien til μ i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 9:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 1 % signifikansnivå på om en maskin som i snitt skal gi ut 10 ml. olje med et standardavvik på 0,65, gir ut for mye olje, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 10,5 ml.

Den alternative hypotesen blir HA: μ > 10, og nullhypotesen H0: μ = 10.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test av en andel», og setter

        • «Nullhypotese μ =» til 10 fordi dette er det forventede volumet olje.
        • «Alternativ hypotese» til «>» fordi den alternative hypotesen er at maskinen gir ut for mye olje.
        • «Gjennomsnitt» til 10.5 fordi gjennomsnittsvolumet er 10,5.
        • «σ» til 0.65 fordi standardavviket er 0,65.
        • «N» til 20 fordi det er gjort 20 målinger.

Hypotesetest i målemodell, standardavvik kjent

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 3,4401. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 3 i artikkelen om hypotesetesting. Siden Z ≈ 3,4401 > zα = z0,01 ≈ 2,3263, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0003. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,01, kan nullhypotesen forkastes.

Ukjent standardavvik

En hypotesetest for forventningsverdi når standardavviket er kjent, gjør vi ved menyvalget «T-test av et gjennomsnitt». Så angir vi verdien til μ i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test, gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 10:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om en maskin som i snitt skal gi ut 425 gram bønner gir ut feil mengde, når gjennomsnittsmengden i 20 målinger i snitt er 427,5 gram. Utvalgsstandardavviket er 5 gram.

Den alternative hypotesen blir HA: μ > 425, og nullhypotesen H0: μ = 425.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-test av en andel», og setter

        • «Nullhypotese μ =» til 425 fordi dette er den forventede mengden bønner.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at maskinen gir enten for stor eller for liten mengde bønner.
        • «Gjennomsnitt» til 427.5 fordi gjennomsnittsmengden er 427,5.
        • «s» til 5 fordi utvalgsstandardavviket er 5.
        • «N» til 20 fordi det er gjort 20 målinger.

Hypotesetest i målemodell, basert på utvalgsstandardavvik

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 2,2361. Siden t ≈ 2,2361 > tα/2 (v) = t0,025 (20−1) ≈ 2,0930, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0375. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 9:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om angitt gjennomsnittlig ventetid på 30 sekunder på en telefontjeneste er satt for lavt når 15 oppringninger gir en gjennomsnittlig ventetid på 37 sekunder, med et standardavvik på 14.

​Se løsningsforslag

Hypotesetester for to utvalg

I tester for to utvalg tester vi hypoteser om forskjeller i to utvalg, enten forventningsverdier eller sannsynligheter. I tillegg til nullhypotese og alternativ hypotese må vi da angi verdier for to utvalg. GeoGebra kaller disse «Utvalg» og «Utvalg 2». (Det første utvalget skulle nok hett «Utvalg 1», men 1-tallet mangler. I resultatene heter det «Utvalg 1», og på engelsk «Sample 1».)

Tester for forventningsverdier

Kjent standardavvik

En hypotesetest for forskjellen på forventningsverdi i to utvalg når standardavviket i begge utvalg er kjent, gjør vi ved menyvalget «Z-test. Forskjell mellom gjennomsnitt». Så angir vi differansen μ1 − μ2 i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test. For hvert av de to utvalgene angir vi så gjennomsnitt, standardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 11:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på mengden sukker to maskiner tilsetter en matvare. Maskin X opererer med et standardavvik på 0,11, og 70 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,103 gram sukker. Maskin Y opererer med et standardavvik på 0,13, og 85 stikkprøver viser at den i snitt tilsetter 10,069 gram sukker.

Den alternative hypotesen blir HA: μ1 = μ2, og nullhypotesen H0: μ1 ≠ μ2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test mellom gjennomsnitt», og setter

        • «Nullhypotese μ1 − μ2» til 0 fordi nullhypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene er like.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere maskin X og setter

        • «Gjennomsnitt» til 10.103 fordi gjennomsnittsmengden for maskin X er 10,103.
        • «σ» til 0.11 fordi maskin X opererer med et standardavvik på 0,11.
        • «N» til 70 fordi det er gjort 70 målinger på maskin X.

Vi lar «Utvalg 2» representere maskin Y og setter

        • «Gjennomsnitt» til 10.069 fordi gjennomsnittsmengden for maskin Y er 10,069.
        • «σ» til 0.13 fordi maskin Y opererer med et standardavvik på 0,13.
        • «N» til 85 fordi det er gjort 85 målinger på maskin Y.

Hypotesetest mellom to utvalg i målemodell, standardavvik kjent

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ 1,7636. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 1 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden Z ≈ 1,7636 < zα/2 = z0,025 ≈ 1,9600, kan vi konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0778. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Oppgave 10:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre samme test som i eksempel 11, men basert på at 60 stikkprøver av maskin X gir et snitt på 10,107 gram sukker, og 75 stikkprøver av maskin Y gir et snitt på 10,061 gram sukker. Standardavvikene kan forutsettes å være de samme, 0,11 gram for maskin X og 0,13 gram for maskin Y.

​Se løsningsforslag

Ukjent standardavvik

En hypotesetest for forskjellen på forventningsverdi i to utvalg når standardavvikene er ukjent, gjør vi ved menyvalget «T-test, Differanse mellom gjennomsnitt». (Det er litt inkonsekvent at GeoGebra i dette menyvalget bruker ordet «differanse», men ordet «forskjell» i tilsvarende Z-test. På engelsk brukes ordet «difference» i begge tilfeller.) Så angir vi differansen μ1 − μ2 i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test. For hvert av de to utvalgene angir vi gjennomsnitt, utvalgsstandardavvik og antall målinger.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 12:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på frukthøsten fra to trær, av type X og Y når 13 trær av type X i gjennomsnitt gir 45,154 kg med et utvalgsstandardavvik på 7,998 og 12 trær av type Y i gjennomsnitt gir 42,250 kg med et utvalgsstandardavvik på 8,740.

Den alternative hypotesen blir HA: μ1 = μ2, og nullhypotesen H0: μ1 ≠ μ2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «T-test, Differanse mellom gjennomsnitt», og setter

        • «Nullhypotese μ1 − μ2» til 0 fordi nullhypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene er like.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at forventningsverdiene i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere type X og setter

        • «Gjennomsnitt» til 45.154 fordi gjennomsnittshøsten for trær av type X er 45,154.
        • «s» til 7.998 fordi trær av type X har et utvalgsstandardavvik på 7,998.
        • «N» til 13 fordi det er gjort 13 målinger på trær av type X.

Vi lar «Utvalg 2» representere type Y og setter

        • «Gjennomsnitt» til 42.25 fordi gjennomsnittshøsten for trær av type Y er 42,25.
        • «s» til 8.74 fordi trær av type Y har et utvalgsstandardavvik på 8,74.
        • «N» til 12 fordi det er gjort 12 målinger på trær av type Y.

Hypotesetest mellom to utvalg i målemodell, standardavvik ukjent

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag t ≈ 0,8644. Dette regner vi ut for hånd i oppgave 2 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden t ≈ 0,8644 < tα/2 (v) = t0,025 (13+12−2) ≈ 2,0687, kan vi konkludere med at vi ikke kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,3965. Siden P-verdien ikke er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan ikke nullhypotesen forkastes.

Tester for sannsynlighet

En hypotesetest for forskjellen på sannsynlighet i to utvalg gjør vi ved menyvalget «Z-test. Forskjell mellom andeler». Så angir vi differansen p1 − p2 i nullhypotesen, «<«, «>» eller «≠» for henholdsvis venstresidig, høyresidig eller tosidig test. For hvert av de to utvalgene angir vi antall suksesser og antall forsøk totalt.

GeoGebra beregner Z-verdi og P-verdi.

Eksempel 13:

Vi skal gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell mellom antallet defekte PC-skjermer ved to forskjellige anlegg, når det på anlegg X ble målt at 17 av 200 var defekte, og på anlegg Y at 31 av 200 var defekte.

Den alternative hypotesen blir HA: p1 = p2, og nullhypotesen H0: p1 ≠ p2.

Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren, klikker på fanen “Statistikk”, velger «Z-test. Forskjell mellom andeler», og setter

        • «Nullhypotese p1 − p2» til 0 fordi nullhypotesen er at andelene defekte i de to utvalgene er like.
        • «Alternativ hypotese» til «≠» fordi den alternative hypotesen er at andelene defekte i de to utvalgene ikke er like.

Vi lar «Utvalg» representere anlegg X og setter

        • «Treff» til 17 fordi antall defekte i anlegg X er 17.
        • «N» til 200 fordi det er undersøkt 200 skjermer i anlegg X.

Vi lar «Utvalg 2» representere anlegg Y og setter

        • «Treff» til 31 fordi antall defekte i anlegg Y er 31.
        • «N» til 200 fordi det er undersøkt 200 skjermer i anlegg Y.

Hypotesetest mellom to utvalg i binomisk modell

GeoGebra regner ut at verdien til testobservatoren blir om lag Z ≈ −2,1541. Dette regner vi ut for hånd i eksempel 4 i artikkelen om å sammenlikne datasett. Siden |Z| ≈ 2,1541 > zα/2 = z0,025 ≈ 1,9600, kan vi konkludere med at vi kan forkaste nullhypotesen. Men det er enklere å basere seg på P-verdien, som er om lag 0,0312. Siden P-verdien er mindre enn signifikansnivået på 0,05, kan nullhypotesen forkastes.

Oppgave 11:

Bruk sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra til å gjøre en hypotesetest på 5 % signifikansnivå på om det er forskjell på antall defekte sømmer på bukser produsert ved to produksjonslinjer når det ved produksjonslinje X er 147 av 2500 defekter, og ved produksjonslinje Y er 151 av 2000 defekter.

​Se løsningsforslag

Kilder

    • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
Publisert

Statistikk med GeoGebra

Søylediagram og histogram

For å kunne lage diagrammer på en effektiv måte i GeoGebra, må vi ta i bruk GeoGebras regneark. Hvis regnearket ikke allerede er framme, klikker vi på «Vis» – «Regneark».

Hvordan få fram regnearket i GeoGebra

Vil vi ha regnearket bort igjen, klikker vi på «Vis» – «Regneark» en gang til.

Blir det trangt om plassen, kan vi godt skjule algebrafeltet, det er ikke så interessant når vi skal lage diagrammer. Hvis algebrafeltet er framme, vil det forsvinne hvis vi klikker på «Vis» – «Algebrafelt».

Regnearket i GeoGebra fungerer på samme måte som andre regneark, for eksempel Excel, men har mindre funksjonalitet.

Arbeidsgangen ved å lage diagrammer er å først skrive dataene i regnearket og så skrive en kommando som refererer til dataene i inntastingsfeltet. Referanse til data gjøres gjennom å oppgi navnene på cellene der dataene befinner seg. Dette navnet består av kolonnenavnet satt sammen med radnummeret, for eksempel A1, for cella øverst til venstre.
NB! Kolonnenavn må angis med store bokstaver.

Kommandoen for å lage søylediagrammer er søylediagram, og kommandoen for å lage histogrammer er histogram.

Søylediagram kan vi lage på flere måter. Én måte er å skrive inn alle verdiene i et område i regnearket, og i søylediagram-kommandoen angi navnet på cella øverst til venstre og cella nederst til høyre i dataområdet, atskilt med kolon. Vi må også angi ønsket søylebredde. 

Eksempel 1:

Vi skal lage et søylediagram som presenterer dataene fra eksempel 1 i artikkelen om måltall i statistikk, 140, 141, 137, 143, 145, 142, 139, 138, 139, 141, 144, 137, 138, 142, 140, 142, 140, 138, 135, 142, 144, 141, 148, 140, 149, 135, 141, 140, 139 og 137.

Vi skriver da inn verdiene i regnearket:

Regneark med dataliste i GeoGebra

Øvre, venstre celle i dataområdet er A1 og nedre, høyre D8. Det spiller ingen rolle at det er tomme celler i området, de blir ignorert av GeoGebra.

I inntastingsfeltet skriver vi søylediagram(A1:D8, 0.5), der 0.5 betyr at hver søyle skal ha en bredde på 0,5. GeoGebra lager et søylediagram i grafikkfeltet:

Søylediagram i GeoGebra

Det kan være vi må justere litt på aksene før vi ser diagrammet. Vi kan så endre farge, linjetykkelse, m.m. ved å høyreklikke på en av søylene og velge «Egenskaper».

Har vi algebrafeltet framme, ser vi at GeoGebra der presenterer tallet 15. Det virker jo litt underlig, siden vi har 30 celler med data. Men dette tallet angir ikke mengden data, men det totale arealet av søylene. Og siden søylebredden er 0,5 blir det totale arealet 30 · 0,5 = 15.

I stedet for å skrive inn hver forekomst av en verdi, kan vi angi hver verdi, og hvor mange ganger den forekommer. Vi angir da de forskjellige verdiene i én kolonne, antall forekomster i en annen. I søylediagram-kommandoen angir vi så første og siste celle i hver av kolonnene, i stedet for å angi alt som ett dataområde. 

Eksempel 2:

Vi skal lage et søylediagram som presenterer samme data som eksempel 1, men nå baserer vi oss på frekvenstabellen i eksempel 2 i artikkelen om måltall i statistikk, der vi har talt opp hvor mange ganger hver høyde forekommer, 135:2, 136:0, 137:3, 138:3, 139:3, 140:5, 141:4, 142:4, 143:1, 144:2, 145:1, 146:0, 147:0, 148:1, 149:1.

Vi skriver inn verdiene i regnearket:

Regneark med frekvensdata i GeoGebra

Her er høydene listet opp mellom celle A1 og A12 og antall forekomster mellom celle B1 og B12. I inntastingsfeltet skriver vi søylediagram(A1:A12, B1:B12, 0.5). 0,5 er som før søylebredden, som vi kan sette til hva vi vil.

GeoGebra tegner opp samme søylediagram som i eksempel 1.

Oppgave 1:

Bruk GeoGebra til å lage et søylediagram som viser fordeling av karakterene fra oppgave 1 i artikkelen om måltall i statistikk, altså 1, 4, 5, 5, 4, 1, 3, 4, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 3, 3, 1, 3, 2, 5, 6, 3, 1, 4, 2.
Søylebredden skal være 0,75.
Bruk både metoden fra eksempel 1 og fra eksempel 2.

Se løsningsforslag

For å lage histogrammer, må vi angi intervallgrensene samt høyden av hver søyle. Vi forklarer dette greiest gjennom et eksempel:

Eksempel 3:

Vi skal lage et histogram som viser fire intervaller med bredder på henholdsvis 5, 5, 10 og 20. Det er 5 målinger i hvert intervall:

 Intervall  [0, 5⟩ [5,10⟩ [10,20⟩ [20,40⟩
 Frekvens 5   5 5 5

Vi starter med å fylle ut intervall og frekvens, slik det står i tabellen over:

Regneark med grunnlagsdata for histogram i GeoGebra

Overskriftene er kosmetiske, de har ingen betydning for beregningene, og er der bare for å hjelpe oss å huske hva som er hva.

Vi har her angitt starten på hvert intervall i kolonne A, i tillegg til slutten på siste intervall. I kolonne B har vi skrevet inn frekvensen, altså antall forekomster i hvert intervall. Men vi trenger også høyden på hver søyle, og den er det enklest å la regnearket beregne selv. Vi starter med å lage en hjelpekolonne som inneholder bredden på hver søyle. Denne bredden er jo lik avstanden mellom starten på ett intervall og starten på neste. For å beregne bredden på første søyle, tar vi altså innholdet i celle A3 og trekker fra innholdet i celle A2. Dette kan vi gjøre direkte i regnearket ved å skrive = A3 – A2. Husk å skrive likhetstegnet!

Regneark med beregning av søylebredde i histogram i GeoGebra

I cella under skal det stå = A4 – A3, og så videre nedover. Men vi trenger ikke skrive inn dette selv. Hvis vi tar tak i nedre, høyre hjørne i celle C2 og drar nedover, fyller regnearket ut formlene selv.

Regneark med demonstrasjon av å dra ut formel i GeoGebra

Søylehøyden beregner vi så ved å dividere frekvensen på bredden. I celle D2 skriver vi = B2 / C2, og trykker <enter>. Så tar vi tak i nedre, høyre hjørne i cella og drar nedover. Resultatet blir slik:

Regneark med ferdig beregnede data til histogram i GeoGebra

Så gjenstår det bare å opprette selve histogrammet. Vi skriver histogram(A2:A6, D2:D5) i inntastingsfeltet. Her angir altså A2:A6 celleområdet med intervallgrenser, D2:D5 celleområdet med søylehøyder. GeoGebra lager et histogram som vist under, når vi har justert aksene litt.

Ferdig histogram laget med GeoGebra

Oppgave 2:

Bruk GeoGebra til å lage et histogram som viser fordeling av karakterene fra oppgave 1, med intervaller 1-2, 3, 4 og 5-6.

Her kan det være lurt å sentrere søylene om karakterene, slik at intervallene blir 0,5-2,5, 2,5-3,5, 3,5-4,5 og 4,5-6,5.

Se løsningsforslag

Boksplott

Et boksplott kan være en god måte å illustrere spredningen i et datasett på. Boksplottet under illustrerer for eksempel dataene fra eksempel 7 i artikkelen om måltall i statistikk, 13, 14, 17, 18, 18, 21, 23, 23, 27, 30 og 32. Her er laveste verdi 13, første kvartil 17, median 21, tredje kvartil 27 og høyeste verdi 32.

Boksplott laget med GeoGebra

Vi ser at de ytterste, vertikale strekene markerer laveste og høyeste verdi i datasettet, begynnelsen og slutten på boksen markerer første og tredje kvartil, og den vertikale streken inni boksen markerer medianen.

For å lage et boksplott bruker vi kommandoen boksplott. Skriver vi boksplott(1, 0.5, 13, 17, 21, 27, 32), tegner GeoGebra boksplottet vist over. Tallene 1 og 0,5 som står først, betyr at boksplottet skal sentreres rundt y=1 med avstand 0,5 fra senter til ytterlinje. Deretter følger laveste verdi, første kvartil, median, tredje kvartil og høyeste verdi.

Bredden måles altså fra senter til ytterlinje, slik at boksens totale bredde blir 1.

Eksempel 4:

Vi skal lage et boksplott sentrert rundt y=2 med total bredde 0,8, laveste verdi 1, første kvartil 3, median 4, tredje kvartil 6 og høyeste verdi 7. Vi skriver boksplott(2, 0.4, 1, 3, 4, 6, 7) i inntastingsfeltet. GeoGebra lager boksplottet under:

Boksplott laget med GeoGebra

Det er også mulig å lage et boksplott basert på settet med rådata. I stedet for å skrive laveste verdi, første kvartil, median, tredje kvartil og høyeste verdi, lister vi da opp rådataene mellom krøllparenteser, for eksempel boksplott(1, 0.5, {13, 14, 17, 18, 18, 21, 23, 23, 27, 30, 32}). Alternativt kan dataene legges inn i regneark-delen i GeoGebra. I stedet for å liste opp dataene, referer vi da til aktuelt celleområde, for eksempel, boksplott(1, 0.5, A1:A11), hvis dataene ligger i kolonne A, fra rad 1 til 11. 

Oppgave 3:

Lag et boksplott av dataene fra oppgave 5 i artikkelen om måltall i statistikk, 6, 25, 15, 8, 29, 14, 27, 30, 0, 29, 0, 2, 23, 125, 5, 30, 20, 10, 14. Plottet skal være sentrert rundt y=1 og ha total bredde 1. 

  1. Basert på rådataene.
     
  2. Basert på at laveste verdi er 0, første kvartil 6, median 15, tredje kvartil 29 og største verdi 125.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Ubøe, J. (2011). Statistikk for økonomifag. Gyldendal akademisk
    • Hagen, Per C. (2000). Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk. Cappelen akademisk
Publisert

Regresjon med GeoGebra

I oppgave 6 i artikkelen om funksjonsanalyse varmer en gruppe elever opp vann mens de måler temperaturen hvert minutt. Vi får oppgitt følgende måledata:

Tid (min) 10 11 12 13 14
Temperatur (grader Celsius) 60 64 70 76 80

Så bruker vi glidere til å anslå en funksjonsforskrift for en lineær funksjon som går så nærme målepunktene som mulig. Løsningsforslaget sier f(t) = 5t + 10.

Prosessen med å finne en funksjonsforskrift som passer et antall punkter best mulig kalles regresjon.

GeoGebra har innebygde regresjonskommandoer som kan gjøre jobben for oss.

Eksempel 1:

Vi skal bruke GeoGebra til å finne en funksjonsforskrift som passer best mulig til målepunktene over.

        1. Vi starter med å legge punktene inn i en verditabell, slik det er beskrevet i artikkelen om funksjonsanalyse.
          Vi henter fram regnearkfeltet hvis det ikke allerede er framme: «Vis» – «Regneark».
          Vi skriver inn lista med målinger i regnearket, tida i kolonne A og temperaturen i kolonne B.
          Vi overfører lista til algebra- og grafikkfeltet ved å markere tallene, høyreklikke og velge «Lag» – «Liste med punkt».
          GeoGebra lager ei liste som heter Liste1.
           
        2. Vi skriver: reglin(Liste1) i inntastingsfeltet.
          GeoGebra foreslår funksjonsforskriften y = 5,2x + 7,6 i algebrafeltet og tegner den tilhørende grafen i grafikkfeltet. Dette er nok en bedre tilnærming enn den vi kom fram til med glidere.

GeoGebra-filLast ned den tilhørende GeoGebra-fila
 

I eksempel 1 representerer funksjonsforskriften en rett linje, noe GeoGebra kan representere på 3 former. Én form er y = ax + b, der y angis som en funksjon av x, en annen er standardformen ax + by = c. Det finnes også en parametrisk form. Vi kan skifte mellom formene i menyen som kommer opp når vi høyreklikker på funksjonsforskriften.

Oppgave 1:

Familien Hansen kjører hjemmefra til Oslo, en tur på ca. 320 kilometer. De første timene noterer barna hvor langt de har kjørt hvert kvarter:

Kvarter 1 2 3 4 5 6 7 8
Kilometer 22 38 58 80 104 122 138 161

Bruk regresjon i GeoGebra til å finne forskriften til en lineær funksjon som kommer så nærme punktene som mulig.

Se løsningsforslag

I eksempel 1 og oppgave 1 har vi brukt lineær regresjon, vi søker altså etter en polynomfunksjon av første grad. Til bruk i situasjoner som ikke kan modelleres lineært har GeoGebra en mengde andre regresjonskommandoer. Se brukermanualen for detaljer.

Oppgave 2:

Tabellen under viser om lag hvor stor distanse et objekt i fritt fall har tilbakelagt når vi ikke tar hensyn til luftmotstand:

Tid (sekunder) 1 2 3 4 5
Distanse (meter) 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5

Bruk funksjonen regpot() til å finne en potensfunksjon som beskriver situasjonen.

Se løsningsforslag

Kilder

    • Bueie, H: (2011) GeoGebra for lærere. Universitetsforlaget
Publisert

Dynamisk geometri med GeoGebra

Dynamisk geometri går ut på at vi lager geometriske objekter i GeoGebra, og studerer hva som skjer med objektenes egenskaper når vi siden endrer på dem.

Et eksempel kan være at vi illustrerer Pytagoras setning ved å konstruere rektangler på sidene i en rettvinklet trekant, og ser at summen av arealene av rektanglene på katetene alltid er lik arealet av rektangelet på hypotenusen, selv om vi endrer sidelengdene. Men at dette ikke lenger er riktig hvis vi endrer vinklene slik at trekanten ikke lenger er rettvinklet. Dette eksemplet kan så gjøres mer avansert ved å utvide den til å ta hensyn til vinkelen og illustrere cosinussetningen. Hennig Bueies bok GeoGebra for lærere (ISBN 978-82-15-01860-7) gir flere gode eksempler. I denne artikkelen skal vi detaljert vise hvordan vi kan illustrere at vinkelsummen i en trekant alltid er 180 grader.

Eksempel 1:

Vi skal konstruere en trekant, markere de tre vinklene i trekanten og følge med på hva som skjer med summen av disse vinklene når vi endrer formen på trekanten. Prosessen går i fire trinn:

  1. Vi lager en vilkårlig trekant. Det kan vi gjøre enten ved å sette trekanten sammen av linjer ved hjelp av «Linjestykke mellom to punkt» eller å sette inn en mangekant. Vi velger da «Mangekant» og klikker der trekantens hjørner skal være. Så klikker vi en gang til i trekantens første punkt. Det tolker GeoGebra som at mangekanten er komplett. Denne metoden har vi brukt i figuren under. Vi har valgt «Mangekant», klikket i A, B, C og så i A igjen. GeoGebra har opprettet en trekant med hjørner ABC og sider a, b, c:
    Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Grunnkonstruksjon.
  2. Vi setter inn vinkelmål. Vi velger da «Vinkel» og klikker parvis på de sidene vi skal opprette en vinkel mellom. a og c, b og a, c og b. Legg merke til at vinkelen alltid tegnes mot klokka, derfor er rekkefølgen på de to linjene viktig. Hadde vi for eksempel valgt c før a i stedet for omvendt, ville vinkelen på utsiden av trekanten blitt markert. GeoGebra navner vinklene α, β, γ.
    Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Vinkler markert
  3. Vi oppretter en variabel med summen av de tre vinklene. I inntastingsfeltet skriver vi α + β + γ. GeoGebra oppretter en variabel, δ, som er summen av de tre vinklene. Denne vises i algebrafeltet.
    Nå kan vi jo ikke skrive de greske bokstavene direkte, så vi henter dem derfor fra symbolmenyen som kommer opp til høyre når vi klikker på α-symbolet til høyre inntastingsfeltet, slik det er vist i bildet under:
    Meny for å sette inn symboler i GeoGebra
    Alternativt kan vi navne om vinklene til navn med latinske bokstaver, for eksempel alfa, beta, og gamma.
     
  4. Vi gjør variabelen mer synlig ved å plassere den i grafikkfeltet, gjerne med en ledetekst. Vi velger da «Tekst», klikker der vi vil ha teksten i grafikkfeltet, og fyller ut tekstboksen som kommer opp. Her har vi skrevet «Vinkelsum: » og hentet inn δ fra «Objekt»-menyen. Alle objekter som vises i algebrafeltet er tilgjengelige fra denne menyen.
    Meny for å sette inn tekst i GeoGebra

Den ferdige trekanten ser slik ut:

Trekant som skal brukes til å studere vinkelsummer. Ferdig versjon.

Hvis vi klikker på pila øverst til venstre i verktøylinja, kan vi endre form på trekanten ved å ta tak i A, B eller C og dra punktet rundt. Vi ser at vinkelsummen holder seg konstant på 1800, selv om de andre vinklene varierer.

GeoGebra-filLast ned GeoGebra-fil med ferdig konstruksjon

Vi nevner til slutt at hvis vi vil markere hvordan et objekt flytter seg, kan vi slå på sporing ved å høyreklikke på objektet og velge «Slå på sporing». Spor vi har laget blir stående selv om vi slår videre sporing av. For å fjerne spor, velger vi «Vis» – «Forny og fjern ev. spor».

Oppgave 1:

Lag en vilkårlig trekant som i eksempel 1, og bruk den til å illustrere sinussetningen, det vil si at forholdet mellom en sinus til en vinkel i en trekant og lengden på den motstående siden er likt for alle vinkler og sider i en trekant.

Se løsningsforslag

Kilder